2.3.2平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示1.学会利用平面向量的正交分解解题学会利用平面向量的正交分解解题2.学会利用坐标表示平面向量学会利用坐标表示平面向量复习复习平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1,e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不不共线共线向量，那么对于这一平面内的任向量，那么对于这一平面内的任一向量一向量a，有且只有一对有且只有一对实数实数1，2 使使a= 1 e1+ 2 e2(1)我们把不共线向量我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量由定理可将任一向量a在给出基底在给出基底e1、e2的的条件下进行分解；条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一基底给定时，分解形式唯一. 1,2是被是被 a ,e1、e2唯一确定的数量。唯一确定的数量。a= 1 e1+ 2 e2复习复习 abOAaBb向量夹角向量夹角 已知已知 AOB是两个非零向量是两个非零向量a，b的夹角的夹角（1） AOB的取值范围什么？的取值范围什么？（2）若）若a，b同向，则同向，则 AOB=？（3）若）若a，b反向，则反向，则 AOB=？思考：思考：向量向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则称向量，则称向量a与与b垂直，记作垂直，记作ab. .思考：思考： 互相垂直的两个向量能否作为平互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？面内所有向量的一组基底？ba把把一一个个向向量量分分解解为为两两个个互互相相 垂垂直直的的向向量量 ,叫叫做做把把向向量量 正正交交分分解解F1F2G正交分解正交分解2 a2a1a1练习练习: :如图，向量如图，向量i、j是两个互相垂直的是两个互相垂直的单位向量，单位向量， |a|=4，向量向量a与与i的夹角是的夹角是30，用向量用向量i、j为基底，为基底，表示表示向量向量aB BaiO OjA AP P 我们知道，在平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。底时，会为我们研究问题带来方便。yOxjiaxiyj分别取与分别取与x轴、轴、y轴方向相同的两轴方向相同的两个单位向量个单位向量i、j作为基底作为基底.任任作一个向量作一个向量a a, ,由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知, ,有且有且只有一对实数只有一对实数x x、 y y, , 使得使得a a= = x x i i+ +y y j j把把(x,y)叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作 a = ( x, y )其中其中x叫做叫做a在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做a在在y轴上的坐标轴上的坐标i=j=0=( 1, 0 )( 0, 1 )( 0, 0 )ayOxxiyjjia = ( x, y )yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量向量a、b有什么关系有什么关系?ab能说出向量能说出向量b的坐标吗的坐标吗? ?b=( x,y )yxAa如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。yxOji设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；的坐标；a(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。以用一对实数唯一表示。反过来，点反过来，点A的坐标（的坐标（x,y)也就是也就是向量向量OA的坐标。的坐标。练习练习: :在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. .解：解：例例.用基底用基底 i , j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4AB12-2-1xy453随堂练习随堂练习坐标是坐标是A A、(3,2) B(3,2) B、(2,3) C(2,3) C、(-3,-2) D(-3,-2) D、(-2,-3)(-2,-3)BA A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B小结小结平面向量的正交分解平面向量的正交分解平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示