弹塑性力学第六章弹塑性力学第六章第六章第六章弹性力学平面问题的直弹性力学平面问题的直坐标系解答坐标系解答 在在第第五五章章讨讨论论了了弹弹性性力力学学问问题题的的基基本本解解法法：位位移移法法和和应应力力法法，并并结结合合简简单单的的三三维维问问题题，根根据据问问题题的的特特点点，猜猜想想问问题题的的应应力力解解或或位位移移解解，并并验验证证猜猜想想的的解解是是否否满满足足应应力力法法或或位位移移法法的的基基本本方方程程和和边边界界条条件件，满满足足则则为为问问题题真真解。解。7/28/20247/28/20242 26-1平面问题的分类平面问题的分类应应 力力 分分 量量 仅仅 存存 三三 个个 : : x= x(x,y), y= y(x,y), xy= xy(x,y),均为均为x,y的函数。的函数。1.1 1.1 平面应力问题平面应力问题存存在在四四个个应应变变分分量量( (待待求求量量) )： x , y , xy , z（其中其中 z 不独立）不独立）7/28/20247/28/20249 96-1平面问题的分类平面问题的分类位位移移分分量量待待求求量量： u(x,y) , v(x,y)（考考虑虑平面内位移）平面内位移）.1.1 1.1 平面应力问题平面应力问题平面应力问题待求未知函数一共八个：平面应力问题待求未知函数一共八个： 3个应力个应力3个应变个应变2个位移个位移7/28/20247/28/202410106-1平面问题的分类平面问题的分类1.2 1.2 平面应变问题平面应变问题 形形状状特特点点：物物体体一一个个方方向向尺尺寸寸（z或或x3）比比其其它它两两个个方方向向（x,y 或或 x1 ,x2 ）大大的的多多，如如水水坝坝、涵洞。涵洞。 x1 (x)x2 (y)x3 (z)7/28/20247/28/202411116-1平面问题的分类平面问题的分类受受力力和和约约束束情情况况：沿沿z(或或x3）轴轴方方向向无无变变化化，体体力力f3 = fz = 0，面面力力 ，这这样样x3 = z= const 面面均均可可看看成成对对称称面面，对对称称结结构构受受对对称称荷荷载载和和约约束束，则则此此对对称称面面处处的的位移和变形为零，即位移和变形为零，即w=0( z=0), zx= zy=01.2 1.2 平面应变问题平面应变问题 7/28/20247/28/202412123-1平面问题的分类平面问题的分类平面应变问题：平面应变问题： 应变分量仅有三个应变分量仅有三个 x , y , xy= yx 位移分量两个：位移分量两个：u(x,y) , v(x,y) 应力分量：应力分量： x , y , xy , z（其中（其中 z不独立）不独立） 平面应变问题待求未知函数仍然八个：平面应变问题待求未知函数仍然八个： 3应力应力3应变应变2位移。位移。 1.2 1.2 平面应变问题平面应变问题7/28/20247/28/202413136-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件2.12.1 平衡微分方程（平衡微分方程（2 2个）个） 两个平面问题一致两个平面问题一致： , +f =0, , =1,27/28/20247/28/202414146-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件2.2 2.2 几何方程（几何方程（3 3个）个） 两平面问题一致两平面问题一致： 7/28/20247/28/202415156-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件2.3 2.3 相容方程（相容方程（1 1个）个） 两平面问题一致：两平面问题一致： 对于平面应力问题还应有对于平面应力问题还应有 但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。不考虑。 7/28/20247/28/202416166-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件2.4 2.4 本构方程（本构方程（3 3个）个） 平面应力问题平面应力问题 7/28/20247/28/202417176-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件2.4 2.4 本构方程（本构方程（3 3个）个） 平面应变问题平面应变问题 7/28/20247/28/202418186-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件 两两个个平平面面问问题题的的基基本本方方程程仅仅物物理理方方程程有有所所 不不 同同 ， 将将 平平 面面 应应 力力 物物 理理 方方 程程 中中 弹弹 性性 系系 数数 ， ，则则平平面面应应力力问问题题的的物物理理方方程程变变为为平平面面应应变变问问题题的的物物理理方方程程。所所以以按按平平面面应应力力问问题题求求解解的的结结果果中中弹弹性性系系数数也也如如此此替替换换，则可得到平面应变问题解。则可得到平面应变问题解。7/28/20247/28/202419196-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件2.5 2.5 边界条件边界条件 位移边界条件位移边界条件： ( =1,2）（在（在Su上）上） 7/28/20247/28/202420206-2平面问题的基本方程和边界条件平面问题的基本方程和边界条件力的力的边界条件：边界条件： （在（在S 上）上） 7/28/20247/28/202421216-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法3.1 3.1 位移法位移法 基本未知函数：基本未知函数：u(x,y) , v(x,y)基本方程两个：基本方程两个：用用 u , v表示的平衡微分方程。表示的平衡微分方程。