第四章第四章 维度维度4.1 4.1 半导体低维电子系统半导体低维电子系统 4.2 4.2 二维体系中的相变二维体系中的相变4.3 4.3 准一维体系的准一维体系的PeierlsPeierls 不稳定性和电荷密度波不稳定性和电荷密度波4.1 4.1 半导体低维电子系统半导体低维电子系统1.维度维度 三维自由电子气体，沿三维自由电子气体，沿z方向对体系的尺寸限制：方向对体系的尺寸限制： zWn=1kn=2电子只占据电子只占据n=1的子带，二维体系的子带，二维体系n1也占据，准二维体系也占据，准二维体系2. Si反型层及反型层及GaAs-AlGaAs异质结异质结金属金属SiO2耗尽层耗尽层反型层反型层导带导带价带价带价带价带导带导带zSplit gates and one-dimensional electron gasesThis split-gate technique was pioneered by the Semiconductor Physics Group at the Cavendish Laboratory of the University of Cambridge, in England, in 1986, by Trevor Thornton and Professor Michael Pepper. 3.量子化霍尔效应（量子化霍尔效应（Quantum Hall Effects (QHE) )(1)霍尔效应基础霍尔效应基础E. Hall, Am. J. Math. 2, 287 (1879)= Hall effect I+ -VVcurrent sourceresistivityHall voltageBxyzd根据德鲁特电导理论根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一段时金属中的电子在被杂质散射前的一段时间间t t内在电场下加速内在电场下加速, 散射后速度为零散射后速度为零. t t称为弛豫时间称为弛豫时间. 电子的电子的平均迁移速度为平均迁移速度为:电流密度为电流密度为:若存在外加静磁场若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量则电导率和电阻率都变为张量此处此处仍成立仍成立有磁场时有磁场时, 加入罗仑兹力加入罗仑兹力, 电子迁移速度为电子迁移速度为稳态时稳态时, , , , 假定磁场沿假定磁场沿z z方向方向, , 在在xy xy 平面内平面内易得易得如果如果 , 则当则当 为为0时时 也为也为0. 另一方面另一方面由此由此, , 当当 时时, , , , 为霍尔电导为霍尔电导在量子力学下（在量子力学下（E沿沿x方向）方向）选择矢量势选择矢量势波函数为波函数为经典回旋半径经典回旋半径解为：解为：Landau 能级能级 In two-dimensional systems, the Landau energy levels are completely seperate while in three-dimensional systems the spectrum is continuous due to the free movement of electrons in the direction of the magnetic field. 计算平均速度计算平均速度与经典结果相同与经典结果相同. .在在LandauLandau能级上能级上, , 纵向电流为纵向电流为0.0.(2)整数量子霍尔效应整数量子霍尔效应1975年年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导等首次测量了反型层的霍尔电导, 1978年年 Klaus von Klitzing 和和Th. Englert 发现霍尔平台发现霍尔平台, 但但直到直到1980年年, 才注意到霍尔平台的量子化单位才注意到霍尔平台的量子化单位 , K. von Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 495 (1980) for a sufficiently pure interface ( Si-MOSFET ) = integer quantum Hall effect The Nobel Prize in Physics 1985for the discovery of the quantized Hall effect. K. von Klitzing（1943）实验设置示意图实验设置示意图 实验观测到的霍尔电阻实验观测到的霍尔电阻1, 霍尔电阻有台阶霍尔电阻有台阶,2, 台阶高度为台阶高度为 , i 为整数为整数, 对应于占满第对应于占满第 i 个个Landau能级能级,精度大约为精度大约为5ppm.3, 台阶处纵向电阻为零台阶处纵向电阻为零.When these levels are well resolved, if a voltage is applied between the ends of a sample, the voltage drop between voltage probes along the edge of a sample can go to zero in particular ranges of B, and the Hall resistance becomes extremely accurately quantised由于杂质的作用由于杂质的作用, , LandauLandau能级的态密度将展宽能级的态密度将展宽( (如下图如下图). ). 两种状态两种状态: : 扩展态扩展态 和和 局域态局域态只有扩展态可以传导霍尔电流只有扩展态可以传导霍尔电流(0(0度下度下), ), 因此若扩展态的占据数不变因此若扩展态的占据数不变, , 则霍尔电流不变则霍尔电流不变. . 