1 1、会用尺规作角的平分线、会用尺规作角的平分线. .角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等2 2、角的平分线的性质、角的平分线的性质: :OCB1A2PDEPD OA，PE OB OC是是AOB的平分线的平分线 PD=PE用符号语言表述用符号语言表述：注意注意：不必再证不必再证全等全等练习练习. .已知：已知：BDBD平分平分ABCABC，AB=ACAB=AC，PMADPMAD，PNCDPNCD， 求证：求证：PM=PNPM=PNMD1234BANCP 反过来，到一个角的两边的距离相等的点反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上证明证明: QD OA，QE OB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）在在Rt QDO和和Rt QEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE Rt QDO Rt QEO（HL） QODQOE 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上判定：到角的两边的距离相判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。等的点在角的平分线上。 QDOAQDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上用符号语言表示为：用符号语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等相等. QDOA,QEOB,QDOA,QEOB,点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 QDQDQEQE用符号语言表示为：用符号语言表示为： 1、 如图，开发区一个工厂，在公路西侧，如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。工厂的位置，并说明理由。北北比例尺比例尺1：20000用一用用一用OABCP500m例题：如图例题：如图, ABC, ABC的角平分线的角平分线BM,CNBM,CN相交于点相交于点P,P,求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等BMBM是是ABCABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, ,ABCPMNDEFPD=PEPD=PE( (角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PD AB于于D，PE BC于于E，PF AC于于F 见角平分线就作角两边的垂线段。见角平分线就作角两边的垂线段。ABCPEDFMN类型转换：如图，类型转换：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P P。求证：点。求证：点P P也在也在A A的平分线上。的平分线上。证明：过点证明：过点P P作作PDABPDAB于于D D，PEBCPEBC于于E E， PFACPFAC于于F F如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：证明：过点过点F作作FG AE于于G，FH AD于于H，FM BC于于MGHM点点F F在在BCEBCE的平分线上，的平分线上， FGAEFGAE， FMBCFMBCFGFGFMFM又又点点F F在在CBDCBD的平分线上，的平分线上， FHADFHAD， FMBCFMBCFMFMFHFHFGFGFHFH点点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E，F F，且，且BEBECFCF。求证：求证：ADAD是是ABCABC的角平分线。的角平分线。ABCEFD如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， ADAD平分平分BACBAC ，DEDEABAB于于E E， DFDFACAC于于F F，下面给出三个结论，下面给出三个结论(1)DA(1)DA平分平分EDF;(2)AE=AF;(3)ADEDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到上的点到B B、C C两点的距离相两点的距离相等，其中正确的结论有等，其中正确的结论有( )( )ABCEFD课堂练习课堂练习已知：如图，已知：如图，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于D D， BD=CD BD=CD 。求证：求证： ADAD平分平分BAC BAC 。ABCFED课堂练习课堂练习利用结论，解决问题利用结论，解决问题练一练练一练 1 1、如图，为了促进当如图，为了促进当地旅游发展，某地要在地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平三条公路围成的一块平地上修建一个度假村地上修建一个度假村. .要要使这个度假村到三条公使这个度假村到三条公路的距离相等路的距离相等, ,应在何处应在何处修建修建? ?想一想想一想 在确定度假村的位置时在确定度假村的位置时, ,一定要画一定要画出三个角的平分线吗出三个角的平分线吗? ?你是怎样思考你是怎样思考的的? ?你是如何证明的你是如何证明的? ?拓展与延伸拓展与延伸1 1、直线表示三条相互交叉的公路、直线表示三条相互交叉的公路, ,现要建现要建一个货物中转站一个货物中转站, ,要求它到三条公路的距要求它到三条公路的距离相等离相等, ,则可供选择的地址有则可供选择的地址有: :( ) A.A.一处一处 B. B. 两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处分析分析: :由于没有限制在由于没有限制在何处选址何处选址, ,故要求的地故要求的地址共有四处。址共有四处。拓展与延伸拓展与延伸2 2、已知、已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点E,BD,CEE,BD,CE交点交点F,CF=BF,F,CF=BF,求证求证: :点点F F在在A A的平分线上的平分线上. .A A A A A A ADNE BFMCA到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。 QDOAQDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上用符号语言表示为：用符号语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,QDOA,QEOB,点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 QDQDQEQE用符号语言表示为：用符号语言表示为： 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 2、三角形角平分线的交点性质：、三角形角平分线的交点性质：三角形的三条角平分线交于一点。三角形的三条角平分线交于一点。 3.角平分线的判定角平分线的判定定理定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。分线上。 4.角的平分线的辅助线作法：角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。见角平分线就作两边垂线段。 5.角平分线的性质定理和角平分线的判角平分线的性质定理和角平分线的判定定定理是证明角相等、线段相等的新途径定理是证明角相等、线段相等的新途径.