平面应力问题：平面应力问题： 7/28/20247/28/202422226-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法其中其中 平面应变问题：平面应变问题： 7/28/20247/28/202423236-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法边界条件：位移边界边界条件：位移边界 在在Su上上力的边界力的边界 （在（在S 上上）（应力需要用位移微分表示）（应力需要用位移微分表示）7/28/20247/28/202424246-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法3.2 3.2 应力法应力法 基本未知函数（基本未知函数（3 3个）：个）： x , y , xy= yx基本方程（基本方程（3 3个）：个）：2个平衡微分方程个平衡微分方程 , + f = 01个相容方程：个相容方程：（平面应力问题时）（平面应力问题时）7/28/20247/28/202425256-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法3.2 3.2 应力法应力法 1 1个相容方程：个相容方程： （平面应变问题时（平面应变问题时）力边界条件：力边界条件： 在在S =S上上 7/28/20247/28/202426266-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法当当体体力力为为常常数数或或体体力力为为零零时时，两两个个平平面面问问题题的相容方程一致的相容方程一致 2( x+ y ) = 0 ( x+ y )为为调调合合函函数数，与与弹弹性性系系数数无无关关，不不管管是是平平面面应应力力（应应变变）问问题题，也也不不管管材材料料如如何何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。只要方程一致，应力解一致，有利实验。 7/28/20247/28/202427276-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法3.2 3.2 应力函数解法应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为的基本方程（共三个）为 , +f =0 , 2 =0应力法基本方程的前两个为非齐次方程，所应力法基本方程的前两个为非齐次方程，所以根据微分方程理论，非齐次微分方程的通以根据微分方程理论，非齐次微分方程的通解等于其特解加上齐次微分方程的通解。解等于其特解加上齐次微分方程的通解。 7/28/20247/28/202428286-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法 非齐次方程特解可以选非齐次方程特解可以选 x= -fx x, y= - fyy , xy= 0;（特解还可以选其它形式）（特解还可以选其它形式）下面工作求齐次微分方程下面工作求齐次微分方程 , =0 的通解的通解， 或或求求的通解的通解7/28/20247/28/202429296-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法同时通解还需要满足相容方程：同时通解还需要满足相容方程： 2( x+ y )=0 对对于于上上面面三三个个齐齐次次微微分分方方程程要要求求出出其其通通解解，仍是一个较复杂、困难的问题。仍是一个较复杂、困难的问题。7/28/20247/28/202430306-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法1862年年AiryAiry提提出出将将满满足足三三个个齐齐次次微微分分方方程程的的3 3个个应应力力分分量量的的齐齐次次解解由由一一个个函函数数 （应应力力函函数数）的的二二阶阶微微分分来来表表示示，使使之之自自然然满满足足齐齐次次平平衡微分方程衡微分方程 , =0这样应力法的齐次基本方程仅为用应力函数这样应力法的齐次基本方程仅为用应力函数 表示的相容方程，使未知函数和基本方程表示的相容方程，使未知函数和基本方程数均减为一个。数均减为一个。 7/28/20247/28/202431316-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法 Airy提提出出应应力力函函数数 (x,y)与与齐齐次次微微分分方方程程中待求应力分量之间满足如下微分关系：中待求应力分量之间满足如下微分关系：（a） 应应力力函函数数 (x,y) 与与待待求求应应力力分分量量齐齐次次解解之之间间的的微微分分关关系系是是由由两两个个齐齐次次平平衡衡微微分分方方程程导出的：导出的：7/28/20247/28/202432326-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法得 7/28/20247/28/202433336-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法从从而而导导出出(a)式式。