copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法第章数字滤波器的原理和设计方法赵赵 越越2011.5.2011.5.copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法什么是数字滤波器（什么是数字滤波器（DF）？）？所谓数字滤波器，是指输入、输出均所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过为数字信号，通过一定运算关系一定运算关系改变输入改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。些频率成分的器件。 数字滤波器和模拟滤波器相同，只是数字滤波器和模拟滤波器相同，只是信号的形式信号的形式和和实现滤波方法实现滤波方法不同。不同。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法滤波器在许多技术领域中都被滤波器在许多技术领域中都被广泛应用广泛应用。模拟滤波器主要处理连续时间信号；数字滤波器处理离散时间信号和数字信号。数字信号处理的数字信号处理的优点优点：精度和稳定性高；改变系统函数比较容易，比较灵活；不存在阻抗匹配问题；便于大规模集成；可以实现多维滤波。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法数字滤波器的分类数字滤波器的分类1. 从功能上分：低通、带通、高通、带阻。从功能上分：低通、带通、高通、带阻。2. 从实现方法上分：从实现方法上分：FIR、IIR3. 从设计方法上来分：从设计方法上来分：Chebyshev(切比雪夫）切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯），巴特沃斯），4. 从处理信号来分：经典滤波器、现代滤波从处理信号来分：经典滤波器、现代滤波器等。器等。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法数字滤波器的理想数字滤波器的理想低通低通、高通高通、带通带通、带阻带阻滤波器幅度特性滤波器幅度特性 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法1.经典滤波器经典滤波器一般的滤波器，特点是输入信号中一般的滤波器，特点是输入信号中有用频率有用频率成成分和分和希望滤除的频率希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。 wc|H(ejw)|X(ejw)|wwc有用无用|Y(ejw)|wwc但是，如果信号的干扰和频带互相重叠，则不但是，如果信号的干扰和频带互相重叠，则不能完成对干扰的有效滤除。能完成对干扰的有效滤除。 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法2.现代滤波器现代滤波器 这一类滤波器可按照随机信号内部的一些这一类滤波器可按照随机信号内部的一些统计统计分布规律分布规律，从干扰中最佳地提取信号。，从干扰中最佳地提取信号。 现代滤波器理论源于维纳在现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的年代及其以后的工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此工作，这一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤外，还有卡尔曼滤波器、线性预测器、自适应滤波器。波器。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法自适应滤波器原理框图自适应滤波器原理框图copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法研究研究DF实现结构实现结构意义意义1.滤波器的基本特性（如有限冲激响应滤波器的基本特性（如有限冲激响应FIR与无与无限冲激响应限冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。）决定了结构上有不同的特点。2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。者影响复杂性，后者影响运算速度。3.有限精度实现情况下，不同运算结构的误差及有限精度实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。稳定性不同。4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。合于模块化实现，便于时分复用。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 数字滤波器一般可用两种方法数字滤波器一般可用两种方法实现实现：v根据描述数字滤波器的数学模型或信号流根据描述数字滤波器的数学模型或信号流程图，用数字硬件构成专用的数字信号处理机。程图，用数字硬件构成专用的数字信号处理机。v编写滤波器运算程序，在计算机上运行。编写滤波器运算程序，在计算机上运行。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.1概述概述数字滤波器可以用数字滤波器可以用差分方程差分方程表示表示由上述两个方程就可以得到若干数字滤波器的结构由上述两个方程就可以得到若干数字滤波器的结构对应的对应的系统函数系统函数为为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 实现数字滤波器时，必须把输入输出关系转变实现数字滤波器时，必须把输入输出关系转变为可实现的算法。需要种基本运算单元：为可实现的算法。需要种基本运算单元：加法器加法器、单位延迟器单位延迟器和和常数乘法器常数乘法器。方框图表示方框图表示流程图表示流程图表示这些单元有这些单元有方框图法方框图法和和流程图法流程图法两种表示法。两种表示法。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法所以数字滤波器也有两种表示法。