二一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：009：40）题号一二三共计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。一、 选择题（本题满分36分，每题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超出一个（无论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为 （A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以p为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|4、假如满足ABC=60，AC=12，BC=k的ABC恰有一个，那么k的取值范围是 （A）k=8 （B）0k12 （C）k12 （D）0k12或5、若的展开式为，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）6、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和不小于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较成果是(A)2枝玫瑰的价格高 (B)3枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定二、填空题(本题满分54分，每题9分)7、椭圆的短轴长等于 。8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则z1z2= 。9、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 ，则直线A1C1与BD1的距离是 。10、不等式的解集为 。FABCDE11、函数的值域为 。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一个植物，相邻的两块种不一样的植物。既有4种不一样的植物可供选择，则有 种栽种方案。二、 解答题（本题满分60分，每题20分）13、设an为等差数列，bn为等比数列，且，（a1a2）,又，试求an的首项与公差。14、设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；（2） O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0aa2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应怎样选用电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：0012：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。二、（本题满分50分）设xi0(I=1,2,3,n)且，求的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划提成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的对应边，试求这些正方形边长之和的最小值。全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一选择题：CBDDCA二填空题7 8 9 10 11 12 732 三解答题13设所求公差为d，a1a2，d0由此得 化简得： 解得： 5分而，故a10 若，则 若，则 10分 但存在，故| q |1，于是不也许 从而 因此 20分14解：(1)由 消去y得： 设，问题(1)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论如下三种情况： 10得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，因为a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama 10分(2)OAP的面积 0a，故ama时，0a， 由唯一性得 显然当ma时，xp取值最小因为xp0，从而yp取值最大，此时， 当初，xpa2，yp，此时 下面比较与的大小： 令，得 故当0a时，此时 当初，此时 20分15解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R ia i，i3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 5分证明如下： 1设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则故互换二电阻的位置，不变化R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R22设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB 显然R1R2越大，RAB越小，因此为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的个3设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD 若记 ，则S1、S2为定值，于是 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3Rl，即得总电阻的阻值最小 15分4对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB替代要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1应使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小 而由3，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1， 这就阐明，要证结论成立20分全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准一证明：(1)A、C、D、F四点共圆 BDFBAC 又OBC(180BOC)90BAC OBDF(2)CFMA MC 2MH 2AC 2AH 2 BENA NB 2NH 2AB 2AH 2 DABC BD 2CD 2BA 2AC 2 OBDF BN 2BD 2ON 2OD 2 OCDE CM 2CD 2OM 2OD 2 30分 ，得 NH 2MH 2ON 2OM 2 MO 2MH 2NO 2NH 2 OHMN 50分另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则 直线AC的方程为，直线BE的方程为 由 得E点坐标为E() 同理可得F() 直线AC的垂直平分线方程为 直线BC的垂直平分线方程为 由 得O() OBDF 同理可证OCDE在直线BE的方程中令x0得H(0，) 直线DF的方程为 由 得N () 同理可得M () kOH kMN 1，OHMN二解：先求最小值，因为1等号成立当且仅当存在i使得xi1，xj0，ji 最小值为1 10分再求最大值，令 设， 令 则 30分 令0，则 由柯西不等式得： 等号成立 (k=1，2，n) 因为a1a2an，从而，即xk0 所求最大值为 50分三解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)rnn(m，n) (*) 其中(m，n) 表示m和n的最大条约数 10分 实际上，不妨没mn (1)有关m归纳，能够证明存在一个合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rnn(m，n) 当用m1时，命题显然成立AA1BCD1Dmn 假设当，mk时，结论成立(k1)当mk1时，若nk1，则命题显然成立若nk1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一个分法使