第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速Mechanics力 学1第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速2Chap. 8 Stress and Strain of Elastic Bodies弹性体的应力和应变第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速3任何物体，在外力作用下都会发生或多或少的形变，任何物体，在外力作用下都会发生或多或少的形变，如果撤消外力后，物体的形变能够完全消失。如果撤消外力后，物体的形变能够完全消失。 拉压形变与剪切形变是最基本的形变，拉压形变与剪切形变是最基本的形变， 扭转形变和弯曲形变可以看作由这两种形变组成扭转形变和弯曲形变可以看作由这两种形变组成弹性体弹性体: 弹性体是一种理想模型弹性体是一种理想模型 弹性体力学研究的是力与形变的规律弹性体力学研究的是力与形变的规律 弹性体的形变种类有：拉伸、压缩形变，剪切形变弹性体的形变种类有：拉伸、压缩形变，剪切形变 扭转形变，弯曲形变扭转形变，弯曲形变vs. 刚体刚体内部各点势能内部各点势能第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速48.1 弹性体的拉伸和压缩弹性体的拉伸和压缩i. 外力外力 、内力与应力、内力与应力ABAB(a)(b)(c)外力外力：外界对弹性体的作用力：外界对弹性体的作用力（ ， ）研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面 S ，它把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用它把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截面力叫截面 S 上的内力，内力总是成对出现的上的内力，内力总是成对出现的第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速5在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截面的不同点处，内力也不相同面的不同点处，内力也不相同内力内力：弹性体内部各部分间的相互作用力：弹性体内部各部分间的相互作用力（ ， ）外法线方向外法线方向： ，自受力一侧向施力一侧作垂直于面，自受力一侧向施力一侧作垂直于面元的单位矢量，标志假想截面的方位。元的单位矢量，标志假想截面的方位。 正应力正应力：Fn: 内力在内力在 上的投影上的投影拉伸应力拉伸应力压缩应力压缩应力第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速6例题：如图所示为圆柱形气罐，壁厚为例题：如图所示为圆柱形气罐，壁厚为d，半径为，半径为R，内装，内装有压强为有压强为 p 的高压气体，求壁内沿圆周切向的正应力。的高压气体，求壁内沿圆周切向的正应力。LRdFFf解：选图示过直径的纵向截面，隔离其解：选图示过直径的纵向截面，隔离其中一半作受力分析，中一半作受力分析，d 很小，可认为应很小，可认为应力分布均匀力分布均匀.据平衡条件：据平衡条件：所以，正应力所以，正应力第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速7ii. 直杆的线应变直杆的线应变直杆在竖直方向拉力作用下发生拉伸或压缩形变。直杆在竖直方向拉力作用下发生拉伸或压缩形变。bb0l0ll0 ： 原长原长l : 形变后的长度形变后的长度 b0 ： 直杆横截面边长直杆横截面边长b ： 形变后的边长形变后的边长绝对伸长（或压缩）与原长之比称为绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩），又叫相对伸长（或压缩），又叫线应变线应变。第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速8横向形变与原边长之比称为横向形变与原边长之比称为横向相对形变横向相对形变横向形变和纵向形变之比为横向形变和纵向形变之比为横向形变和纵向形变之比为横向形变和纵向形变之比为泊松系数泊松系数：iii. 胡克定律胡克定律弹性形变中，当应变较小时，应力与应变成正比。弹性形变中，当应变较小时，应力与应变成正比。胡克定律胡克定律E: 弹性弹性 (杨氏杨氏) 模量模量, 反映材料对于拉伸或压缩变形的反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力抵抗能力第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速9在力的作用下，物体的形变规律：在力的作用下，物体的形变规律： 刚体刚体 无形变无形变 弹性体弹性体 (1)(1)胡克定律胡克定律 第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速10iv. 拉伸和压缩的形变势能拉伸和压缩的形变势能 杆的左端点固定，杆的左端点固定，l0 为杆原长，规定为杆原长，规定 Ep(l0)=0=0，我们求杆，我们求杆的右端点移到的右端点移到 x = l 时，杆所具有的形变势能时，杆所具有的形变势能 Ep(l) Fol0lx第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速11从势能泰勒展开来理解此性质 V=c0+c1*x+c2*x2+.C0=0;c1=0,因为x取原长时 没有力由此势能可以反推出胡克定律.第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速12若杆的形变是均匀的，则形变势能均匀分布于整个杆中，若杆的形变是均匀的，则形变势能均匀分布于整个杆中，用用 V V 去除上式，得去除上式，得拉压形变的势能密度拉压形变的势能密度： 表示单位体积的形变势能与应变平方成正比表示单位体积的形变势能与应变平方成正比第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速138.28.2弹性体的剪切形变弹性体的剪切形变i. 