所以数字滤波器也有两种表示法。例如例如，一个二阶的，一个二阶的IIR数字滤波器用差分方程表示为数字滤波器用差分方程表示为其方框图和信号流程图如下图所示其方框图和信号流程图如下图所示copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法数字滤波器有无限冲激响应（数字滤波器有无限冲激响应（IIR）和有限和有限冲激响应（冲激响应（FIR）两种。）两种。 一般从以下几方面区分两类系统：一般从以下几方面区分两类系统： 1、IIR系统的系统函数为系统的系统函数为系统有极点系统有极点有有FIR系统的系统函数为系统的系统函数为所有所有系统只有零点系统只有零点copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 2、IIR系统的差分方程为系统的差分方程为FIR系统的差分方程为系统的差分方程为 除了与当前和过去的激励有关，还与过去的输出有关；除了与当前和过去的激励有关，还与过去的输出有关； 只与当前和过去的激励有关，与过去的输出无关；只与当前和过去的激励有关，与过去的输出无关；copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 3、IIR系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应 为为无穷多项无穷多项； FIR系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应 只有只有有限项有限项； 4、IIR系统因为与过去的输出有关，所以网络结构系统因为与过去的输出有关，所以网络结构有反馈之路，也称为有反馈之路，也称为递归结构递归结构； FIR系统只与激励有关，因此没有反馈之路，系统只与激励有关，因此没有反馈之路，也称为也称为非递归结构非递归结构。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.无限冲激响应（无限冲激响应（IIR）数字滤波器的数字滤波器的基本网络结构基本网络结构运算结构的不同会影响系统运算的运算结构的不同会影响系统运算的精度精度、误差误差、速度速度和和经济性经济性等指标。等指标。对于同一个系统函数，可以有多种不同的结构。对于同一个系统函数，可以有多种不同的结构。一般情况下，都要求使用尽可能少的常数乘法一般情况下，都要求使用尽可能少的常数乘法器和延迟器来实现系统，并要求运算误差尽可能小。器和延迟器来实现系统，并要求运算误差尽可能小。这些要求有时是相互矛盾的。例如，为了获得这些要求有时是相互矛盾的。例如，为了获得具有较小运算误差的结构，使用的乘法器和延迟器具有较小运算误差的结构，使用的乘法器和延迟器的数目往往不是最少的。的数目往往不是最少的。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法IIR DF基本结构基本结构IIR DF类型类型直接型直接型级联型级联型并联型并联型直接直接I型型直接直接II型型copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法1.1.直接直接I I型型由差分方程由差分方程或系统函数或系统函数直接画出直接画出IIRDF的的方框图方框图和和流程图流程图copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法N阶阶IIR系统的直接系统的直接I型方框图型方框图N阶阶IIR系统的直接系统的直接I型流程图型流程图第一个网络第一个网络实现的是系统函实现的是系统函数的各数的各零点零点；第；第二个网络实现的二个网络实现的是各是各极点极点。直接直接I型结构型结构需要需要N个延迟器个延迟器和和N个乘法器个乘法器。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法2.2.直接直接IIII型型 直接直接I I型结构的系统函数可看作两个独型结构的系统函数可看作两个独立的系统函数的乘积，即立的系统函数的乘积，即对应的差分方程对应的差分方程对应的差分方程对应的差分方程copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法假设假设IIRDFIIRDF是线性非移变系统，那么交换是线性非移变系统，那么交换和的次序不会影响系统的传输效和的次序不会影响系统的传输效果，即果，即则直接则直接I型型结构图可画成下图所示形式：结构图可画成下图所示形式： 两条延迟链都是两条延迟链都是对中间变量对中间变量 进进行延迟，因此可以进行延迟，因此可以进行合并。行合并。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法IIR系统的直接系统的直接I I型流程图型流程图与直接与直接I I型型相比，相比，直接直接IIII型型的的不同之处：不同之处：首先实现系统的各极点，然后实现各零点；首先实现系统的各极点，然后实现各零点；仅需要仅需要N N个延迟单元。个延迟单元。则：硬件实现时，直接则：硬件实现时，直接IIII型型少用寄存器；少用寄存器；软件实现时，直接软件实现时，直接IIII型型少占用存储单元。少占用存储单元。 通常通常IIR的直接形的直接形式是指直接式是指直接II型，也型，也称最少延迟网络、典称最少延迟网络、典范形式、正准型。范形式、正准型。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法. .级联级联型型如果将如果将N N阶阶IIRIIR系统函数分解成系统函数分解成二阶因式二阶因式连乘积连乘积，则可得到级联结构，即，则可得到级联结构，即 这样，整个系统将由这样，整个系统将由M个个二阶系统二阶系统级联级联构成，如下图所示构成，如下图所示copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法具体地，将系统函数的分子和分母多项式具体地，将系统函数的分子和分母多项式都按照零、极点进行因式分解，得到都按照零、极点进行因式分解，得到由于的系数都为实数，所以的零点和由于的系数都为实数，所以的零点和极点是极点是实数实数或是或是共轭复数共轭复数。