第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教师用书 理 苏教版1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.【知识拓展】1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy解析因为A，B两点在直线x2y30的同侧，所以把点A(1,0)，B(2，m)代入可得x2y3的符号相同，即(1203)(22m3)0，解得m.2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是_.答案解析不等式y2x1表示直线y2x1下方的平面区域及直线上的点，不等式x2y4表示直线x2y4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是所表示的平面区域.3.(2016北京改编)若x，y满足则2xy的最大值为_.答案4解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2124.4.(教材改编)若则zxy的最大值为_.答案1解析根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).令z0，作直线l：yx0.当直线l向下平移时，所对应的zxy的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，zxy取得最大值.顶点M是直线xy1与直线y0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1,0)，代入zxy，得zmax1.5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).答案解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于_.答案解析由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，则ABC的面积为1.(2)(教材改编)画出二元一次不等式组表示的平面区域.解先画出直线xy50(画成虚线)，取O(0,0)代入xy550，原点不在xy50表示的平面区域内，即xy50表示直线xy50左上方点的集合，同理可得：xy0表示直线xy0上及其右上方点的集合，x3表示直线x3上及其左边的点的集合.故此二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分所示.命题点2含参数的平面区域问题例2(1)(2015重庆改编)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为_.(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_.答案(1)1(2)解析(1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB，C点横坐标xC2m，SABDSACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m1或m3，又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域.因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.思维升华(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.(1)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_.(2)(2016江苏徐州四校模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是_.答案(1)1(2)5,7)解析(1)在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.(2)不等式xy50和0x2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案(1)2(2)解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0)，由得B(1,1).由zaxy，得yaxz.当a0时，显然不满足题意；当a0时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，z2a4，a2，满足题意.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.(1)(2016江苏大港中学质检)设m1，在约束条件下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为_.(2)(2016江苏天一中学月考) 已知x，y满足约束条件如果(2，)是zaxy取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是_