基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为_.解析该正三棱锥的底面积为()2，高为，所以该正三棱锥的体积为.答案2.(2016宿迁模拟)用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为_cm.解析用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2，所以底面圆的半径为1，则这个圆锥筒的高为(cm).答案3.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_.解析三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.答案4.(2015盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为4的半圆面，则该圆锥的体积为_.解析由圆锥的侧面展开图是面积为4的半圆面，得该半圆的半径是2，即为圆锥的母线长.半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r，则22r，解得r，所以圆锥的高是h，体积是Vr2h.答案5.(2015苏、锡、常、镇四市调研)已知ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD2，将ABC沿AD折成60的二面角，连接BC，则三棱锥CABD的体积为_.解析由题意可得CDB60，DCDB，所以DCB是边长为2的等边三角形，且AD平面DCB，所以三棱锥CABD的体积为SBCDAD22sin 602.答案6.(2015南京模拟)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为_cm.解析设圆锥的底面半径为r，则2r3，所以r1，所以高为2.答案27.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.解析设六棱锥的高为h，斜高为h0.因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形，所以底面面积为22sin 6066，则6h2，得h1，所以h02，所以该六棱锥的侧面积为22612.答案128.(2015四川卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.解析由题意知还原后的几何体是一个直三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，VPA1MNVA1PMN，又AA1平面PMN，VA1PMNVAPMN，VAPMN1，故VPA1MN.答案二、解答题9.(2015全国卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.解(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).10.如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示.(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积.(1)证明在题图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2015全国卷改编)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_斛(保留整数).解析设圆锥底面半径为r，因为米堆底部弧长为8尺，所以r8，r(尺)，所以米堆的体积为V5(立方尺)，又1斛米的体积约为1.62立方尺，所以该米堆有1.6222(斛).答案2212.(2016南通调研)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点.若AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_.解析因为四棱锥BACC1D的底面ACC1D的面积为(24)26，高为2，所以体积为62.答案213.(2015徐州调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_cm.解析如图，将三棱柱沿AA1剪开，可得一矩形，其长为6 cm，宽为5 cm，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于213(cm).答案1314.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积.解(1) 设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D(cm).故三棱台的斜高为 cm.(2)设c，c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336)(cm2)，S表S侧S上S下3262(cm2).故三棱台的侧面积为cm2，表面积为 cm2.