则则(a)式式使使得得齐齐次次的的平平衡衡微微分分方程自然满足，将方程自然满足，将(a)式代入相容方程，得式代入相容方程，得7/28/20247/28/202434346-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法上式称为应力函数解法的基本方程（一个）上式称为应力函数解法的基本方程（一个）基本方程为由应力函数基本方程为由应力函数 满足的双调合方程满足的双调合方程最后应力分量解为其特解加通解：最后应力分量解为其特解加通解：7/28/20247/28/202435356-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法 在边界上应力分量满足力的边界条件在边界上应力分量满足力的边界条件（在（在S 上），用应力函数表示：上），用应力函数表示： 7/28/20247/28/202436366-3平面问题的基本解法平面问题的基本解法 对对于于单单连连域域，应应力力函函数数 (x,y) 满满足足双双调调和和方方程程 4 = 0，且且在在S 上上满满足足用用应应力力函函数数二二阶阶偏偏微微分分表表示示的的边边界界条条件件，则则由由 (x,y) 导导出出应应力力分分量量为为真真解解，对对于于复复连连域域，还还要要考考虑虑位位移移的单值条件的单值条件. .7/28/20247/28/202437376-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法3.4 3.4 应力函数的特性应力函数的特性 1.应应力力函函数数加加上上一一个个线线性性函函数数 a+bx+cy，并并不不影影响响应应力力，换换句句话话说说，某某问问题题的的应应力力函函数数为为 ，则则 1= +a+bx+cy 也也是是问问题题的的应应力力函函数数。应力函数可确定到只差一个线性函数。应力函数可确定到只差一个线性函数。2.无无体体力力作作用用时时，应应力力函函数数及及其其一一阶阶偏偏导导数数的的边边界界值值可可分分别别由由边边界界的的面面力力的的主主矩矩和和主主矢矢量来确定。量来确定。7/28/20247/28/202438386-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法xoABF y 7/28/20247/28/202439396-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法(对对B点取矩点取矩)逆时针为正。逆时针为正。下面推导一下下面推导一下xoABF y 7/28/20247/28/202440406-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法对于无体力时对于无体力时fx=fy= 0；力的边界条件为力的边界条件为 yxodsdyne1e2-dx代入边界条件，得代入边界条件，得7/28/20247/28/202441416-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法 积分得积分得7/28/20247/28/202442426-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法积分得积分得xoABF y 7/28/20247/28/202443436-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法根据函数的求导公式根据函数的求导公式而而C为边界上动点为边界上动点 xoABF y C7/28/20247/28/202444446-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法上式对上式对s积分得积分得采用分部积分采用分部积分 xoABF y C7/28/20247/28/202445456-3 平面问题的基本解法平面问题的基本解法边界力对边界力对B点之矩点之矩xoABF y C7/28/20247/28/202446466-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例例例题题1 矩矩形形域域无无体体力力作作用用时时应应力力函函数数分分别别为为二二次次项项和和三三次次项项的的结结果果（而而一一次次项项无无须须考考虑虑），采用逆解法。采用逆解法。1.1.取取 为二次项：为二次项： 代入代入 4 =0，满足。满足。 7/28/20247/28/202447476-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例将将 代入应力分量与应力函数的关系式，得代入应力分量与应力函数的关系式，得7/28/20247/28/202448486-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例可可见见，矩矩形形域域各各点点应应力力状状态态一一样样，为为常常量量。设设c1,c2,c3均为正值。矩形域边界面力如图所示。均为正值。矩形域边界面力如图所示。c1xc3 yc217/28/20247/28/202449496-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例3. 3. 取取 为三次项：为三次项： 代入代入 4 =0，满足。满足。将将 代入应力分量与应力函数的关系式，得代入应力分量与应力函数的关系式，得 7/28/20247/28/202450506-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例应力为应力为x、y 的线性式。的线性式。7/28/20247/28/202451516-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例 仅取一项仅取一项 x= d4 y, y= xy= 0 在在边边界界上上面面力力分分布布与与坐坐标标系系位位置置有有关关。坐坐标系如下图所示标系如下图所示面面力力分分布布为为纯纯弯弯问问题题，在在两两端端面面的的面面力力将产生一个将产生一个M。xh/2h/21d4 h/2MM y7/28/20247/28/202452526-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例（材料力学解） 由由 M 与与 x 的关系确定的关系确定 d4 的值的值7/28/20247/28/202453536-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例由应力分量求应变分量：由应力分量求应变分量：通过几何方程积分及约束条件可以求出位移。