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法将上式中每对共轭复数因子合并起来构将上式中每对共轭复数因子合并起来构成一个实系数因子，则写成成一个实系数因子，则写成如果把实数因子看作是二阶实数因子的如果把实数因子看作是二阶实数因子的特例，即看作二次项系数特例，即看作二次项系数 和和 等于零的等于零的二阶因子，那么可被看成全部由实系数二阶因子，那么可被看成全部由实系数二阶因子连乘来构成，即二阶因子连乘来构成，即copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法其中其中称为滤波器的称为滤波器的二阶基本节二阶基本节。每个二阶节都用直接每个二阶节都用直接I I型结构的级联形式型结构的级联形式 如果每个二阶基本节都采用直接如果每个二阶基本节都采用直接I I型结构来实型结构来实现，那么整个滤波器的级联结构如下图所示。现，那么整个滤波器的级联结构如下图所示。每一级都可以单独每一级都可以单独调整零极点的位置而不调整零极点的位置而不影响其它零极点。同时影响其它零极点。同时可以灵活调整二阶基本可以灵活调整二阶基本节的次序。节的次序。 这是级联结构的常用这是级联结构的常用形式。形式。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法如果将系统函数化成如果将系统函数化成部分分式之和部分分式之和，则可得到则可得到IIRDFIIRDF的并联结构，即的并联结构，即上式表明，滤波器可由上式表明，滤波器可由P个一阶网络、个一阶网络、Q个个二阶网络和一个常数支路并联构成。二阶网络和一个常数支路并联构成。4.并联并联型型copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法其结构如图：其结构如图：IIR系统的并联结构系统的并联结构copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法网络转置定理网络转置定理：将原网络中所有支路的方向加以将原网络中所有支路的方向加以反转反转，并将输入和输出相互交换，则网络并将输入和输出相互交换，则网络的系统函数不会改变。的系统函数不会改变。利用网络转置定理，可以将以上讨论的利用网络转置定理，可以将以上讨论的各种结构进行各种结构进行转置处理转置处理，从而得到各种新的，从而得到各种新的网络结构。网络结构。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法IIR系统的直接系统的直接I I型流程图型流程图copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法可以再改为可以再改为输入在左，输出在右输入在左，输出在右的的习惯形式，如下图。习惯形式，如下图。将图将图4.10画成输入在左、输出在右的习惯形式画成输入在左、输出在右的习惯形式设计方法设计方法copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.3有限冲激响应（有限冲激响应（FIR）数字滤波器的基数字滤波器的基本网络结构本网络结构 FIRFIR数字滤波器是一种非递归系统，其冲激数字滤波器是一种非递归系统，其冲激响应响应 是有限长序列，其系统函数的一般形式是有限长序列，其系统函数的一般形式为为 其特点是系统函数其特点是系统函数 无极点无极点，它的网络结，它的网络结构没有反馈支路。构没有反馈支路。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法1.1.直接直接型型FIR数字滤波器的差分方程为数字滤波器的差分方程为下图为下图为FIRDF的方框图和流程图。的方框图和流程图。 公式中表示的公式中表示的输入和输出信号输入和输出信号之间的线性卷积之间的线性卷积关系，所以直接关系，所以直接性结构也称为性结构也称为卷卷积型结构积型结构，或，或横横向滤波器结构向滤波器结构。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法2.2.级联级联型型若将若将 分解成二阶因子的分解成二阶因子的乘积乘积，则得到，则得到FIR系统的系统的级联级联结构为：结构为：对应上式的流程图如下对应上式的流程图如下 图中每一基本节控制一对零点。容易控制系统图中每一基本节控制一对零点。容易控制系统 传输零点。传输零点。 级联型所用的系数乘法次数较多，运算时间较长。级联型所用的系数乘法次数较多，运算时间较长。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法3.3.快速卷积快速卷积型型前面已经知道，两个长度为前面已经知道，两个长度为N的序列的线性卷的序列的线性卷积，可以用积，可以用2N-1点的循环卷积来代替。公式点的循环卷积来代替。公式表示表示FIR滤波器的输出滤波器的输出 是输入是输入 和冲激响和冲激响应应 的线性卷积。的线性卷积。 因此，可以通过增添零取样值方法将序列因此，可以通过增添零取样值方法将序列 和和 延长，然后计算它们的循环卷积，从而得延长，然后计算它们的循环卷积，从而得到到FIR系统的输出系统的输出 。 循环卷积的计算可以使用循环卷积的计算可以使用FFT，于是得到快于是得到快速卷积型结构。速卷积型结构。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法FIR系统的快速卷积结构系统的快速卷积结构图中输出图中输出 为为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.4.线性相位线性相位型结构型结构 FIRDF最吸引人的特最吸引人的特点之一就是将其设计成具点之一就是将其设计成具有有线性相位线性相位。 右图表示的是线性相右图表示的是线性相位位FIR系统的典型冲激响系统的典型冲激响应应 。 具有线性相位的因果具有线性相位的因果FIRDF的冲激响应具有的冲激响应具有偶偶对称特性对称特性，即，即copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 先分析具有这样的冲激响应的先分析具有这样的冲激响应的FIR系统的幅度系统的幅度和相位特点。