专题限时集训(十二) 第12讲点、直线、平面之间的位置关系(时间：45分钟)1设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是()A若m，n，lm，ln，则lB若m，n，ln，则lmC若m，n，则mnD若lm，ln，则nm2已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若ab，ac则bc；若ab，ac则bc；若ab，bc则ac.其中正确的个数为()A0个 B1个 C2个 D3个3如图121，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()图121AA1D BAA1 CA1D1 DA1C14图122是某个正方体的侧面展开图，l1、l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()图122A互相平行 B异面且互相垂直C异面且夹角为 D相交且夹角为5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中的假命题是()A若m，m，则B若mn，m，则nC若m，n，则mnD若m，m，则6在空间中，给出下面四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；若两个平面互相垂直，则一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线其中正确的是()A B C D7正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为()A2 B3 C4 D58如图123，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()图123AACBD BAC截面PQMNCACBD D异面直线PM与BD所成的角为459如图124，四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有_对图12410设l，m是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：若l，m，则lm；若l，lm，则m；若l，m，则lm；若l，m，则lm.则其中命题正确的是_11等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD为直二面角，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为_12如图125所示，三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，平面ABC1平面A1ACC1，又AA1C1BAC160，AC1与A1C相交于点O.(1)求证：BO平面A1ACC1；(2)求AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值图12513如图126，直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，CD2AB4，AD，E为CD的中点，将BCE沿BE折起，使得CODE，其中O点在线段DE内(1)求证：CO平面ABED；(2)问CEO(记为)多大时，三棱锥CAOE的体积最大？最大值为多少？图12614如图127，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EFAB，AB4，AE2，EF1.(1)求证：BCAF；(2)若点M在线段AC上，且满足CMCA，求证：EM平面FBC；(3)试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由图127专题限时集训(十二)【基础演练】1C解析 m，n，lm，ln，需要mnA才有l，A错误若m，n，ln，l与m可能平行、相交、也可能异面，B错误若lm，ln，l与m可能平行、相交、也可能异面，D错误2B解析 不对，b，c可能异面；不对，b，c可能平行；平行移动直线不改变这条直线与其他直线的夹角，故对，选B.3D解析 由于A1C1B1D1，根据正方体特征可得BB1A1C1，故A1C1平面BB1D1D，B1O平面BB1D1D，所以B1OA1C1.4D解析 把展开图还原，则l1，l2是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线，故一定相交且夹角为.【提升训练】5C解析 垂直同一直线的平面平行，选项A中的命题正确；两平行线中一条垂直一个平面，另一条也垂直这个平面，选项B中的命题正确；选项C中的命题不正确；由面面垂直的判定定理知选项D中的命题正确6D解析 由性质可知是正确的；对于，过两点的直线可能与平面相交，所以错误；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以错误；由性质可知正确故选D.7C解析 如图所示，则BC中点M，B1点，D点，A1D1的中点N分别到两异面直线的距离相等即满足条件的点有四个，故选C项8C解析 由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故A正确；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确综上C是错误的，故选C.96解析 因为四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，所以PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，共6对10解析 根据直线与平面垂直的定义，命题正确；两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，另一条也垂直这个平面，命题正确；直线与平面平行时直线不平行这个平面内的任意直线，命题不正确；直线与平面的平行不具有传递性，命题不正确11.解析 如图，G为DE的中点，则NGEM，ANG即为EM，AN所成角，设正方形的边长为2，则AN，AG，NGEM，所以cosANG.12解：(1)证明：由题知ACAA12，AA1C160，所以AA1C1为正三角形，所以AC12.又因为AB2，且BAC160，所以BAC1为正三角形又平行四边形A1ACC1的对角线相交于点O，所以O为AC1的中点，所以BOAC1.又平面ABC1平面A1ACC1，且平面ABC1平面A1ACC1AC1，BO平面BAC1，所以BO平面A1ACC1.(2)解法一：连接A1B交AB1于E，取A1O的中点F，连接EF，AF，则EFBO.又BO平面A1ACC1，所以EF平面A1ACC1，EFAF，所以直线AB1与平面A1ACC1所成角为EAF.而在等边BAC1中，AB2，所以BO，EF，同理可知，A1O，A1F，在AA1F中，由余弦定理得AF2AAA1F22AA1A1Fcos30.所以RtEFA中，AE，sinEAF.所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为.解法二：由于BB1CC1，BB1平面A1ACC1，所以BB1平面A1ACC1，所以点B1到平面A1ACC1的距离即点B到平面A1ACC1的距离因为BO平面A1ACC1，所以B1到平面A1ACC1的距离为BO的长，所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为sin.而在等边BAC1中，AB2，所以BO，同理可知，A1OOC，所以BC，B1C1.又易证OC1平面BA1C，所以OC1BC，OC1B1C1，所以AB1，所以sin，即AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为.13解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，CD2AB，E为CD的中点，则ABDE，又ABDE，ADAB，知BECD.在四棱锥CABED中，BEDE，BECE，CEDEE，CE，DE平面CDE，则BE平面CDE.因为CO平面CDE，所以BECO.又CODE，且BE，DE是平面ABED内两条相交直线，故CO平面ABED.(2)由(1)知CO平面ABED，则三棱锥CAOE的体积VSAOEOCOEADOC.由直角梯形ABCD中，CD2AB4，AD，CE2，得三棱锥CAOE中，OECEcos2cos，OCCEsin2sin，Vsin2.当且仅当sin21，0，即时取等号，(此时OEDE，O落在线段DE内)故当时，三棱锥CAOE的体积最大，最大值为.14解：(1)证明：因为EFAB，所以EF与AB确定平面EABF，因为EA平面ABCD，所以EABC.由已知得ABBC且EAABA，所以BC平面EABF.又AF平面EABF，所以BCAF.(2)证明：过M作MNBC，垂足为N，连接FN，则MNAB.又CMAC，所以MNAB.又EFAB且EFAB，所以EFMN，且EFMN，所以四边形EFNM为平行四边形，所以EMFN.又FN平面FBC，EM平面FBC，所以EM平面FBC.(3)直线AF垂直于平面EBC.证明如下：由(1)可知，AFBC.在四边形ABFE中，AB4，AE2，EF1，BAEAEF90，所以tanEBAtanFAE，则EBAFAE.设AFBEP，因为PAEPAB90，故PBAPAB90.则APB90，即EBAF.又因为EBBCB，所以AF平面EBC.