6.76.7陪集和拉格朗日定理陪集和拉格朗日定理6.76.7陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理u【例题例题】是是的子群，求的子群，求的所有左陪集。的所有左陪集。解答：由解答：由0确定的左陪集：确定的左陪集：0,2,4 由由1确定的左陪集：确定的左陪集：1,3,5 由由2确定的左陪集：确定的左陪集：0,2,4 由由3确定的左陪集：确定的左陪集：1,3,5 由由4确定的左陪集：确定的左陪集：0,2,4 由由5确定的左陪集：确定的左陪集：1,3,5 6.76.7陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理u【例题例题】 设设G=RR,R为实数集，为实数集，G上的一个二元运算上的一个二元运算+定定义为义为 += 显然，显然，是一个具有幺元是一个具有幺元的阿贝尔群。的阿贝尔群。设设H= | y=2x, x ,y R,很容易验证很容易验证是是的子群。对于的子群。对于G,求求H关于关于的左陪集。的左陪集。 6.76.7陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理解答：解答： H= | y=2x =| (y-y0) =2(x-x0) 这个例子的几何意义：这个例子的几何意义：G是二维平面，是二维平面，H是通过是通过原点的一条直线原点的一条直线y=2x, 陪集陪集H是通过点是通过点且平行于且平行于H的一条直线。那么，集合的一条直线。那么，集合H | G构成构成G的一个划分。的一个划分。 6.76.7陪集性质陪集性质u定理定理设设是群是群的一个子群，的一个子群，aH和和bH是任意两个左陪集，那么是任意两个左陪集，那么aH = bH或或aHbH= 。证明：假设证明：假设aHbH ,则存在元素则存在元素h1H,h2H使使得得a*h1=b * h2 =c。则有。则有a=b*h2*h1-1。任取任取xaH,存在存在h3H,使得使得a*h3=x=b*(h2*h1-1*h3)6.76.7陪集性质陪集性质而而h2*h1-1*h3H,所以所以xbH。因此。因此,aH bH 。同理可以得到同理可以得到bH aH。这样，可以得到这样，可以得到aH = bH。又又aH和和bH都是非空集合，都是非空集合，aH = bH或或aHbH = 不可兼得。所以定理得证。不可兼得。所以定理得证。6.76.7陪集性质陪集性质u定理定理设设是群是群的一个子群，的一个子群，aH和和bH是任意两个左陪集，那么是任意两个左陪集，那么|aH|=|bH|=|H|。证明：证明：aG,对于对于H中任意元素中任意元素h1,h2 H,若若h1h2,则必有则必有 a*h1a*h2所以所以|aH|=|H|。同理也有。同理也有|bH|=|H|。6.76.7陪集性质陪集性质u定理定理设设是群是群的一个子群，的一个子群，a,bG, aH是由是由a确定的确定的H在在G中的左陪集。中的左陪集。baH当且仅当当且仅当a-1*bH。证明：证明：baH当且仅当存在当且仅当存在hH,使得使得a*h=b,即即h=a-1*bH。6.76.7拉格朗日定理拉格朗日定理u定理定理(拉格朗日定理拉格朗日定理)设设是群是群的一个子群，那么有的一个子群，那么有(1)R= | aG bG a-1*b H是是G中的中的等价关系，且有等价关系，且有aR=aH。(2)若若G是有限群，是有限群，|G| = n, |H| = m, 则则m | n。证明证明：(1)(i)(证明证明R是自反的是自反的)任取任取aG,则则a-1G,可得可得 a*a-1=e H因此因此R，R是自反的。是自反的。173618136.76.7拉格朗日定理拉格朗日定理(ii)(证明证明R是对称的是对称的)若若R,则则a-1*bH。因为因为是是的子群，则有的子群，则有(a-1*b)-1H,即即b-1*a H,即即R。因此。因此R是对称的。是对称的。(iii)(证明证明R是传递的是传递的)若若 R,R,则则a-1*bH,且且b-1*cR。因。因此有此有 (a-1 * b )*( b-1 * c) = a-1 * c R所以所以 R。因此。因此R是传递的。是传递的。6.76.7拉格朗日定理拉格朗日定理由由(i)、(ii)、(iii)可知，可知，R是是G上的一个等价关系。上的一个等价关系。(2)由于由于R是是G上的一个等价关系，所以必将上的一个等价关系，所以必将G划分划分成不同的等价类成不同的等价类a1R, a2R, , akR，使得，使得 G = = 又因为又因为|aH| = |H| = m，故有，故有n = | G | = | | = = k |H| = km即即m | n。6.76.7拉格朗日定理的推论拉格朗日定理的推论u推论推论1任何质数阶的群没有非平凡子群。任何质数阶的群没有非平凡子群。 这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群阶的一个因子，这与原来群的阶必定是原来群阶的一个因子，这与原来群的阶是质数相矛盾。阶是质数相矛盾。u推论推论2设设是是n阶有限群，那么对于阶有限群，那么对于任意任意aG, a的阶数必是的阶数必是n的因子的因子,并且并且an=e。证明：设证明：设a是是G中任意元素，以中任意元素，以a为生成元生成的循为生成元生成的循环群为环群为 H = ai | iI6.76.7拉格朗日定理的推论拉格朗日定理的推论显然显然是是的一个子群。的一个子群。设设|H| = m (mI, m0)，根据拉格朗日定理，可知，根据拉格朗日定理，可知n=mk，kI+。根据循环群的性质有。根据循环群的性质有am=e 且且H=a, a1, ,am-1, e证毕。证毕。 因为质数阶群只有平凡子群，所以质数阶群必因为质数阶群只有平凡子群，所以质数阶群必定是循环群。定是循环群。必须注意，群的阶与元素阶的概必须注意，群的阶与元素阶的概念区别。念区别。6.76.7拉格朗日定理的推论拉格朗日定理的推论u推论推论3一个质数阶的群必是循环群，并一个质数阶的群必是循环群，并且任何与幺元不同的元素均可作为生成元。且任何与幺元不同的元素均可作为生成元。