和相位特点。将将FIR系统的系统函数重写为系统的系统函数重写为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法（1）当）当N为偶数时，利用公式为偶数时，利用公式 得得下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法幅度响应幅度响应令令 ，得系统的频率响应，得系统的频率响应经推导，得到频率响应经推导，得到频率响应copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法结论：结论： 当当 时，时， ； 对对 呈呈奇对称奇对称。 相位特性是严格相位特性是严格线性线性的。的。于是系统的于是系统的幅度响应幅度响应和和相位响应相位响应分别为分别为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法（2）当）当N为奇数时，利用公式为奇数时，利用公式 得得经推导，得到频率响应经推导，得到频率响应copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法结论：结论： 对对 各点是各点是偶对称偶对称的。的。 相位特性是严格相位特性是严格线性线性的。的。于是系统的于是系统的幅度响应幅度响应和和相位响应相位响应分别为分别为:copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法h(n)为偶对称的线性相位为偶对称的线性相位FIRDF的特性的特性(a)(b)copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 分别画出分别画出N为偶数和奇数，线性相位为偶数和奇数，线性相位FIR滤波滤波器的结构流程图：器的结构流程图：具有线性相位的具有线性相位的偶数偶数N的的FIR系统的直接结构系统的直接结构具有线性相位的具有线性相位的奇数奇数N的的FIR系统的直接结构系统的直接结构 线性相位线性相位N阶阶FIR滤波器只需要滤波器只需要N/2次（次（N为偶数）为偶数）或或（N+1+1）2次（次（N为奇数）乘法。为奇数）乘法。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 用上面的方法同样可以证明，当用上面的方法同样可以证明，当FIR系统的系统的单位取样响应单位取样响应 为为奇对称奇对称，即，即时，系统同样具有时，系统同样具有线性相位特性线性相位特性。 偶对称偶对称 奇对称奇对称 为偶数为偶数 为奇数为奇数小结：小结：共有共有4种组合，则有种组合，则有4类线性相位类线性相位FIR滤波器。滤波器。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 由于线性相位由于线性相位FIR滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应 必须满足对称条件必须满足对称条件 ，因此它，因此它的零点位置受到严格的限制。的零点位置受到严格的限制。 上式表明，上式表明， 和和 除相差（除相差（N-1)个样本间个样本间隔外，没有不同。隔外，没有不同。 根据对称条件，有根据对称条件，有 因此，因此， 是是 的零点，的零点， 也是也是 的零点。的零点。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 这就是说，线性相位这就是说，线性相位FIR滤波器的零点必互为滤波器的零点必互为倒数出现，在倒数出现，在 为实数情况下，为实数情况下， 的零点必的零点必然互为共轭出现。因此，然互为共轭出现。因此，线性相位线性相位FIR滤波器的零滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对点必须是互为倒数的共轭对。1、零点不在实轴上，零点不在实轴上， 也不在单位圆上；也不在单位圆上；2、零点在单位圆上；零点在单位圆上；3、零点在实轴上，零点在实轴上，4、零点既在单位圆上，零点既在单位圆上， 又在实轴上。又在实轴上。线性相位线性相位FIR滤波器的零点分布图滤波器的零点分布图copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法5.5.频率取样型频率取样型 由由z变换的插值公式知，变换的插值公式知，FIR滤波器的系统函滤波器的系统函数可以表示为数可以表示为 上式为实现上式为实现FIR系统提供了另一种结构，是由两个系统提供了另一种结构，是由两个网络网络级联级联构成的。其中构成的。其中 一个有限时宽的序列，其一个有限时宽的序列，其Z变换可以变换可以用单位圆上的用单位圆上的N个等间隔取样表示。个等间隔取样表示。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 第一个网络第一个网络 是由是由N节延迟线组成的梳状节延迟线组成的梳状滤波器。滤波器。 的零点和的零点和呈梳状特性呈梳状特性的频率响应：的频率响应：copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法其中，每个一阶网络其中，每个一阶网络 在单位圆上各有一个极点在单位圆上各有一个极点 ，这些极点为：，这些极点为：这些极点正好与梳状滤波器这些极点正好与梳状滤波器 的零点相抵消，从的零点相抵消，从而使而使 在这些频率上的响应等于在这些频率上的响应等于 。 （4.24）第二个网络第二个网络 是一组并联的一阶网络，是一组并联的一阶网络，copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 下图所示的是下图所示的是FIR滤波器的滤波器的频率取样型结构频率取样型结构。这。这种结构是由一个简单的种结构是由一个简单的FIR系统和一个系统和一个IIR系统级联系统级联组成。组成。优点优点： 并联谐振网络的系数并联谐振网络的系数 是是FIR滤波器在滤波器在 处的响应，因而可以直接控处的响应，因而可以直接控制滤波器的响应。制滤波器的响应。缺点缺点： 1、所有系数都是复数，、所有系数都是复数，复数乘法运算比较麻烦。复数乘法运算比较麻烦。 