117 7高阶偏导数及泰勒公式高阶偏导数及泰勒公式由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论一、高阶偏导数一、高阶偏导数称为 z = f (x, y)的二阶偏导数. 类似, 可得三阶, 四阶, , n 阶偏导数.例例1.解解:若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数才相等呢?问题问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数则定理定理1分析. 按定义f (x0 , y0 +y) f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0)同理f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)证证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y), (x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)内.记 A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y) f (x0 , y0)(x) = f (x , y0 +y ) f (x , y0), 有 A = (x0 +x) (x0)即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日中值定理条件.因A = (x0 +x) (x0) , (x) = f (x , y0 +y )f (x , y0), A = (x0 +1x) x再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得另外, A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0, y0 +y ) f (x0+x, y0) f (x0 , y0)记 (y) = f (x0 +x , y) f (x0 , y),从而A = (y0 +y) (y0) (由拉格朗日中值定理)故1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).注注2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数.若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k m 次, 都可写成例例2. 解解:比较知 a = 1, b = 0.例例3. 解解: 设 u=x+y+z, v=xyz,从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数. 由链式法则.注意注意：还要用链式法则来求.例例4. 解解:例例5. 解解: (1)由隐函数求导公式从而,(2)上式两端对 x 求偏导. 此时右边的z看作 x 的的函数. y要看作常数.有例例6. 设方程组解解: (1)先求一阶偏导.注意, u, v 看作 x, y 的函数.得方程两边对x 求偏导.从而,(2)从而,例例7. 设u = f (x, y, z), y=x3, (x2, lny, z) = 0 .解解:u = f (x, x3, z) (x2, 3lnx, z) = 0易见 z, u均 x 的函数, 方程两边对 x 求导数.得从而和一元函数一样, 多元函数也有高阶微分的概念. 我们只介绍二元函数的高阶微分.若 dz 还可微, 则记 d2z = d(dz), 称为z 的二阶微分. 二、高阶微分二、高阶微分下边推导 z 的 k 阶微分的计算公式.设以 x, y 为自变量为自变量 的函数 z = f (x, y)Ck .由于x, y 为自变量,故dx = x, dy = y,与 x, y 的取值无关.固定x, y, (即将它们看作常数), 求dz的微分.且 d2z = d(dz)记引进记号.这相当于规定了 将字母 z 移到括号外 的方法。实际上，它把C1中的每一个z, 通过上述运算, 映成了dz.若记这个映射为g , 则比较两端式子, 可看出,不过是用一个我们陌生的式子来代替字母 g 而已.即, 我们把这个映射称为一阶微分算子.类似, 记并规定:故, 二阶微分算子实际上就是一阶微分算子 g 复合二次. 只不过这种复合运算在上述规定下, 可以看作是一阶微分算子一般, 若形式上规定.(1) 当 z = f (x, y)Ck 时, z 有 k 阶微分.(2) 只有把它按上述规定, 展开后, 再将各项 乘以 z (即, 将 z 补写在 k 后面), 一切记号才回复到导数和微分的意义.注注(3) 它本质上是一个映射. 它将 Ck 中的元素 z 映成 dk z . (4) 若 x, y 不是自变量, dk z 一般不具有上述形式.118 8方向导数方向导数函数的导数就是函数的变化率.比如, y = f (x),如图xoyx0x0+xx0+xyx0y = f (x)一、方向导数的概念一、方向导数的概念xoyx0x0+xx0+xyx0y = f (x)表示在 x0处沿 x 轴正方向的变化率.表示在 x0处沿 x 轴负方向的变化率.又比如, z = f (x, y), 偏导数分别表示函数在点 (x0, y0)沿 x 轴方向,沿 y 轴方向的变化率.如图xoyzx0(x0, y0)y表示在 (x0, y0)处沿 y 轴正方向的变化率.表示在 (x0, y0)处沿 y 轴负方向的变化率.但在许多实际问题中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的变化率.比如, 设 f (X)表示某物体内部点 X 处的温度. 那么, 这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.因此有必要引进 f (X)在 X0 沿一给定方向的方向导数.