当当FermiFermi能级位于能隙中时能级位于能隙中时, , 出现霍尔平台出现霍尔平台. . Laughlin(1981) Laughlin(1981) 和和 HalperinHalperin(1982)(1982)基于规范变换证明：基于规范变换证明：应用：应用： ( (a)a)电阻标准电阻标准应用：应用： ( (b)b)精细结构常数的测量精细结构常数的测量(3)分数量子霍尔效应分数量子霍尔效应1982年年, 崔琦崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数量子数的霍尔平台等发现具有分数量子数的霍尔平台, 一年后一年后, R.B.Laughlin写下了一个波函数写下了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出了很好的解释对分数量子霍尔效应给出了很好的解释.D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. G. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982) for an extremely pure interface ( GaAs/AlGaAs heterojunction ) where electrons could move ballistically = fractional quantum Hall effect R.B.Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, No.18 (1983) The Nobel Prize in Physics 1998Robert B. Laughlin(1950)DANIEL C. TSUI(1939)Horst L. Stormer(1949)for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations.分数量子霍尔效应分数量子霍尔效应:崔琦崔琦, , Stomer Stomer 等发现等发现, , 当当LandauLandau能级的占据数能级的占据数有霍尔平台有霍尔平台分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释, , 引入相互作用引入相互作用在超强磁场下在超强磁场下, , 电子位于第一电子位于第一LandauLandau能级能级. . 其单粒子波函数为其单粒子波函数为这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动Laughlin Laughlin 建议了如下形式的波函数建议了如下形式的波函数这一状态的占据数为这一状态的占据数为Laughlin 计算了计算了m=3, m=5时这一波函数的能量时这一波函数的能量, 发现比对应发现比对应密度下密度下CDW的能量要低的能量要低. 这一状态称为这一状态称为分数量子霍尔态分数量子霍尔态, 或或Laughlin态态, 当密度改变从而偏离占据数当密度改变从而偏离占据数1/3, 1/5时时, 对应于准对应于准粒子激发粒子激发, 激发谱具有能隙激发谱具有能隙, 准粒子的电荷为分数准粒子的电荷为分数(1/3, 1/5). 因此因此Laughlin态是一个态是一个不可压缩的量子液体状态不可压缩的量子液体状态. FQHE 态态. 绿球代表被暂时冻结的电子绿球代表被暂时冻结的电子, 蓝色为代表蓝色为代表性电子的电荷密度性电子的电荷密度, 黑色箭头代表磁通线黑色箭头代表磁通线.同同 IQHE一样一样, Fermi 能级处于能隙位置时能级处于能隙位置时, 出现出现FQHE 平台平台. 不同之处在于不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁的能隙来源于单粒子态在强磁场中的量子化场中的量子化, 而而FQHE的能隙来源于多体关联效应的能隙来源于多体关联效应. Haldane 和和 Halperin, 利用级联模型利用级联模型, 指出指出Laughlin 态的态的准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态, 如从如从 1/3 态态出发出发, 加入准粒子导致加入准粒子导致 2/5态态, 加入空穴导致加入空穴导致2/7态态. 准粒准粒子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态 . P 为偶数为偶数, 对应于粒子型元激发对应于粒子型元激发对应于空穴型元激发对应于空穴型元激发级联模型的特点级联模型的特点: : 1. 1. 无法解释那一个子态是较强的态无法解释那一个子态是较强的态. . 2. 2. 几次级联后几次级联后, , 准粒子的数目将超过电子的数目准粒子的数目将超过电子的数目. .3. 3. 系统在分数占据数之间没有定义系统在分数占据数之间没有定义. .4. 4. 准粒子具有分数电荷准粒子具有分数电荷. .复合费米子模型复合费米子模型 ( (CF)CF) 一个复合费米子由一个电子和偶数个磁通线构成一个复合费米子由一个电子和偶数个磁通线构成. . 复复合费米子包含了所有的多体相互作用合费米子包含了所有的多体相互作用. . FQHEFQHE是是CFCF在一个有效磁场下的在一个有效磁场下的IQHE.IQHE. CF CF 具有整数电荷具有整数电荷. . CF CF 模型可以给出所有观察到的分数态模型可以给出所有观察到的分数态, , 包括这些态的相包括这些态的相对强度及当减小温度对强度及当减小温度, , 提高样品质量时出现的次序提高样品质量时出现的次序. . CF CF 指出指出: : v=1/2 v=1/2 态态, , 对应的有效磁场为对应的有效磁场为0, 0, 是具有金属是具有金属特征的特殊状态特征的特殊状态. .