2、所有谐振网络的极点、所有谐振网络的极点都在单位圆上，容易出现误都在单位圆上，容易出现误差，系统不容易稳定。差，系统不容易稳定。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法克服以上缺点的方法克服以上缺点的方法有：有： 1、使谐振网络的极点从单位圆上向内收缩到、使谐振网络的极点从单位圆上向内收缩到半径为半径为r的圆上，这里的圆上，这里r略小于略小于1。 2、用实系数的二阶网络实现复系数的一阶网、用实系数的二阶网络实现复系数的一阶网络，从而使系数的复数乘法运算变成实数乘法络，从而使系数的复数乘法运算变成实数乘法运算。运算。设计方法设计方法copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 4.4IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法数字滤波器的一般设计步骤：数字滤波器的一般设计步骤：1、根据任务，确定滤波器性能指标（幅度特性、根据任务，确定滤波器性能指标（幅度特性、截止频率等）；截止频率等）；2、用一个稳定的因果系统用一个稳定的因果系统逼近逼近这些指标，具体的这些指标，具体的说是由这些指标计算说是由这些指标计算系统函数系统函数；3、用有限精度运算实现数字滤波器（选择运算结用有限精度运算实现数字滤波器（选择运算结构、进行误差分析和选择存储单元的字长等）。构、进行误差分析和选择存储单元的字长等）。4、用适当的软硬件实现。用适当的软硬件实现。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法性能指标性能指标 在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。 因为理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个因为理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）频带到另一个频带之间的突变） 要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个一个过渡带过渡带且在通带和止带内也不应该严格为且在通带和止带内也不应该严格为1 1或或零。应给以较小零。应给以较小容限容限。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 一个滤波器的技术指标，除了一个滤波器的技术指标，除了通带通带和和阻带阻带外，外，过渡带过渡带是必不可少的。左图中的曲线表示是必不可少的。左图中的曲线表示满足预定技术指标的频率响应，通带内的幅度满足预定技术指标的频率响应，通带内的幅度必须以误差必须以误差 逼近于逼近于1，即，即阻带内幅度以误差阻带内幅度以误差 逼逼近于零，即近于零，即 和和 分别为通带截分别为通带截止频率和阻带截止频率。止频率和阻带截止频率。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 为了按照这种误差要求逼近理想低通滤波器，为了按照这种误差要求逼近理想低通滤波器，必须有一个宽度不为零的必须有一个宽度不为零的过渡带过渡带。过渡带内幅度。过渡带内幅度响应从通带响应从通带平滑地下降平滑地下降到阻带。到阻带。 得到技术指标之后，下一步就是寻找一个频得到技术指标之后，下一步就是寻找一个频率响应符合允许指标的离散时间线性系统。率响应符合允许指标的离散时间线性系统。v 对于对于IIR系统，可以用系统，可以用有理函数有理函数逼近希望的频逼近希望的频率响应；率响应；v 对于对于FIR系统，可以用系统，可以用多项式多项式逼近希望的频率逼近希望的频率响应。响应。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 利用模拟滤波器的设计理论利用模拟滤波器的设计理论来设计来设计IIR数字数字滤波器就是首先根据实际要求设计一个模拟滤滤波器就是首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将模拟滤波器波器，然后再将模拟滤波器转换转换成数字滤波器。成数字滤波器。 这种设计方法又可分为这种设计方法又可分为冲激响应不变法冲激响应不变法 双线性变换法双线性变换法 由于模拟网络综合理论已经发展得很成熟，由于模拟网络综合理论已经发展得很成熟，设计非常方便，所以应用广泛。设计非常方便，所以应用广泛。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.4.1 冲激响应不变法冲激响应不变法 冲激响应不变法遵循的冲激响应不变法遵循的准则准则是：使数字滤波器是：使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激响的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的冲激响应的取样值完全一样，即应的取样值完全一样，即 实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器，实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器，就是要建立模拟系统函数就是要建立模拟系统函数 与数字系统函数与数字系统函数 之间的关系。之间的关系。其中，其中，T为取样周期。为取样周期。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 若满足要求的模拟滤波器的系统函数若满足要求的模拟滤波器的系统函数 已已知，它通常是有理函数形式，并且分母的阶次高知，它通常是有理函数形式，并且分母的阶次高于分子的阶次，仅含单极点，则可以表示成部分于分子的阶次，仅含单极点，则可以表示成部分分式形式：分式形式：拉氏反变换拉氏反变换z变换变换于是完成了数字滤波器设计。于是完成了数字滤波器设计。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 具体的说，从具体的说，从s平面到平面到z平面的映射不是简单平面的映射不是简单的代数映射，而是的代数映射，而是s平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横的横带重复地映射成整个带重复地映射成整个z平面。