基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.在数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_.解析计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2.答案ann22.某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，那么可以推出nk1时该命题也成立.给出以下说法：n4时该命题成立；n4时该命题不成立；n5，nN*时该命题都成立；可能n取某个大于5的整数时该命题不成立.现已知n5时该命题成立，那么上述说法正确的序号是_.解析显然，错误，由数学归纳法原理知正确，错.答案3.已知an满足an1anan1，nN*，且a12.则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n14.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设nk(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真.解析n为正奇数，假设nk成立后，需证明的应为nk2时成立.答案k25.用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边_(填序号).增加了一项：；增加了两项：，；增加了两项：，又减少了一项：；增加了一项：，又减少了一项：.解析当nk时，左边，nk1时，左边.答案6.(2015九江模拟)已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_.解析因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN*).答案f(2n)(n2，nN*)7.已知f(n)，给出以下说法：f(n)中共有n项，当n2时，f(2)；f(n)中共有n1项，当n2时，f(2)；f(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)；f(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2).则上述说法正确的序号是_.答案8.(2015济南模拟)已知数组，.记该数组为：(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，则a200_.解析通过观察数组可以发现，第n组数中共有n个数，每个数的分子与分母的和等于n1，又因为12191902n1，n的第一个取值应是_.解析n1时，212，2113，2n2n1不成立；n2时，224，2215，2n2n1不成立；n3时，238，2317，2n2n1成立.n的第一个取值应是3.答案312.(2015北京东城区调研)设S112，S2122212，Sn122232(n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明Sn时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_.解析由S1，S2，Sn可以发现由nk到nk1时，中间增加了两项(k1)2k2(n，kN*).答案(k1)2k213.设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示).解析f(3)2，f(4)f(3)323，f(5)f(4)4234，f(6)f(5)52345，猜想f(n)234(n1)(n4).答案5(n1)(n2)14.(2014江苏卷)已知函数f0(x)(x0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等式都成立.(1)解由已知，得f1(x)f0(x)，于是f2(x)f1(x)，所以f1，f2.故2f1f21.(2)证明由已知，得xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin，类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin，4f3(x)xf4(x)sin xsin.猜想nfn1(x)xfn(x)sin.下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立.当n1时，由上可知等式成立.假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin.因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，cossin，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin.因此当nk1时，等式也成立.综合，可知等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立.令x，可得nfn1fnsin(nN*).所以(nN*).