通过几何方程积分及约束条件可以求出位移。7/28/20247/28/20245454本题讨论本题讨论: 坐坐标标位位置置选选取取不不同同将将导导致致边边界界上上面面力力分分布布不不同同，从从而而对对应应不不同同的的问问题题。因因此此，本本题题在边界上面力分布与坐标系位置有关。在边界上面力分布与坐标系位置有关。 x= d4 y, y = xy = 0h yxd4hd4h/2 d4h/26-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例但坐标位置变了但坐标位置变了,边界上面力分布如下图。边界上面力分布如下图。7/28/20247/28/202455556-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例例题例题2无体力作用的无体力作用的悬臂梁，在端部受集悬臂梁，在端部受集中力中力P 作用。作用。x1 yPMPlx2h本题采用应力函数的半逆解本题采用应力函数的半逆解法。半逆解法思路：法。半逆解法思路：7/28/20247/28/202456566-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例1.根根据据受受力力情情况况和和求求解解经经验验，包包括括材材料料力力学学的的解解，定定性性估估计计应应力力分分量量的的变变化化，并并根根据据应应力力分分量量与与应应力力函函数数关关系系，反反推推出出 函函数数的的主主要项。要项。2.将将所所设设 代代入入 4 =0和和力力的的边边界界条条件件进进行行检检验验，如如果果不不满满足足则则进进行行修修正正（适适当当增增加加项项），再再代代入入 4 =0和和力力的的边边界界条条件件进进行行检检验验，直直至满足所有方程为止。至满足所有方程为止。7/28/20247/28/202457576-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例本题求解的基本情况：本题求解的基本情况：主要边界上，主要边界上，在在y= h： ，（无面力）（无面力）基本方程基本方程 4 =0，边界条件为混合边界条件：边界条件为混合边界条件：x1 yPMPlx2h7/28/20247/28/202458586-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例次要边界上：次要边界上：在在x=l： 在在x=0：严格要求严格要求u=0，v=0x1 yPMPlx2h7/28/20247/28/202459596-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例在在x=0：x1 yPMPlx2h7/28/20247/28/202460606-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例解：解： 1根根据据受受力力特特点点知知在在 x 处处弯弯矩矩：M=P(l-x)， 材料力学应力解：材料力学应力解：x 包含包含y和和xy项，又因为项，又因为 7/28/20247/28/202461616-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例 可设可设 代入代入 4 =0，满足。满足。 将将 代入应力分量与应力函数的关系式，得代入应力分量与应力函数的关系式，得 7/28/20247/28/202462626-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例将应力分量代入边界条件，确定待定系数将应力分量代入边界条件，确定待定系数 。7/28/20247/28/202463636-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例主要边界：主要边界：y = h ，l = 0, m = 1 如果满足，则如果满足，则a1=0。代回应力分量表达式。代回应力分量表达式在在y= h时时， 为为均均匀剪力。匀剪力。由由 求得求得应力分量公式，得应力分量公式，得 7/28/20247/28/202464646-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例本应力解对应纯弯问题，本应力解对应纯弯问题，不是所要求的。不是所要求的。 2对对 要进行修正，消去要进行修正，消去y= h面上均匀面上均匀 剪力剪力7/28/20247/28/202465656-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例设设+ b1 xy 代入代入 4 =0，满足。满足。 将将 代入应力分量与代入应力分量与应力函数的关系式，得应力函数的关系式，得7/28/20247/28/202466666-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例代入主要边界：代入主要边界：y= h y= 0 满足； xy= 0 或 代回应力分量表达式代回应力分量表达式7/28/20247/28/202467676-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例代入代入x=l边界：边界：l=1 , m=0,则 或 7/28/20247/28/202468686-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例而而 将惯性矩将惯性矩 代入代入a1、b1、c1表达式，则表达式，则7/28/20247/28/202469696-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例代回应力分量表达代回应力分量表达 与材料力学解相同。与材料力学解相同。 注意本题应力解在梁两端不能用。