第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数yAsin(x)的图象及应用教师用书 理 苏教版1.yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，xR振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x) (A0，0)的图象的步骤如下【知识拓展】1.由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度.2.函数yAsin(x)的对称轴由xk，kZ确定；对称中心由xk，kZ确定其横坐标.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的.()(2)将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象.()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(4)函数yAsin(x)的最小正周期为T.()(5)把ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysin x.()(6)若函数yAcos(x)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()1.(教材改编)y2sin(x)的振幅，频率和初相分别为_.答案2，解析由题意知A2，f，初相为.2.(教材改编)将ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)_.答案sin x解析将函数ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)2sin xsin x的图象.3.(2016全国甲卷改编)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则函数的表达式为_.答案y2sin解析由图可知，T2，所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin.4.(2016南通模拟)已知函数f(x)Acos(x)的图象如图所示，f()，则f()_.答案解析由题图知，函数f(x)的周期T2()，所以f()f()f().5.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)sin(2x)，g(x)sin(2x)，h(x)cos(x)的部分图象(如图)，则a，b，c对应的函数依次是_.答案h(x)，f(x)，g(x)解析由于函数f(x)，g(x)，h(x)的最大值分别是，1，1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；又g(x)，h(x)的最小正周期分别是、2，因此结合图形可知，曲线a，c分别是h(x)，g(x)的图象.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值.解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.引申探究在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心.解由(1)知f(x)5sin(2x)，因此g(x)5sin2(x)5sin(2x).因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2xk，kZ，解得x，kZ.即yg(x)图象的对称中心为(，0)，kZ.思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.把函数ysin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是_.答案ycos 2x解析由ysin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为ysin 2x，再向左平移个单位得ysin 2(x)，即ycos 2x.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2如图是函数yAsin(x)(A0，0，|0，0)解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法如下：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.(2016徐州模拟)已知函数f(x)sin(x) (0，|)的部分图象如图所示，则yf(x)取得最小值时x的集合为_.答案x|xk，kZ解析根据所给图象，周期T4()，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点(，0)，代入有2k(kZ)，再由|，得，f(x)sin(2x)，当2x2k (kZ)，即xk(kZ)时，yf(x)取得最小值.题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3(2015陕西改编) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_.答案8解析由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_.答案(2，1)解析方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根.y和ysin t，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为(1，)，故m的取值范围是(2，1).引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_.答案2，1)解析由例4知，的范围是，2m0，)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)当x0，时，求函数yf(x)的最大值和最小值.解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ，由，得k0，所以.综上，2，.(2)由(1)知f(x)sin(2x)，当x0，时，2x，当2x，即x时，f(x)最大值；当2x，即x0时，f(x)最小值.思维升华(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.已知函数f(x)cos(3x)，其中x，m，若f(x)的值域是1，则m的取值范围是_.答案，解析画出函数的图象.由x，m，可知3x3m，因为f()cos 且f()cos 1，要使f(x)的值域是1，只要m，即m，.4.三角函数图象与性质的综合问题典例(14分)已知函数f(x)2sin()cos()sin(x).(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值.思维点拨(1)先将f(x)化成yAsin(x)的形式再求周期；(2)将f(x)解析式中的x换成x，得g(x)，然后利用整体思想求最值.规范解答解(1)f(x)2sin()