第二章 波函数和 Schrdinger 方程本本 章章 要要 求求1 理解和掌握波函数的理解和掌握波函数的统计解释统计解释和量子力学的和量子力学的第一条基本假定第一条基本假定2 掌握态迭加原理掌握态迭加原理3 掌握薛定谔方程和量子力学的第二条基本假定掌握薛定谔方程和量子力学的第二条基本假定4 掌握定态、定态薛定谔方程、哈密顿算符、本征方程、本征掌握定态、定态薛定谔方程、哈密顿算符、本征方程、本征 值和本征函数等概念值和本征函数等概念本本 章章 要要 求：求：5 掌握求解一维定态掌握求解一维定态Schrdinger 方程的基本步骤方程的基本步骤;6 了解能量量子化了解能量量子化,束缚态束缚态,零点能零点能,分立谱分立谱,连续谱连续谱,厄厄密多项式等概念。密多项式等概念。第二章第二章 波函数和波函数和 Schrodinger 方程方程p2.1波函数的统计解释波函数的统计解释p2.2 态迭加原理态迭加原理p2.3 薛定谔方程薛定谔方程p2.4 定态薛定谔方程定态薛定谔方程p2.5 一维无限深势阱一维无限深势阱p2.6 线性谐振子线性谐振子一、一、 物质波物质波二、电子双缝干涉实验二、电子双缝干涉实验三、物理对波函数的要求三、物理对波函数的要求2.1 物质波物质波 波函数的统计解释波函数的统计解释 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性一一 光的波粒二象性光的波粒二象性 关于光的产生关于光的产生和转化的一个启和转化的一个启发性观点发性观点描述光的描述光的 粒子性粒子性 描述光的描述光的 波动性波动性（2 2）粒子性：）粒子性： （光电效应等）（光电效应等）（1 1）波动性：）波动性： 光的干涉和衍射光的干涉和衍射. .1. 1. 光的波粒二象性光的波粒二象性 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性光子：光子： 思想方法思想方法 自然界在许多方自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设比的方法提出物质波的假设 . “整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物在实物理论上，是否发生了相反的错误呢理论上，是否发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关是不是我们关于于粒子粒子的图象想得太多的图象想得太多 ，而过分地忽略了波的，而过分地忽略了波的图象呢？图象呢？”法国物理学家德布罗意（法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 1987 ) 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性2.德布罗意假设（德布罗意假设（1924 年）年）v德布罗意假设：德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，实不仅光具有波粒二象性，实物粒子也具有波粒二象性物粒子也具有波粒二象性 . 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性波长波长频率频率v德布罗意波：德布罗意波：与粒子相联系的波称为德布罗与粒子相联系的波称为德布罗意波或者物质波意波或者物质波 .注注 意意若若 则则若若 则则德布罗意关系式可解释玻尔氢原子理论的定态条件德布罗意关系式可解释玻尔氢原子理论的定态条件. . 德布罗意关系式：德布罗意关系式： 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性波长波长频率频率v从德布罗意关系可以导出氢原子波尔理论中角动量量从德布罗意关系可以导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件子化条件.两端固定的弦，若其长度两端固定的弦，若其长度等于波长的整数倍可形成等于波长的整数倍可形成稳定的驻波稳定的驻波.将弦弯曲成圆时将弦弯曲成圆时电子绕核运动其德布罗意波长为电子绕核运动其德布罗意波长为角动量量子化条件角动量量子化条件 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性3. 3. 电子的德布罗意波长电子的德布罗意波长 一原静止的电子被电场加速到速度一原静止的电子被电场加速到速度u,(,(uc c) )。加速电。加速电压为压为U U，则速度为，则速度为u的电子的电子的德布罗意波波长为多大？的德布罗意波波长为多大？解：依守恒定律解：依守恒定律UBK发射电发射电子阴级子阴级加速电极加速电极em0 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性由此得：由此得： 可获得电子在不同电压下的波长可获得电子在不同电压下的波长与与x x射线的波长相当射线的波长相当 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性4. 4. 德布罗意波的实验验证德布罗意波的实验验证1 1）戴维逊）戴维逊-革末实验与汤姆逊实验革末实验与汤姆逊实验电电子子束束电子波衍射图样电子波衍射图样X X射线衍射图样射线衍射图样观测到观测到电子衍电子衍射现象射现象 电子通过金薄膜的衍射实验电子通过金薄膜的衍射实验2 2）电子衍射实验）电子衍射实验电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。