因注意本题应力解在梁两端不能用。因为用到了圣维南原理。为用到了圣维南原理。7/28/20247/28/202470706-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例有了应力解后，依次求应变和位移。有了应力解后，依次求应变和位移。 在在位位移移的的确确定定中中，当当 x=0 , u = v =0 不不能能处处满足，而用到处处满足，而用到 将刚体位移去掉，放松了位移边界处理将刚体位移去掉，放松了位移边界处理7/28/20247/28/202471716-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例例题例题3简支梁（不计体力）上面受均载作用，简支梁（不计体力）上面受均载作用， 仍采用应力函数解的半逆解法。仍采用应力函数解的半逆解法。x1 yqlqllhql考虑应力特点：考虑应力特点： y 与与 x 无关，无关， y 由由q 引起，引起，且在且在 y= -h/2 处处 y 为常数。为常数。7/28/20247/28/202472726-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例设设 代入基本方程代入基本方程 4 =0 微分方程对全梁满足。微分方程对全梁满足。7/28/20247/28/202473736-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例因此，要求因此，要求 由由前前两两个个常常微微分分方方程程积积分分得得到到 f(y) 和和 f1 (y)的的表表达达式式，代代回回第第三三个个常常微微分分方方程程积积分分，可可得得到到f2 (y)的表达式。所有待定系数由边界条件定。的表达式。所有待定系数由边界条件定。7/28/20247/28/202474746-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例例题例题4楔形体受重力和液体压力作用，楔形楔形体受重力和液体压力作用，楔形体下端无限长。体下端无限长。 x yn g gy 楔形体的体积力楔形体的体积力fx= X = 0，fy= Y = g；边界条件边界条件: 在在x=0处处, 则边界处的应力为则边界处的应力为 x= - gy， xy =0在在x = ytg 处处,7/28/20247/28/202475756-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例 从从楔楔形形体体的的受受力力情情况况分分析析,可可以以认认为为在在楔楔形形体体 y=c截截面面上上内内力力为为受受压压力力和和弯弯曲曲组组合合,应应力力分分量量 y , xy 为为x,y 的的线线性性项项， x 为为y 的的线线性性式式，由由应应力力分分量量与与应应力力函函数数的的关关系系式式,可可设设应应力力函函数数为为x,y 的的纯三次式纯三次式 x yn g gy 7/28/20247/28/202476766-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例取取 =ax3+bx2y+cxy2+ey3将将 代入双调合方程代入双调合方程 4 =0，满足。满足。 将将 代代入入应应力力分分量量与与应应力力函函数数的的关关系式，得系式，得7/28/20247/28/202477776-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例 a,b,c,d 四个系数由四个应力边界条件确定。四个系数由四个应力边界条件确定。 由由x=0时：时：l= -1, m=0 , 解得解得e= - g/6，c =0 x yn g gy 7/28/20247/28/202478786-4多项式应力函数运用举例多项式应力函数运用举例在在x = ytg 处处： l = cos , m = cos(900+ )= -sin 将待定系数的解代回应力表达式将待定系数的解代回应力表达式,可得可得到楔形体的应力解。到楔形体的应力解。 x yn g gy 7/28/20247/28/20247979习题习题式中式中E、 为弹性模量和泊松系数。为弹性模量和泊松系数。试（试（1）求应力分量和体积力分量；）求应力分量和体积力分量；（2）确定各边界上的面力。）确定各边界上的面力。lhyxOh题题6-1图示矩形薄板，厚度为单位图示矩形薄板，厚度为单位1 1。已。已知其位移分量表达式为知其位移分量表达式为7/28/20247/28/20248080题题6-2设有一无限长的薄板，上下两端固设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。设：设： u = 0、 v = v(y) xyb go7/28/20247/28/20248181题题6-3试证明，如果体力虽然不是常量，试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势力，即但却是有势力，即 其中其中 V V 是是势函数，则应力分量亦可用应势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为力函数表示为 7/28/20247/28/20248282题题6-4试分析下列应力函数能解决什么试分析下列应力函数能解决什么问题？设无体力作用。问题？设无体力作用。2co xyl7/28/20247/28/20248383题题6-5图示无限大楔形体受水平的常体图示无限大楔形体受水平的常体积力积力 q 作用作用, ,设应力函数为设应力函数为试（试（1 1）列出求解的待定）列出求解的待定系数的方程式，（系数的方程式，（2 2）写）写出应力分量表达式。出应力分量表达式。y x qo 7/28/20247/28/20248484结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！85