一、填空题1.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f(x)x1，则f _.解析f f f 1.答案2.(2016泰州调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 016)的值为_.解析当x0时，f(x)f(x1)f(x2)，用x1代替x得f(x1)f(x)f(x1)，得f(x1)f(x2)，所以f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x)，所以T6.所以f(2 016)f(3366)f(0)log210.答案03.(2015重庆一中月考)若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)0，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2 015)_.解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2)f(x)，即函数f(x)的周期是4.所以f(2 015)f(50441)f(1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 015)f(1)f(1).当x1时，f(12)，得f(1).即f(1)1，所以f(2 015)f(1)1.答案14.(2015苏北四市调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且f(x1)f(1x)，若f(1)5，则f(2 015)_.解析定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x1)f(1x)，f(x2)f(x1)1f1(x1)f(x)f(x)，即f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，即f(x4)f(x)，函数的周期为4，f(2 015)f(45041)f(1)f(1)，f(1)5，f(2 015)5.答案55.(2015宿迁一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2x，则关于x的不等式f(x)2的解集是_.解析由题意可得当x0时，f(x)x2x，不等式f(x)2，不等式f(x)2的解集是(2，).答案(2，)6.(2015徐州一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x2时，f(x)(4a，)；当x2时，f(x)(，2a2.f(x)值域为R，2a24a，解得a1或a2.答案(，12，)8.(2015南京调研)若f(x)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是_.解析由题意得解得a，故实数a的范围是.答案9.(2015湛江月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1，0上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线x1对称；f(x)在0，1上是增函数；f(x)在1，2上是减函数；f(2)f(0).其中正确结论的序号是_.解析对于，f(x2)f(x1)f(x)f(x)，故2是函数f(x)的一个周期，正确；对于，由于函数f(x)是偶函数，且函数f(x)是以2为周期的函数，则f(2x)f(x2)f(x)，即f(2x)f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x1对称，故正确；对于，由于函数f(x)是偶函数且在1，0上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f(x)在0，1上是减函数，故错误；对于，由于函数f(x)是以2为周期的函数且在1，0上为增函数，由周期函数的性质知，函数f(x)在1，2上是增函数，故错误；对于，由于函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(2)f(0)，正确.综上所述，正确结论的序号是.答案二、解答题10.已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求证：f(x)是偶函数.证明已知对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取x0，y0，则有2f(0)2f(0)2，因为f(0)0，所以f(0)1.取x0，得f(0y)f(0y)f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y).所以f(y)f(y).又yR，所以函数f(x)是偶函数.11.设函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0，7上只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 005，2 005上的根的个数，并证明你的结论.解(1)f(1)0，且f(x)在0，7上只有f(1)f(3)0，又f(2x)f(2x)，令x3，f(1)f(5)0，f(1)f(1)，且f(1)f(1).f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)f(10x)f2(8x)f2(8x)f(6x)f7(13x)f713xf(20x)，f(x)以10为周期.又f(x)的图象关于x7对称知，f(x)0在(0，10)上有两个根，则f(x)0在(0，2 005上有2012402个根；在2 005，0上有2002400个根；因此f(x)0在闭区间上共有802个根.12.(2015苏、锡、常、镇调研)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x(0，1)时，f(x).(1)求f(x)在区间1，1上的解析式；(2)若存在x(0，1)，满足f(x)m，求实数m的取值范围.解(1)当x(1，0)时，x(0，1).由f(x)为R上的奇函数，得f(x)f(x)，即f(x)，x(1，0).又由f(x)为R上的奇函数，得f(0)0，f(x1)f(x1)，当x0时，f(1)f(1).又f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0，故f(x)在区间1，1上的解析式为f(x)(2)f(x)1.又x(0，1)，2x(1，2)，1.若存在x(0，1)，满足f(x)m，则m，故实数m的取值范围是.