剪切形变、切应力与切应变剪切形变、切应力与切应变（1）剪切形变）剪切形变当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变对平行移动时的形变对平行移动时的形变对平行移动时的形变ABCD假想截面假想截面 ABCD, ABCD, 和和 组成的力偶发生剪切形变组成的力偶发生剪切形变 描述的自由度不一样了描述的自由度不一样了!第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速14（2）切应力）切应力S: 截面截面 ABCD 的面积的面积: 截面上均匀分布截面上均匀分布切应力切应力FScFFabF（3）切应力互等定律）切应力互等定律合力0，力矩0形变后不动形变后不动!其实仅研究其实仅研究:内部势能内部势能第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速15切应力互等定律切应力互等定律：作用于两个互相垂直截面作用于两个互相垂直截面, ,且垂直于且垂直于两截面交线的切应力相等，两截面交线的切应力相等，=（4） 切应变切应变AB BC CD切应变：切应变：平行截面相对滑动距离平行截面相对滑动距离 BB 与垂直距离与垂直距离 AB 之比之比第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速16ii. 剪切形变的胡克定律剪切形变的胡克定律 若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比： G: 切变模量切变模量, 决定于材料弹性的比例系数，反映材料决定于材料弹性的比例系数，反映材料抵抗剪切变形的能力抵抗剪切变形的能力课后先讨论：课后先讨论：(1) 弹性模量弹性模量 E, 切变模量切变模量G 和泊松系数和泊松系数 (2) 剪切形变的势能密度剪切形变的势能密度第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速178.3 8.3 弯曲和扭转弯曲和扭转 i. 梁的弯曲梁的弯曲 梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲纯弯曲,上层被压缩上层被压缩, 下层被拉长，下层被拉长，y 轴所在的中间层，既不被轴所在的中间层，既不被压缩，也不被拉长压缩，也不被拉长,保持原长，称为保持原长，称为中性层中性层,可见可见纯弯曲纯弯曲形变形变是由是由程度不同的拉伸压缩程度不同的拉伸压缩形变组成。形变组成。FFoxydxhbFF第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速18(1) 应变、应力分布规律应变、应力分布规律ooxyRdxx 处取一厚度为处取一厚度为 dx 薄层薄层, 其线应变其线应变根据胡克定律，根据胡克定律， 正应力：正应力：= Ex/R(2) 曲率与力偶矩的关系曲率与力偶矩的关系对于纯梁弯曲形变有：对于纯梁弯曲形变有：对于纯梁弯曲形变有：对于纯梁弯曲形变有： 其中，其中，其中，其中，R R 和和和和 k k 分别为中性层的半径和曲率；分别为中性层的半径和曲率；分别为中性层的半径和曲率；分别为中性层的半径和曲率；h h 和和和和b b 分别为梁的高度和宽度，分别为梁的高度和宽度，分别为梁的高度和宽度，分别为梁的高度和宽度，MM 为梁仅受的靠端部的力为梁仅受的靠端部的力为梁仅受的靠端部的力为梁仅受的靠端部的力偶偶偶偶theta任意性任意性第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速19Mx在坐标在坐标x处取一面元处取一面元: dS=bdx，作用其上的内力：作用其上的内力：dF对对.轴的力矩：轴的力矩：bhodFdxxy整个面上的内力对整个面上的内力对.轴的力矩：轴的力矩：证明：证明：证明：证明：力方向力方向 力矩方向力矩方向其他形状，更普遍公式其他形状，更普遍公式第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速20在平衡状态下，外力矩在平衡状态下，外力矩 M 与内力矩与内力矩 M 大小相等大小相等 显然，增大显然，增大 h，能更好地减小曲率，能更好地减小曲率.(3) 形变势能形变势能坐标坐标 x 处，取一体积元处，取一体积元 dV=bL dx形变势能密度：形变势能密度：形变势能：形变势能：第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速21ii. 杆的扭转杆的扭转扭转形变扭转形变：圆柱体受到作用在与其轴线垂直的两个平面：圆柱体受到作用在与其轴线垂直的两个平面上大小相等、方向相反的两个力偶矩，发生扭转形变。上大小相等、方向相反的两个力偶矩，发生扭转形变。 : 扭转角扭转角zlRrMM: : 切应变切应变 扭转形变实质上是由剪切形变组成的。扭转形变实质上是由剪切形变组成的。把杆用假想截面切割成许多近似长方体的体元施加把杆用假想截面切割成许多近似长方体的体元施加力偶矩后，各个小长方体都发生切变，力偶矩后，各个小长方体都发生切变，r坐标相同的坐标相同的长方体切变相同长方体切变相同, ,r 越大越大, ,切变越大。切变越大。第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速22(1) 切应变和切应力的分布规律切应变和切应力的分布规律 扭转角扭转角: 上端面各半径直线相对下底面转过一上端面各半径直线相对下底面转过一个相同的角度个相同的角度 切变角：切变角：侧面轴向直线倾斜一个相同角度侧面轴向直线倾斜一个相同角度切应力：切应力：zlRrMM第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速23(2) 扭转角与力偶矩的关系扭转角与力偶矩的关系drdrdF取图示体元，作用在上表面的内力取图示体元，作用在上表面的内力dF及及dF对对z轴的力矩：轴的力矩： zlRrMM第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速24整个面上的内力对整个面上的内力对z轴的力矩：轴的力矩： 在平衡状态下，外力偶矩在平衡状态下，外力偶矩M等于内力偶矩等于内力偶矩M，并令，并令 杆的扭转系数，则：杆的扭转系数，则： 思路：通过力和形变参数的关系，导出力矩和形变参数的关系思考：能否直接通过量纲分析得出结论！ 第八章第八章 弹性体的应力和应变弹性体的应力和应变注意语速注意语速25作业： 1.1;1.6 2.1 3.1