全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）阐明：1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2假如考生的解答措施和本解答不一样，只要思绪合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次一、选择题（本题满分36分，每题6分）1函数在上的最小值是 （ C ）A0 B1 C2 D32设，若，则实数的取值范围为 （ D ）A B C D3甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 （ B ）A. B. C. D. 4若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm35方程组的有理数解的个数为 （ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46设的内角所正确边成等比数列，则的取值范围是 （ C ）A. B. C. D. 二、填空题（本题满分54分，每题9分）7设，其中为实数，若，则 5 .8设的最小值为，则9将24个志愿者名额分派给3个学校，则每校最少有一个名额且各校名额互不相同的分派措施共有 222种10设数列的前项和满足：，则通项=11设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足，则=12一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四周体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不也许接触到的容器内壁的面积是三、解答题（本题满分60分，每题20分）13已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证： 14解不等式题15图15如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形，是平面上的动点，令（）求证：当达成最小值时，四点共圆；答一图1（）设是外接圆的上一点，满足：，又是的切线，求的最小值二、（本题满分50分）设是周期函数，和1是的周期且证明：（）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期三、（本题满分50分）设，证明：当且仅当初，存在数列满足如下条件：（），；（）存在；（）， 全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）阐明：1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2假如考生的解答措施和本解答不一样，只要思绪合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次1.解 当初，因此，当且仅当初上式取等号而此方程有解，因此在上的最小值为22. 解 因有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得3.解法一 依题意知，的所有也许值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛成果对下轮比赛是否停止没有影响从而有，故解法二 依题意知，的所有也许值为2，4，6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜由独立性与互不相容性得， ， ，故4.解 设这三个正方体的棱长分别为，则有，不妨设，从而，故只能取9，8，7，6若，则，易知，得一组解若，则，但，从而或5若，则无解，若，则无解此时无解若，则，有唯一解，若，则，此时，故，但，故，此时无解综上，共有两组解或体积为cm3或cm3 5.解 若，则解得或若，则由得 由得 将代入得 由得，代入化简得.易知无有理数根，故，由得，由得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或 6.解 设的公比为，则，而 因此，只需求的取值范围因成等比数列，最大边只能是或，因此要组成三角形的三边，必需且只需且即有不等式组即解得从而，因此所求的取值范围是二、填空题7. 解 由题意知，由得，因此，8.解 ，(1) 时，当初取最小值；(2) 时，当初取最小值1；(3) 时，当初取最小值又或时，的最小值不能为，故，解得，(舍去)9. 解法一 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额如 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额若把每个“”与每个“”都视为一个位置，因为左右两端必须是“”，故不一样的分派措施相称于个位置（两端不在内）被2个“”占领的一个“占位法”“每校最少有一个名额的分法”相称于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“”，故有种又在“每校最少有一个名额的分法”中“最少有两个学校的名额数相同”的分派措施有31种综上知，满足条件的分派措施共有25331222种解法二设分派给3个学校的名额数分别为，则每校最少有一个名额的分法数为不定方程的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不一样元素中取21个元素的可重组合：又在“每校最少有一个名额的分法”中“最少有两个学校的名额数相同”的分派措施有31种综上知，满足条件的分派措施共有25331222种10.解 ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，因此11.解法一 由题设条件知 ，因此有，故 解法二 令，则 ，即，故，得是周期为2的周期函数，因此 12.解 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则小球球心为正四周体的中心，垂足为的中心因答12图1 ，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四周体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最接近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2记正四周体答12图2的棱长为，过作于 因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分） 又，因此由对称性，且正四周体共4个面，因此小球不能接触到的容器内壁的面积共为三、解答题答13图13.证 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，5分 因为，因此，即 10分因此 15分 20分14.解法一 由，且在上为增函数，故原不等式等价于即 5分分组分解 ， 10分因此， 15分因此，即或故原不等式解集为 20分解法二 由，且在上为增函数，故原不等式等价于5分即， ， 10分令，则不等式为， 显然在上为增函数，由此上面不等式等价于 ， 15分即，解得(舍去)，故原不等式解集为 20分15. 解 设，不妨设直线的方程:，化简得 又圆心到的距离为1， ， 5分故，易知，上式化简得， 同理有 10分因此，则因是抛物线上的点，有，则 ， 15分因此 当初，上式取等号，此时因此的最小值为8 20分全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题参考答案及评分标准阐明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2假如考生的解答措施和本解答不一样，只要思绪合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次