平面。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法S 平面平面Z 平面平面 模拟系统因果稳定，模拟系统因果稳定，其系统函数的所有极点位其系统函数的所有极点位于于s平面的平面的左半平面左半平面，这些，这些极点全部映射到极点全部映射到z平面单位平面单位圆内，因此，圆内，因此，数字滤波器数字滤波器也因果稳定也因果稳定。 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法冲激响应不变法的频谱混叠失真示意图冲激响应不变法的频谱混叠失真示意图 混叠问题混叠问题：由数字滤波器频率响应和模拟滤波器：由数字滤波器频率响应和模拟滤波器频率响应间的关系知：频率响应间的关系知：周期延拓周期延拓copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 那么数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波那么数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波器的频率响应。器的频率响应。 如果模拟滤波器的频率响应带宽被限制在折叠如果模拟滤波器的频率响应带宽被限制在折叠频率内，即频率内，即 由于一般实际模拟滤波器都不是带限的，所由于一般实际模拟滤波器都不是带限的，所以以混叠是必然混叠是必然的。即产生了失真。不适合设计高的。即产生了失真。不适合设计高通和带阻滤波器。通和带阻滤波器。 这是冲激这是冲激响应不变法的响应不变法的最大最大优点优点！ 这是冲激响这是冲激响应不变法的最应不变法的最大大缺点缺点！copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法例例4.1 已知一模拟滤波器的传递函数为已知一模拟滤波器的传递函数为使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。解：解： 将将 展开成部分分式得展开成部分分式得于是极点于是极点 ， 。直接使用式。直接使用式设设 T0.1667s，则得则得copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法因此，数字滤波器的频率响应为因此，数字滤波器的频率响应为 (b)所示的是相应的所示的是相应的数字滤波器的幅度响应。数字滤波器的幅度响应。 图中可以看出，图中可以看出，DF的幅度响应在高频段有较的幅度响应在高频段有较大的失真，而在低频段很大的失真，而在低频段很接近模拟滤波器的幅度响接近模拟滤波器的幅度响应。应。左图中左图中(a)是模拟滤波器的频率响应是模拟滤波器的频率响应copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.4.2 双线性变换法双线性变换法 双线性变换也是一种由双线性变换也是一种由s平面到平面到z平面的映射，平面的映射，定义为定义为 因此因此T常取常取1 双线性变换法与冲激响应不变法不同的是：它双线性变换法与冲激响应不变法不同的是：它是一种从是一种从s平面到平面到z平面的平面的单值可逆映射单值可逆映射。 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法将将 和和 代入式代入式 得得由此看出，数字域频率由此看出，数字域频率 与模拟域频率与模拟域频率 之间之间呈现呈现非线性关系非线性关系，如下图。，如下图。 当当 从从0变到变到 时，时， 从从0变到变到 。这意味着。这意味着模拟滤波器的全部频率特模拟滤波器的全部频率特性，被性，被压缩压缩成数字滤波器成数字滤波器在在 频率范围内频率范围内的特性。的特性。或或 这种非线性在高频这种非线性在高频段较为严重，而段较为严重，而在低频在低频段接近于线性段接近于线性，因此数，因此数字滤波器的频率特性能字滤波器的频率特性能够逼近模拟滤波器的频够逼近模拟滤波器的频率特性。率特性。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 设数字滤波器的通带和阻带的截止频率分别为设数字滤波器的通带和阻带的截止频率分别为 和和 ，对应的模拟滤波器的截止频率为，对应的模拟滤波器的截止频率为 和和 。双线性变换频率双线性变换频率非线性畸变非线性畸变的补偿方法：的补偿方法：预畸变预畸变 利用给定的数字滤波器的截止频率利用给定的数字滤波器的截止频率 和和 及及上式计算出上式计算出 和和 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 再根据此设计出模拟滤波器。最后把模拟滤波器转再根据此设计出模拟滤波器。最后把模拟滤波器转换成数字滤波器。换成数字滤波器。 这时双线性变换得到的数字滤波器具有所希望这时双线性变换得到的数字滤波器具有所希望的截止频率特性。的截止频率特性。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法由公式由公式 可以得到可以得到将将 代入上式得代入上式得从上式可以看出，当从上式可以看出，当 时，时， ； 当当 时，时， ； 当当 时，时， ；这说明这说明s平面的平面的 轴映射成轴映射成z平面的单位圆周，平面的单位圆周， 左半平面映射成单位圆内部，左半平面映射成单位圆内部， 右半平面映射成单位圆外部。右半平面映射成单位圆外部。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 这种映射是这种映射是简单的代数映射简单的代数映射，因此变换后的，因此变换后的数字滤波器的幅度响应数字滤波器的幅度响应没有混叠失真没有混叠失真。 因此，如果模拟滤波器是稳定的，即因此，如果模拟滤波器是稳定的，即 的的所有极点都在所有极点都在s平面的左半平面内，那么经平面的左半平面内，那么经双线双线性变换性变换映射后的极点都在映射后的极点都在z平面的单位圆内，因平面的单位圆内，因此数字滤波器也是稳定的。此数字滤波器也是稳定的。