把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz = f (x, y)X0M0即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 x 的斜率.T11 : z = f (x, y0)1y0yxzoz = f (x, y)M0X022 : z = f (x0 , y)即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)的交线在 M0处的切线对 y 的斜率.x0T2如图xoyzM0lX0=(x0, y0)X = (x0+x, y0+y)MN设 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)的某邻域U(x0)内有定义.以 X0 为端点引射线 l , 其单位方向向量为 e = (cos, cos), 设X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一点. xoyzM0lX0=(x0, y0)X = (x0+x, y0+y)MN若当 X 沿 l 趋于 X0 时, 对应的函数改变量与线段X0X的长 | X0X |的比值X = (x0+x, y0+y)xoyzM0lX0=(x0, y0)MN则称它为 z = f (X) = f (x, y)在点 X0 = (x0, y0)沿 l 的方向导数.xoyzM0lX0=(x0, y0)MNX = (x0+x, y0+y)沿l沿l1.定义中要求点 X 只取在 l 的正向上, 且 X 沿 l 趋向于X0 . 的分母大于0.如图另外比值xoyX0=(x0, y0)lX = (x0+x, y0+y)yx注注2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)处偏导存在.则在 X0 处沿 x 轴正向的方向导数,在 X0 处沿 x 轴负方向的方向导数,同样可得沿 y 轴正向的方向导数为 f y (x0, y0), 而沿 y 轴负方向的方向导数为 f y (x0, y0).3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.由于l的单位方向向量为e = (cos, cos ), 从而 l 的参数式方程为x = x0 + t c o sy = y0 + tcos t 0或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 而 X X0 就是 t 0+.即 X = X0+ te从而这正是教材中给出的定义式.沿 l若 z = f (X) = f (x, y) 在点 X0 = (x0, y0) 可微, 则 z = f (X) 在 X0沿任一方向e = (cos, cos)的方向导数存在. e为单位向量.且= Jf (X0) e. (最后两式为数量积) 二、方向导数的计算二、方向导数的计算定理定理4证证: 如图xoyX0 = (x0, y0) eyxlX0 = (x0+x, y0+y)在射线 l 上取点X = (x0+x, y0+y) 其中, X =(x, y)因向量X = X X0 = X0 X / e , 故 X = te , (t 0), X = X0 +te , | X0 X | = | X | = t= X0 + X由方向导数定义看 f (X0 + te) f (X0).沿 l因 f (X)在X0可微, 知 z = f (X0 + X ) f (X0)= f (x0 + x, y0 + y ) f (x0 , y0)由定理1= Jf (X0) X + 0(| X |)上式对任何x, y 都成立. 特别, 当 X = X0 + X 在射线 l 上时, 当然成立.即, 当 X0 + X = X0 + te 时, 有f (X0 + te ) f (X0) = Jf (X0) ( te ) + 0(| te |)= t (Jf (X0) e + 0 ( t )除以 t 0, 并令 t 0+, 有 即 z = f (X0 + X ) f (X0) = Jf (X0) X + 0(| X |)= Jf (X0) e 即, 若 u = f (x, y, z) 在点 X0 = (x0, y0 , z0) 可微, 则 u 在该点处沿任何方向e = (cos, cos , cos )的方向导数存在= Jf (X0) e 且公式可推广到三元函数中去.例例5.求 u = xyz 在点 X0 = (1, 1, 1)处沿从该点到点 X1 = (1, 2, 2)方向的方向导数.解解:(1)先求出这个方向上的单位向量 e .向量 X0X1 = (0, 1, 1)从而与 X0X1 同向单位向量(2)求 u 在 X0 = (1, 1, 1) 处偏导数.(3)由公式得方向导数1.若 z = f (X) = f (x, y) 在区域D内存在一阶连续偏导. X0 = (x0, y0) 是 D 内一点. 知 z 在 X0 沿任何方向e = (cos, cos )的方向导数其中 | e | = 1.问问,注注故最大值为 |Jf (X0)|.函数沿Jf (X0) 的方向增长最快.(2)即(3) 记 grad f (X) = Jf (X) = ( f x(x, y), f y(x, y)称为 f (X)在点 X 处的梯度.2.设 z = f (X) = f (x, y) , 考察 z 在点 X0 = (x0, y0)处连续; 存在两偏导; 沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别.(1)(反之如何?)可微 连续, 可微 存在两偏导, (反之不对)可微 沿任何方向的方向导数存在. (2)若 z = f (X) = f (x, y) 在区域 D 内的两偏导不仅存在, 而且连续,则 z 在 D内可微, 进而在 D内连续, 在 D内每点处沿任何方向 的方向导数存在.3.当 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 可微时, 沿 e = (cos, cos )的方向导数该公式有另外的形式.记 为从 x 轴到 e 的转角( 不一定在0, 之间),则