实验证实质子、中子、原子和分子等实验证实质子、中子、原子和分子等微观粒子微观粒子都具都具有有波粒二象性波粒二象性，并满足德布罗意关系式。，并满足德布罗意关系式。 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性例：设有例：设有m0=0.04Kg的子弹，的子弹，速度为速度为1000m/s，求其物，求其物质波的波长。质波的波长。普朗克常量普朗克常量 h 太小了，使得宏观物体的波长小得难太小了，使得宏观物体的波长小得难以测量，宏观物体只表现出粒子性。以测量，宏观物体只表现出粒子性。波粒二象性是普遍的结论，宏观粒子也具有波动性；波粒二象性是普遍的结论，宏观粒子也具有波动性；p扫扫描式描式电电子子显显微鏡微鏡(SEM)(SEM)p穿透式穿透式电电子子显显微鏡微鏡(TEM)(TEM)p扫扫描描隧道显隧道显微鏡微鏡(STM)(STM)p原子力原子力显显微鏡微鏡(AFM)(AFM)p磁力磁力显显微鏡微鏡(MFM)(MFM)5. 德布罗意波应用举例：德布罗意波应用举例： 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性科学家使用科学家使用STM观测物质的纳米结构观测物质的纳米结构IBMIBM公司苏黎世实验室的两位科学家宾尼希公司苏黎世实验室的两位科学家宾尼希公司苏黎世实验室的两位科学家宾尼希公司苏黎世实验室的两位科学家宾尼希(G.Binnig)(G.Binnig)和罗雷尔和罗雷尔和罗雷尔和罗雷尔(H.Rohrer)(H.Rohrer)发明了扫描隧道显微镜。与电子显发明了扫描隧道显微镜。与电子显发明了扫描隧道显微镜。与电子显发明了扫描隧道显微镜。与电子显微镜的创制者微镜的创制者微镜的创制者微镜的创制者E.Ruska(E.Ruska(鲁斯卡鲁斯卡鲁斯卡鲁斯卡) )教授一起荣获教授一起荣获教授一起荣获教授一起荣获19861986年诺年诺年诺年诺贝尔物理奖。贝尔物理奖。贝尔物理奖。贝尔物理奖。05090307010(nm) 硅晶体表面的硅晶体表面的STM扫描图象扫描图象 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性 神经细胞的神经细胞的STM扫描图象扫描图象 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性搬运单个原子搬运单个原子 CO分子小人 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性19931993年克罗米等人用扫描隧道显微镜搬动年克罗米等人用扫描隧道显微镜搬动4848个个FeFe原子原子到到CuCu表面上构成半径为表面上构成半径为7.13nm7.13nm的圆柱形量子围栏。的圆柱形量子围栏。并观察到了围栏内铜表面的电子产生的圆形驻波。并观察到了围栏内铜表面的电子产生的圆形驻波。量子围栏中的驻波量子围栏中的驻波 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性问题问题？ 如何体现波粒二象性的如何体现波粒二象性的？ 物质波是什么样的波？物质波是什么样的波？E.Schrdinger提出可用一个提出可用一个波函数波函数 来描述来描述物质波，称为物质波的波函数。物质波，称为物质波的波函数。 如何描述微观粒子的波粒二象性？如何描述微观粒子的波粒二象性？M.Born通过与光的类比，从电子的波动性出发，通过与光的类比，从电子的波动性出发，波函数的物理意义要从统计概率去解释。波函数的物理意义要从统计概率去解释。波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释二二. .波函数的统计解释：概率波波函数的统计解释：概率波（1926年）年） 单电子双缝实验单电子双缝实验玻恩获得玻恩获得19541954年年诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性二二 物质波的统计解释物质波的统计解释 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性 经经典典粒粒子子：不不被被分分割割的的整整体体，有有确确定定位位置置和和运运动动轨轨道道 ；经经典典的的波波：某某种种实实际际的的物物理理量量的的空空间间分分布布作作周周期期性性的的变变化化. 二二象象性性：将将波波和和粒粒子子两两种种对对立立的的属属性性统统一一到同一物体上到同一物体上 .随电子数目增多随电子数目增多, , 在屏上逐渐形成了干涉图样，在屏上逐渐形成了干涉图样，呈现出呈现出波动性波动性。(a)(b)(c)(d)电子双缝干涉实验电子双缝干涉实验 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性7 7个电子在观察个电子在观察屏上的图像屏上的图像100100个电子在个电子在屏上的图像屏上的图像屏上出现的电屏上出现的电子说明电子的子说明电子的粒子性。粒子性。单个电子的去向是单个电子的去向是随机性随机性的，但随着电子数目的的，但随着电子数目的增多显示出增多显示出统计规律性统计规律性。电子双缝干涉实验电子双缝干涉实验 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性 结论：结论：干涉实验所揭示的电子的波动性是一个电子在干涉实验所揭示的电子的波动性是一个电子在许多次相同实验中的许多次相同实验中的统计结果统计结果，或者是许多电子在同，或者是许多电子在同一个实验中的统计结果。一个实验中的统计结果。 