第31课 平面向量的数量积与平面向量应用最新考纲内容要求ABC平面向量的数量积平面向量的平行与垂直平面向量的应用1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积(或内积)规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.3平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量()(2)由ab0，可得a0或b0.()(3)由abac及a0不能推出bc.()(4)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形. ()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_2由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.3(2016全国卷改编)已知向量，则ABC_.30因为，所以.又因为|cosABC11cosABC，所以cosABC.又0ABC180，所以ABC30.4向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a_.1法一：a(1，1)，b(1,2)，a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1.5(2016全国卷)设向量a(x，x1)，b(1,2)，且ab，则x_.ab，ab0，即x2(x1)0，x.平面向量数量积的运算(1)(2014江苏高考)如图311，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_图311(1)22(2)11(1)由3，得，.因为2，所以2，即2AB22.又因为25，64，所以22.(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，所以|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1，所以()max|11.规律方法1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义2(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小，以及夹角0，90，180三种特殊情形变式训练1 (2017启东中学高三第一次月考)如图312，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADC90，AB3，AD，E为BC中点，若3，则_. 【导学号：62172166】图3123以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设CDx，则(3,0)，(x，)，由3解得x1.所以，(2，)，所以3.平面向量数量积的性质角度1平面向量的模(1)已知不共线的两个向量a，b满足|ab|2且a(a2b)，则|b|_.(2)已知向量a，b，c满足|a|，|b|ab3，若(c2a)(2b3c)0，则|bc|的最大值是_(1)2(2)1(1)由a(a2b)得a(a2b)|a|22ab0.又|ab|2，|ab|2|a|22ab|b|24，则|b|24，|b|2.(2)设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos ，cos ，0，.设a，b，c(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系则A(1,1)，B(3,0)，c2a(x2，y2)，2b3c(63x，3y)，(c2a)(2b3c)0，(x2)(63x)(y2)(3y)0.即(x2)2(y1)21.又知bc(3x，y)，|bc|11，即|bc|的最大值为1.角度2平面向量的夹角(1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_(1)(2)(1)|a|3，|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，cos .(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k0)，因为，于是()22a2a1，故a2a11，解得a，所以AB.思想与方法1计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧4两个非零向量垂直的充要条件：abab0.易错与防范1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量2两个向量的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立3在求向量夹角时，注意其取值范围0，课时分层训练(三十一)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca_.依题意有abbcca.2(2017启东中学高三第一次月考)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m_.8a(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)由(ab)b可知，(ab)b0.即122(m2)0，m8.3已知点A(0,1)，B(2,3)，C(1,2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为_(1,1)，(3,2)，在方向上的投影为|cos，.4(2017盐城模拟)已知|a|4，|b|2，且a与b夹角为120，则(a2b)(ab)_.12|a|4，|b|2，ab42cos 1204.(a2b)(ab)a23ab2b21612812.5已知平面向量a与b的夹角为，a(1，)，|a2b|2，则|b|_