第二章第二章 推理与证明推理与证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法复习演绎推理是证明数学结论、建立数学体演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程系的重要思维过程. .数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合主要靠合情推理情推理. .复习例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0, 求证求证 a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立, ,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理表示已知条件、已有的定义、公理、定理等等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :综合法又叫综合法又叫“顺推证法顺推证法”或或“由因导果由因导果”，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知知. .证明数学命题时，还经常从要证的结论证明数学命题时，还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，即使结论成立的充分条件件，即使结论成立的充分条件. .回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立证明证明: :要证要证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立 一般地，从要证明的结论出发，逐步一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论例例:如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线, ,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线, ,垂足垂足为为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证明证明: :要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以. AF. AFSCSC成立成立证证:得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论也可以是经过也可以是经过证明的结论证明的结论具体详解参照教材p88思考题思考题: :甲、乙、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384个个, ,先先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, ,所放个所放个数分别为乙、丙箱内原有个数数分别为乙、丙箱内原有个数, ,继而由乙箱继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内取出若干个球放进甲、丙两箱内, ,最后由丙最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, ,方法同方法同前前. .结果三箱内的小球数恰好相等结果三箱内的小球数恰好相等. .求甲、乙、求甲、乙、丙三箱原有小球数丙三箱原有小球数甲甲:208:208个个, ,乙乙:112:112个个, ,丙丙:64:64个个小结小结 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法用分析法. . 2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性和逻辑性. . 3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点连结点. .14