正比于该点附近感光点的正比于该点附近感光点的数目数目 正比于该点附近出现的电子正比于该点附近出现的电子数目数目正比于单个电子出现在正比于单个电子出现在 点附近的点附近的概率概率 点附近干涉图样的点附近干涉图样的强度强度 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性物质波的物质波的强度大强度大光强度大光强度大光波光波振幅平方振幅平方大大光子在该处出现光子在该处出现 的的几率几率大大（微粒观点）（微粒观点）波函数波函数振幅平方振幅平方大大单个粒子在该处出现单个粒子在该处出现的的几率几率大大（波动观点）（波动观点）（微粒观点）（微粒观点）类比类比光光的干涉实验的干涉实验（波动观点）（波动观点）光子在某处出现的光子在某处出现的几率几率和该处光和该处光振幅振幅的的平方平方成正比成正比粒子在某处出现的粒子在某处出现的几率几率和该处波函数和该处波函数振幅振幅的的平方平方成正比成正比据此，描写粒子的物质波是几率波，反映微观客据此，描写粒子的物质波是几率波，反映微观客体运动的一种体运动的一种统计规律性统计规律性，波函数，波函数(r)有时也称为几有时也称为几率波幅（几率幅）。率波幅（几率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，由由波函数还可以得到体系的各种性质波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由这就是首先由 Born 提出的提出的波函数的统计解释波函数的统计解释。 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r)(r) 描述，与光学相似，衍描述，与光学相似，衍射花样的强度则用射花样的强度则用 |(r)|(r)|2 2 描述，但意义与经典波描述，但意义与经典波不同。不同。|(r)|(r)|2 2 的意义是代表粒子出现在的意义是代表粒子出现在r r点附近几率点附近几率的大小，确切地说，的大小，确切地说，|(r)|(r)|2 2xyzxyz 表示在表示在r r点处，点处，体积元体积元xyzxyz中找到粒子的几率。中找到粒子的几率。量子力学的第一条基本假定（或公设）量子力学的第一条基本假定（或公设） 只开只开上缝上缝时时 电子通过上缝的几率电子通过上缝的几率 只开只开下缝下缝时时 电子通过下缝的几率电子通过下缝的几率二二. .用电子双缝干涉实验说明几率波的含义用电子双缝干涉实验说明几率波的含义双缝双缝齐开时齐开时波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释双缝双缝齐开时齐开时总几率幅总几率幅总几率密度总几率密度干涉项干涉项1干涉是由于几率幅的线性叠加产生的干涉是由于几率幅的线性叠加产生的 l结论结论波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释2 微观粒子的波动性微观粒子的波动性 实质上就是几率幅的相干叠加性实质上就是几率幅的相干叠加性3 即使只有一个电子即使只有一个电子 当双缝齐开时当双缝齐开时它的状态也要用它的状态也要用 来描述来描述波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释物理学家问物理学家问: :滑雪者究竟滑雪者究竟是从哪条路是从哪条路过去的呢过去的呢? ?波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释l结论结论2 微观粒子的波动性微观粒子的波动性 实质上就是几率幅的相干叠加性实质上就是几率幅的相干叠加性3 即使只有一个电子即使只有一个电子 当双缝齐开时当双缝齐开时它的状态也要用它的状态也要用 来描述来描述4 如果实验能确定通过了哪个缝，则干涉消失。如果实验能确定通过了哪个缝，则干涉消失。波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释 1926 年玻恩提出德布罗意波是年玻恩提出德布罗意波是概率概率波波 . 统计解释：统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的该处邻近出现的概率成正比的 .少女？少女？老妇？老妇？两种图象不会两种图象不会同时出现在你同时出现在你的视觉中。的视觉中。 物质波物质波- -实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性(1) 波动性波动性l “可叠加性可叠加性”: :有有“干涉干涉”“”“衍射现象衍射现象l 不是经典的波不是经典的波 不代表实在物理量的波动不代表实在物理量的波动(2) 粒子性粒子性l 整体性整体性l 不是经典的粒子不是经典的粒子 没有没有“轨道轨道”概念概念微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释19271927年，玻尔提出互补原理，试图从哲学的角度概括年，玻尔提出互补原理，试图从哲学的角度概括波粒二象性。玻尔认为：一些经典概念波粒二象性。玻尔认为：一些经典概念( (如粒子、动量如粒子、动量) ) 的应用不可避免地排斥另一些经典概念的应用不可避免地排斥另一些经典概念( (如波动、波长如波动、波长) )的应用，而这的应用，而这“另一些经典概念另一些经典概念”在某些条件下又是描在某些条件下又是描述现象所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、述现象所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成现象的又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成现象的详尽无遗的描述详尽无遗的描述. .