函数、导数及其应用第第 二二 章章第第1010讲函数与方程考纲要求考情分析命题趋势1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.2016，天津卷，8T2015，安徽卷，2T2015，北京卷，14T2015，湖南卷，15T1.函数的零点问题是热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大2.函数零点性质的应用，主要考查利用函数的零点个数求参数的范围.分值：58分板板 块块 一一板板 块块 二二板板 块块 三三栏目导航板板 块块 四四1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使_成立的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_f(x)0x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个_也就是f(x)0的根f(a)f(b)0)的零点两个 一个 3.二分法(1)二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数y f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点x1.f(a)f(b)0 一分为二 零点 f(a)f(b)0 第三步，计算f(x1)：若_，则x1就是函数的零点；若_，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若_，则令ax1(此时零点x0(x1，b)第四步，判断是否达到精确度，即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)否则重复第二、第三、第四步4有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号f(x1)0f(a)f(x1)0 f(x1)f(b)0 1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)x21的零点是(1,0)和(1,0)()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0.(3)正确当b24ac0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点(4)正确由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间a，b上有且仅有一个交点，故正确C 3函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0个B1个C2个D3个解析：函数f(x)2xx32显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)f(1)(1)110.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点，故选BB4根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个根所在的区间为()A(1,0)B(0,1)C(1,2) D(2,3)解析：设函数f(x)exx2，从表中可以看出f(1)f(2)0，因此方程exx20的一个根所在的区间为(1,2)Cx10123ex0.3712.727.3920.09x212345(2,3) 判断函数零点所在区间的方法(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断一函数零点所在区间的判断C A二判断函数零点的个数判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0且a1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围错因分析：涉及方程根的个数问题，通常需要找出两个函数，看它们图象的交点有几个易错点不能利用图象解决方程根的范围或根的个数问题