新进展新进展观察到分数电荷涨落观察到分数电荷涨落. .FQHE FQHE 的的GinsburgGinsburg Landau Landau 理论理论. .费米费米, , 玻色玻色 和分数统计和分数统计. .边缘态和共形场论边缘态和共形场论. .利用一维结观察分数电荷利用一维结观察分数电荷 C.L. Kane and M.P.A. Fisher, Shot in the Arm for Fractional Charge, Nature 389, 119 (1997).The Quantum Hall effect (QHE) is one example of a quantum phenomenon that occurs on a truly macroscopic scale. The signature of QHE is the quantization plateaus in the Hall resistance (Rxy) and vanishing magnetoresistance (Rxx) in a magnetic field. The QHE, exclusive to two-dimensional metals, has led to the establishment of a new metrological standard, the resistance quantum, , that contains only fundamental constant. As with many other quantum phenomena, the observation of the QHE usually requires low temperatures (previously reported highest temperature was 30 K). In graphene, a single atomic layer of graphite, however, we have observed a well-defined QHE at room temperature owing to the unusual electronic band structure and the relativistic nature of the charge carriers of graphene.Room-Temperature Quantum Hall Effect in GraphenePI: Philip Kim, Department of Physics, Columbia UniverstySupported by NSF (No. DMR-03-52738 and No. CHE-0117752), NYSTARDOE (No. DE-AIO2-04ER46133 and No. DE-FG02-05ER46215), and Keck FoundationNHMFLT=300 K B=45 TNovoselov, K.S.; Jiang, Z.; Zhang, Y.; Morozov, S.V.;Stormer, H.L.; Zeitler, U.; Maan, J.C.; Boebinger, G.S.;Kim, P. and Geim, A.K., Science, 315 (5817), 1379 (2007).Figure: Magnetoresistance (Rxx) and Hall resistance (Rxy) ofgraphene as a function of the back gate voltage (Vg) in amagnetic field of B=45 T at room temperature.4.2 4.2 二维体系中的相变二维体系中的相变连续相变的描述：序参量连续相变的描述：序参量 非零非零零零维度对相变、临界行为有重要影响维度对相变、临界行为有重要影响一维体系，一维体系，T0T0时，体系总是无序，不存在长程序，无相变时，体系总是无序，不存在长程序，无相变二维体系？二维体系？相变取决于序参量的自由度数相变取决于序参量的自由度数N=1,N=1,有相变，如二维有相变，如二维IsingIsing模型模型N=3,N=3,无相变，如二维无相变，如二维HeisenbergHeisenberg模型模型N=2: N=2: 序参量为零，但可有准长程序，序参量为零，但可有准长程序， KosterlitzKosterlitz- -ThoulessThouless(K-T)(K-T)相变相变 相变概念的拓宽相变概念的拓宽序参量自由度序参量自由度n=2n=2的二维系统：的二维系统： 自旋自旋X-YX-Y模型模型，二维超流体、二维超导体及二维晶体等，二维超流体、二维超导体及二维晶体等低温下，自旋的关联随距离作代数式的衰减。对有限尺寸的低温下，自旋的关联随距离作代数式的衰减。对有限尺寸的样品，二维样品，二维X-YX-Y模型的低温相就呈现出表观的长程序（准长模型的低温相就呈现出表观的长程序（准长程序），到高温，则为没有长程序的无序相所取代，期间有程序），到高温，则为没有长程序的无序相所取代，期间有无相变？无相变？