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 双线性变换导致双线性变换导致频率间的非线性关系频率间的非线性关系是它是它的主要缺点，限制了它的应用范围。的主要缺点，限制了它的应用范围。 频率响应不平坦（起伏较大）的系统不宜频率响应不平坦（起伏较大）的系统不宜采用该方法。采用该方法。 希望具有严格线性相位的数字滤波器，也希望具有严格线性相位的数字滤波器，也不能用双线性变换设计方法。不能用双线性变换设计方法。说明：说明：copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.4.3 数字巴特沃斯滤波器数字巴特沃斯滤波器 巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器的幅度响应在通带内具有最平坦的幅度响应在通带内具有最平坦的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化的。的特性，且在通带和阻带内幅度特性是单调变化的。 为角频率，在为角频率，在 处处幅度响应的平方为幅度响应的平方为0.5，N为滤波器的阶数。当为滤波器的阶数。当 时幅度响应为时幅度响应为1。模拟巴特沃斯滤波器的模拟巴特沃斯滤波器的幅度平方函数幅度平方函数为为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 上图可以看出，随着上图可以看出，随着N的增大，幅度响应曲线在的增大，幅度响应曲线在截止频率附近变得越来越截止频率附近变得越来越陡峭陡峭，即在通带内有更大，即在通带内有更大部分的幅度接近于部分的幅度接近于1 ，在阻带内以更快的速度下降，在阻带内以更快的速度下降至零。至零。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为 的圆周上。的圆周上。是关于虚轴对称的，虚轴上没有极点。是关于虚轴对称的，虚轴上没有极点。 当当 为奇数时，实轴上有两个极点。为奇数时，实轴上有两个极点。 当当 为偶数时，实轴上无极点。为偶数时，实轴上无极点。 各极点间的角度距为各极点间的角度距为 。模拟巴特沃斯滤波器模拟巴特沃斯滤波器极点的分布特点：极点的分布特点：由此可得极点由此可得极点copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法因此，可将极点因此，可将极点重新分配重新分配上式中上式中 是是s平面左半平面的极点，平面左半平面的极点， 是右半平面的是右半平面的极点。极点。 因为巴特沃斯滤波器有因为巴特沃斯滤波器有2N个极点，且对称于虚个极点，且对称于虚轴，所以可将左平面的极点分配给轴，所以可将左平面的极点分配给 ，以便得到，以便得到一个稳定的系统。把右半平面的极点分给一个稳定的系统。把右半平面的极点分给 ，可，可以作不再考虑。以作不再考虑。 经过推导，可以得到巴特沃斯滤波器的设计方法。经过推导，可以得到巴特沃斯滤波器的设计方法。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法1) 根据实际需要规定滤波器在数字截止频率根据实际需要规定滤波器在数字截止频率 和和 处的衰减；处的衰减；2) 由数字截止频率由数字截止频率 和和 处的衰减计算模拟处的衰减计算模拟巴特沃斯滤波器的阶数巴特沃斯滤波器的阶数N和频率和频率 ；设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法3) 求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由求模拟巴特沃斯滤波器的极点，并由s平面左半平面左半平面的极点构成传递函数平面的极点构成传递函数 。 左半平面极点：左半平面极点： 传递函数：传递函数：N为偶数为偶数N为奇数为奇数4)使用使用冲激响应不变法冲激响应不变法或或双线性变换法双线性变换法将将 转转换成数字滤波器的系统函数换成数字滤波器的系统函数 。 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.4.4 数字切比雪夫滤波器数字切比雪夫滤波器 切比雪夫滤波器的切比雪夫滤波器的幅度平方函数幅度平方函数为为 式中，式中， 称为称为纹波参数纹波参数，它与通带内幅度响应，它与通带内幅度响应的纹波有关；的纹波有关； 为为有效通带截止频率有效通带截止频率，N是滤波是滤波器的器的阶数阶数。 切比雪夫滤波器在通带内的幅度响应是切比雪夫滤波器在通带内的幅度响应是等波纹等波纹的，的，而在阻带内是而在阻带内是单调下降单调下降的；或者在通带内是的；或者在通带内是单调下单调下降降的，而在阻带内是的，而在阻带内是等波纹等波纹的。的。切比雪夫滤波器是由切比雪夫滤波器是由 、 和和N共共3个参数确定。个参数确定。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 可以看出，切比雪夫滤波器的幅度响应在可以看出，切比雪夫滤波器的幅度响应在 之间起伏变换，而在阻带内是单调下降的；当之间起伏变换，而在阻带内是单调下降的；当N为奇数时，滤波器在为奇数时，滤波器在 处的幅度响应为处的幅度响应为1。当当N为偶数时，滤波器在为偶数时，滤波器在 处的幅度响应为处的幅度响应为 。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法参量参量 、 和和N的确定：的确定：（1）、确定、确定 由允许的通带波纹确定。如果在由允许的通带波纹确定。如果在 处处允许的通带衰减为允许的通带衰减为 ， 可以这样确定可以这样确定不同的不同的 所对应的所对应的 值如下：值如下：因此因此copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法（2）、 的确定的确定 是切比雪夫有效通带截止频率，在有是切比雪夫有效通带截止频率，在有效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波效通带内滤波器的幅度被限制在两常数之间波动，动， 常常是给定的。常常是给定的。（3）、 滤波器阶数滤波器阶数N的确定的确定 切比雪夫滤波器的阶数切比雪夫滤波器的阶数N是由阻带允许的是由阻带允许的衰减确定的。