专题七动点问题(以静制动) 动点问题是指动态几何问题，它以几何知识和图形为背景，研究几何图形在运动变化中存在的数量关系或规律，有较强的综合性解决这类问题时要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，把握运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动 淄博市近几年的中考题中，2017年的第23，24题，2016年的第24题，2015年的第23题，2014年的第24题都考查了动点问题显然，动点问题作为压轴题出现，考查学生的综合能力，不容轻视一、动点与最值问题 最值问题往往涉及线段的长度、面积等问题，解答此类问题的关键是确定相应的关系式，然后利用函数的性质进行解答注意函数中自变量的取值范围例1(2016大连)如图，抛物线yx23x 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.(1)求直线BC的表达式；(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标【分析】 【自主解答】 【归纳总结】 求最值的问题往往转化为函数，借助函数的增减性解决；或者借助三角形三边的关系；或者根据垂线段最短1(2017泰安)如图，在ABC中，C90，AB10 cm，BC8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止)，在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为( )A19 cm2 B16 cm2 C15 cm2 D12 cm2C2(2017潍坊)如图1，抛物线yax2bxc经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)当t为何值时，PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由解：(1)将点A(0，3)，B(1，0)，D(2，3)代入yax2bxc，得二、动点与存在性问题 存在性问题往往涉及线与线的位置关系或数量关系、图形的全等或相似、特殊四边形的判定等多个方面，解答此类问题一般是通过三角形的全等或相似的知识进行解答，关键是找出相关的角或线段之间的关系例2(2016宁夏)在矩形ABCD中，AB3，AD4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0x3)，解答下列问题：(1)设QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QPDP？试说明理由【分析】 (1)可用x表示出AQ，BQ，BP，CP，从而可表示出SADQ，SBPQ，SPCD的面积，则可表示出S，再利用二次函数的增减性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；(2)用x表示出BQ，BP，PC，当QPDP时，可证明BPQCDP，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，可求得x的值【自主解答】 【归纳总结】 存在性问题我们往往假设存在，借助这个条件执果索因，然后由因推果3(2017青岛)已知：RtEFP和矩形ABCD如图摆放(点P与点B重合)，点F，B(P)，C在同一直线上，ABEF6 cm，BCFP8 cm，EFP90.如图，EFP从图的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1 cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1 cm/s.过点Q作QMBD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ.当点Q停止运动时，EFP也停止运动，设运动时间为t(s)(0t6)，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQBD；(2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQMS矩形ABCD98？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解： 三、动点的其他类问题 与动点有关的问题还涉及确定动点的运动时间、函数关系式、字母的取值范围等，解答这类问题时，一定要全面分析动点的运动轨迹，利用几何知识进行解答例3 (2016龙东)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上OAB90且OAAB，OB，OC的长分别是一元二次方程x211x300的两个根(OBOC)(1)求点A和点B的坐标；(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m.已知t4时，直线l恰好过点C.当0t3时，求m关于t的函数关系式；(3)当m3.5时，请直接写出点P的坐标【分析】 (1)解一元二次方程可得B点坐标，利用等腰直角三角形的性质可得A点坐标；(2)先利用已知条件求出点C的坐标，再分别求出直线OA，OC的方程，进而得到点Q和点R的坐标，从而得到m关于t的函数关系式；(3)仿照(2)的方法，求出3t4和4tOC，OB6，OC5，B点坐标为(6，0)如图，作AMx轴于M，OAB90且OAAB，AOB为等腰直角三角形，OMBMAM OB3，A点坐标为(3，3)【归纳总结】 这样的动点问题涉及面广，要求有扎实的数学知识做基础，主要考查逻辑推理能力，难度大，不易解决4(2017日照)如图，BAC60，点O从A点出发，以2 cm/s的速度沿BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与BAC的两边相切，设O的面积为S(cm2)，则O的面积S与圆心O运动的时间t(s)的函数图象大致为( )5(2016遵义)如图，四边形ABCD中，ABCD，ADC90，P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按ABCD的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t s，PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图所示，当P运动到BC中点时，PAD的面积为_. 5