19701970年：年：BrezinskiiBrezinskii提出涡旋对松解所对应的连续相变思想提出涡旋对松解所对应的连续相变思想 ( (Z.Z.EkspEksp. .TevTev. .FizFiz.,59,907(1970).,59,907(1970)19731973年：年：KosterlitzKosterlitz和和ThoulessThouless讨论二维超流相变，独立提讨论二维超流相变，独立提 出类似想法并发展为较完整理论（出类似想法并发展为较完整理论（J.Phys.C,6,1181(1973)J.Phys.C,6,1181(1973)基本思想：拓扑缺陷基本思想：拓扑缺陷( (如涡旋（如涡旋（Vortex)Vortex)介入的相变介入的相变拓扑激发：拓扑激发： 二维点阵格点：格点二维点阵格点：格点i i上的自旋与上的自旋与X X轴夹角为轴夹角为通过任意一些格点，划一闭合回路通过任意一些格点，划一闭合回路L L，沿此回路逆时针方沿此回路逆时针方向绕行一周，相邻两格点的方向角之差：向绕行一周，相邻两格点的方向角之差：拓扑激发和非拓扑激发和非拓扑激发可分拓扑激发可分开来讨论开来讨论自旋涡旋自旋涡旋正涡旋正涡旋负涡旋负涡旋拓扑性元激发之间的相互作用拓扑性元激发之间的相互作用二维静电场二维静电场二维点电荷：二维点电荷：K-TK-T相变相变正涡旋正涡旋负涡旋负涡旋涡旋对涡旋对低温下，正负涡旋构成束低温下，正负涡旋构成束缚对，对长程的自旋排列缚对，对长程的自旋排列影响不大，系统具有拓扑影响不大，系统具有拓扑长程序。长程序。高于某临界温度，系统中高于某临界温度，系统中产生大量的单个涡旋，导产生大量的单个涡旋，导致拓扑长程序被破坏。致拓扑长程序被破坏。考虑低温下存在具有有限能量的束缚涡旋对（可由热激发，不考虑低温下存在具有有限能量的束缚涡旋对（可由热激发，不破坏长程的自旋序破坏长程的自旋序) )涡旋对类似于屏蔽正负电荷相互作用的电介质的作用涡旋对类似于屏蔽正负电荷相互作用的电介质的作用K-TK-T理论是对屏蔽效应的重正化群的处理。理论是对屏蔽效应的重正化群的处理。自由能的第自由能的第n n级微商在相变点出现突变就称为第级微商在相变点出现突变就称为第n n级相变级相变K-TK-T相变是无穷级相变是无穷级Two dimensional heliumSince helium is attracted to almost anything* , it will form a 2D film.Most long-range order is forbidden in 2D (Mermin-Wagner theorem), e.g. BEC not allowed for T0 because the system is susceptible to long-range phase decoherence.However, it does become a superfluid.The transition is called the Kosterlitz-Thouless transition.Superfluid-normal fluid transition is caused by vortex-anti-vortex unbinding.KT predicts algebraic decay of single particle density matrix*except for Cs2d helium energeticsIn contrast to 3D the energy is a smooth function of temperature.Bump in Cv above the transition.No feature at the transition (only an essential singularity)4.3 4.3 准准一一维体系的维体系的PeierlsPeierls不稳定性和电荷密度波不稳定性和电荷密度波1.1.一维体系一维体系 导电聚合物、金属卤化物、导电聚合物、金属卤化物、KCPKCP晶体、过渡金属三硫化合晶体、过渡金属三硫化合物、电荷转移有机复合物、有机超导体物、电荷转移有机复合物、有机超导体BechgaardBechgaard盐盐( (TMTSF)TMTSF)2 2X,X,有机铁磁体有机铁磁体m-PDPC,m-PDPC,半导体纳米线或量子线半导体纳米线或量子线2.2.一维晶格的能带和布里渊区一维晶格的能带和布里渊区constant charge distributionparabolic energy bandsfilled up to the Fermi wavevectormetallic conductivity格点原子对电子的散射格点原子对电子的散射( (电声相互作用电声相互作用) )：3.3.PeierlsPeierls不稳定性不稳定性 对于半满能带的一维晶格，等距离的原子排列是不稳对于半满能带的一维晶格，等距离的原子排列是不稳定的，要发生二聚化，晶格周期变为定的，要发生二聚化，晶格周期变为2 2a.a.此时布里渊区边此时布里渊区边界与费米面重合，电子能量降低，系统更稳定。界与费米面重合，电子能量降低，系统更稳定。低温下，一维体系处于二聚化低温下，一维体系处于二聚化的半导体或绝缘体状态，不导的半导体或绝缘体状态，不导电。温度升高，电子获得热能，电。温度升高，电子获得热能，费米面上的能隙消失，一维体费米面上的能隙消失，一维体系变成导体，系变成导体，PeierlsPeierls相变。相变。4.4.电荷密度波电荷密度波( (CDW)CDW) 一维一维体系发生体系发生PeierlsPeierls相变后，晶格周期由相变后，晶格周期由a a变为变为a,a,形形变后周期为变后周期为aa的晶格称之为超晶格。电子密度在这一新的的晶格称之为超晶格。电子密度在这一新的周期场中重新分布，称为周期场中重新分布，称为CDW,CDW,波长波长a.a.CDW statespatially modulated charge densityenergy gap at the Fermi energysemiconducting conductivity考虑电子之间的相互作用，需计入电子的自旋，正负自旋电考虑电子之间的相互作用，需计入电子的自旋，正负自旋电子的子的CDWCDW位形可以不同，位形可以不同， 。此时将会导致体系。此时将会导致体系中出现自旋密度的起伏，即自旋密度波中出现自旋密度的起伏，即自旋密度波( (SDW).SDW).不仅一维电子晶格相互作用体系会出现不仅一维电子晶格相互作用体系会出现CDW,CDW,其他体系也会存在其他体系也会存在