31.2指数函数 知识整合知识整合1指数函数：一般地，函数_叫做指数函数，其中x为自变量2指数函数yax(a0且a1)的定义域为_，值域为_，满足条件的a无论取何值，函数yax恒过定点_3指数函数图象的单调性：(1)当a1时，函数yax在定义域(，)上为_；(2)当0a0且a1)若a1，则当x0时，y_1；当x0时，y_1；当x0时，y_1.若0a0时，y_1；当xb1，当x0时，函数yax图象在ybx图象的_；当xab0，当x0时，函数yax图象在ybx图象的_；当x0且a1)的图象关于_对称6函数图象的平移及对称答案：1.yax(a0，a1，xR)2R(0，)(0,1)3增函数减函数45上方下方上方下方y轴6yaxkyaxkyaxkyaxkyaxyax名师解答名师解答深入学习深入学习题型一 指数函数概念的理解【例1】下列函数中，哪些是指数函数？y10x；y10x1；y10x1；y210x；y(10)x；y(10a)x(a10，且a9)；yx10.分析：根据指数函数的定义，必须是形如yax(a0，且a1)的函数才叫指数函数解：y10x符合定义，是指数函数；y10x1是由y10t和tx1两个函数复合而成的函数；y10x1不符合yax(a0，a1)的形式，所以不是指数函数；y210x不符合yax(a0，a1)的形式，不是指数函数；y(10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；由于10a0，且10a1，即底数是符合要求的常数，故y(10a)x(a10，且a9)是指数函数；yx10的底数不是常数，故不是指数函数综上可知，是指数函数评析：判断一个函数是否为指数函数，其一：底数为大于0且不等于1.其二：幂指数是自变量x.其三：系数为1或没有其他的余项，只是yax(a0，a1，xR)这样的形式变式训练 1判断下列式子是否为指数函数y32x；y2x21；yax；y(2a1)x(a且a1)解：要根据指数函数的定义去判断，形式要一致中2x前的系数不是1，不是指数函数中指数不是自变量x，而是x的函数，因此不是指数函数中底数a，只有规定a0且a1才是指数函数为指数函数题型二 由函数解析式求值【例2】已知指数函数f(x)的图象过点(1,3)，求f(0)，f(1)，f(3)的值分析：由图象过点(1,3)可求得底数a的值，从而求出函数解析式，再求出各函数值变式训练 2函数y2x33恒过定点_分析：利用指数函数yax(a0且a1)恒过定点(0,1)的性质求解答案：(3,4)解析：原函数可变形为y32x3，将y3看作x3的指数型函数，x30时，y31，即x3，y4，y2x33恒过定点(3,4)分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，根式问题要使根号有意义结合换元法，联想函数的图象，根据单调性等方法确定函数的值域评析：(1)定义域和对应关系确定值域，因此定义域和值域是密切联系的要求值域，先看定义域(2)复合函数问题可以通过换元法，化繁为简，解决问题当我们综合解决问题的能力提高了以后，也可以不用换元法，直接将问题解决分析：(1)本题考查指数函数的定义域的求法，根据指数函数的概念求解(2)首先求定义域10.2x00.2x1.由y0.2x的图象知x0，)，所以可求y的范围分析：首先化简解析式，然后求定义域、用反解法求值域，再用定义去证明单调性评析：判断函数的单调性可以根据图象，还可以根据简单函数的性质，也可以使用单调性的定义，定义法是最基本的方法变式训练 4对于函数y(1)求函数的定义域，值域；(2)确定函数的单调区间整体探究解读整体探究解读题型一 图象的平移、变换【例1】已知函数f(x)2x，则f(1x)的图象为下列选项中的 ()解：f(1x)21x22x2( )x，y( )x的图象上每点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，特别地令x0，得图象过点(0,2)，又f(x)在(，)上单调递减，因此只能是C.答案：C评析：作为类似的选择题要从选项的特征上考虑，本小题的选项有两个特征：一是过的定点位置有个范围，二是单调性从这两个特征出发，判断正确选项，快速准确【例2】已知函数f(x)2xa的图象不过第二象限，那么常数a的取值范围是_解：把函数y2x的图象向下平移1个单位后图象过原点(0,0)，不过第二象限再向下平移，仍然不过第二象限，即把y2x的图象向下至少平移1个单位，所得函数f(x)2xa的图象就满足条件，由向下平移图象的变换法则，知a1.答案：a1评析：解决问题常用的方法是从最熟悉的地方入手，要判断y2xa的图象，就要先看y2x这个最简单的指数函数的图象，以此为出发点，用运动变化的观点寻找a的范围分析：当函数解析式中含有绝对值号时，不妨先去掉绝对值号；对于复合函数，要首先弄清它是怎样由简单函数得到的评析：多掌握一些平移、对称、翻折的知识，有助于作图下面总结一下前面没总结过的一些常用结论：(1)yf(|x|)的图象关于y轴对称(2)y|f(x)|的图象，是f(x)0的部分不动，将f(x)0的部分作关于x轴的对称图形 题型二 利用性质比较大小【例4】a、b满足0ab1，下列不等式正确的是()AaabbBbabbCaaba Dbbab答案：C评析：遇到含字母的表达式比较大小时，注意使用特殊值代入法，达到化抽象为具体，简化问题的目的评析：在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果；若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较，从而得出结果总之比较时要尽量转化成同底的形式，再根据指数函数的单调性进行判断题型三 复合函数的定义域和值域 评析：在第(1)小题中，通过换元法，将复合函数问题转化为一元二次函数问题，从而达到了化难为易的目的在第(2)小题中，利用整体的思想作指导，视2x为一个整体，由于我们对一元二次不等式的解法比较熟悉，直接解出2x的取值范围，能节省解题时间题型四 利用指数函数的定义和性质解决实际应用问题【例7】某工厂今年一月、二月、三月份的产品数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量g(x)与月份数x之间的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数yabxc(其中a，b，c为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，说明理由分析：本题已知四个月的产量，在二次函数解析式yax2bxc(a0)中，有a，b，c三个字母的值待定；在yabxc中，也是有三个字母的值待定因此，只要将三组数值代入，列三个方程，就能分别解出a，b，c三个字母，得到函数解析式，再将第四组数值代入，验证哪个函数解析式更恰当另外，为了避免引起符号混乱，不妨设二次函数为ypx2qxr(p0)y0.05x20.35x0.7和y0.80.5x1.4.将x4分别代入以上两式得y1.3和y1.35，可见，后一个数1.35更接近1.37.选用g(x)0.80.5x1.4作为模拟函数更好评析：应用题型中注意理清解题思路，挖掘函数的信息，使用待定系数法求解