波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释三、物理对波函数的要求三、物理对波函数的要求1. 波函数的波函数的有限性有限性在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值有限值波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释(1) d w ( r, t) = C| (r,t)|2 d在在 t 时刻时刻, r 点，点，d = dx dy dz 体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数 (r,t)描写的粒子的几率描写的粒子的几率. 其中其中C是比例系数是比例系数.(2)( r, t ) = d (r, t )/ d = C | (r,t)|2在在 t 时刻时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率点，单位体积内找到粒子的几率,称为几率称为几率密度。密度。(3)(t) = V d = CV | (r,t)|2 d统计解释统计解释:在体积在体积 V 内，内，t 时刻找到粒子的几率时刻找到粒子的几率2. 波函数的波函数的归一性归一性根据波函数统计解释根据波函数统计解释 在空间各点的概率总和必须为在空间各点的概率总和必须为1这即是要求描写粒子量子状态的波函数这即是要求描写粒子量子状态的波函数必须是必须是绝对值绝对值平方可积平方可积的函数的函数.若若 | (r , t)|2 d , 则则 C 0, 没有意义。没有意义。另外讨论另外讨论.波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释归一化因子归一化因子则则是归一化的波函数是归一化的波函数,与与 (r , t )描写同一几率波描写同一几率波解解: :令以归一化波函数为p归一化：归一化：将其归一化 (r , t ) 和和 C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同。所描写状态的相对几率是相同。 因为在因为在 t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r1 和和 r2 处找到粒子的相对处找到粒子的相对几率之比是：几率之比是： 可见，可见， (r , t ) 和和 C (r , t ) 描述的是描述的是同一几率波同一几率波，所，所以波函数有一以波函数有一常数因子不定性常数因子不定性。由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而将波函数乘上比例，而不取决于强度的绝对大小，因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) 和和 C (r, t) 描述描述同一同一状态状态.注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为一的因子不定性。若若 (r , t )是归一化波函数，是归一化波函数，expi (r , t ) 也是也是归一化波函数（其中归一化波函数（其中是实数是实数)，因为，因为 也等于也等于1.expi称为相因子。称为相因子。 expi (r , t )与前者描述同一与前者描述同一几率波。几率波。3. 波函数的波函数的单值性单值性 根据统计解释根据统计解释 要求波函数单值要求波函数单值从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。势场性质和边界条件要求波函数是连续的。势场性质和边界条件要求波函数是连续的。4. 波函数的波函数的连续性连续性有限性有限性,归一性归一性,单值性单值性,连续性连续性称为称为波函数的标准化条件。波函数的标准化条件。波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释例：自由粒子的波函数例：自由粒子的波函数所以自由粒子所以自由粒子 相当于单色波相当于单色波所谓自由所谓自由 即粒子不受任何形式力的作用即粒子不受任何形式力的作用经典：经典：沿沿+x传播的传播的平面机械波平面机械波或或实实函数函数类比类比上述经典波的上述经典波的复数表达式复数表达式波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释将德布罗意波关系将德布罗意波关系代入代入得到描写得到描写自由粒子自由粒子的平面波的平面波波函数波函数：沿沿+x方向运动的自由粒子波函数方向运动的自由粒子波函数其中其中反映了粒子的波粒二象性反映了粒子的波粒二象性波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释在三维空间中运动的自由粒子的波函数在三维空间中运动的自由粒子的波函数称为称为 空间波函数空间波函数在物理上通常可以分离时间和空间变量在物理上通常可以分离时间和空间变量自由粒子自由粒子说明粒子在各处几率相同说明粒子在各处几率相同波粒二象性波粒二象性 波函数及统计解释波函数及统计解释作作 业业I Dirac 函数函数 定义：定义：0x0x或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数邻域连续的任何函数 f（x）有：）有：亦可写成亦可写成 Fourier 积分形式：积分形式： 性质：性质：平面波函数平面波函数 归一化归一化