设在阻带截止频率衰减确定的。设在阻带截止频率 处的允许衰处的允许衰减为减为 ，即，即由此得到计算滤波器阶数由此得到计算滤波器阶数N的公式的公式 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法数字切比雪夫滤波器的设计步骤数字切比雪夫滤波器的设计步骤（1） 根据滤波器的指标确定参数根据滤波器的指标确定参数 、 和和N。（2） 计算常量计算常量 、 和和 ，并求出极点，并求出极点 。（3） 由由s平面左半平面的极点构成传递函数平面左半平面的极点构成传递函数 。（4） 利用冲激响应不变法或双线性变换法将利用冲激响应不变法或双线性变换法将 转换成转换成 。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.4.5 IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换 方法方法1的缺点的缺点是，由于产生混叠失真，因此不能是，由于产生混叠失真，因此不能用冲激不变法来变换成高通、带通或带阻滤波器。用冲激不变法来变换成高通、带通或带阻滤波器。高通、带通、和带阻滤波器的常用的两种设计方法：高通、带通、和带阻滤波器的常用的两种设计方法：copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法频带变换原理频带变换原理 设设 是数字原型低通滤波器的系统函数，是数字原型低通滤波器的系统函数， 是所求的滤波器系统函数。从是所求的滤波器系统函数。从 平面到平面到 平面的映平面的映射定义为射定义为其中其中 为为变换函数变换函数。如果如果 是稳定的因果低通滤波器的有理系统函是稳定的因果低通滤波器的有理系统函数，经变换后的数，经变换后的 也应是稳定因果的数字滤波也应是稳定因果的数字滤波器的有理函数。器的有理函数。因此，所求的系统函数为因此，所求的系统函数为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法为此，该变换应满足：为此，该变换应满足： 必须是必须是 的有理函数；的有理函数； 平面的单位圆内部映射到平面的单位圆内部映射到 平面单位圆内部；平面单位圆内部； 变换后的数字滤波器频带应满足要求。变换后的数字滤波器频带应满足要求。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法全通函数全通函数（全通系统）（全通系统） 设设 和和 分别表示分别表示 平面和平面和 平面的频率变量，即平面的频率变量，即 ，则，则为了保证为了保证满足，满足， ,这表明函数这表明函数 在在单位圆上的幅度必须恒等于单位圆上的幅度必须恒等于1，这类系统称做，这类系统称做全通全通系统系统。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 任何全通函数都可表示为任何全通函数都可表示为其中其中 是是 的极点。为了满足稳定性的要求，的极点。为了满足稳定性的要求，必须有必须有 。 这样，通过选择适当的这样，通过选择适当的N值和值和 值，可以得出各值，可以得出各种各样的映射。种各样的映射。 最简单的映射就是把一个低通滤波器变换成另一最简单的映射就是把一个低通滤波器变换成另一个低通滤波器的映射，对于这种情况，有个低通滤波器的映射，对于这种情况，有copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 将将 代入上式，得代入上式，得因此利用欧拉公式因此利用欧拉公式 频率的压缩和扩张可以频率的压缩和扩张可以通过改变通过改变 来实现。当原来实现。当原始低通滤波器截止频率始低通滤波器截止频率 给给定，变换后滤波器的截止频定，变换后滤波器的截止频率率 给定，解上面的方程给定，解上面的方程有有copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 用类似的方法可导出从低通滤波器得到高通、用类似的方法可导出从低通滤波器得到高通、带通或带阻滤波器的其它形式。带通或带阻滤波器的其它形式。由此得到所要求的低通滤波器的由此得到所要求的低通滤波器的系统函数系统函数为为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.6 4.6 FIRFIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 IIR数字滤波器的设计方法利用了模拟滤波数字滤波器的设计方法利用了模拟滤波器的研究成果，设计方法器的研究成果，设计方法简单有效简单有效，能得到较，能得到较好的幅度特性，特别是双线性变换方法好的幅度特性，特别是双线性变换方法没有频没有频谱混叠谱混叠，很受欢迎。，很受欢迎。 但是，由于但是，由于IIR数字滤波器的数字滤波器的相位特性是非相位特性是非线性的线性的，因而相位特性不好控制。，因而相位特性不好控制。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 FIR数字滤波器的独特优点是容易得到的数字滤波器的独特优点是容易得到的严严格的线性相位格的线性相位，此外，此外，FIR数字滤波器的极点都数字滤波器的极点都位于原点，所以位于原点，所以FIR滤波器滤波器总是稳定的总是稳定的。 FIR数字滤波器还可以用数字滤波器还可以用FFT来计算。来计算。 FIR数字滤波器的设计方法主要有数字滤波器的设计方法主要有窗函数法窗函数法、频率取样法频率取样法等。等。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 可见它是一可见它是一无限长无限长、非因果非因果的系统。可以证的系统。可以证明明 不是绝对可和的，不是绝对可和的，因而理想地滤波器是因而理想地滤波器是不不稳定的稳定的。4.6.1 4.6.1 窗函数法窗函数法 理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应 对应的冲激响应对应的冲激响应copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 可以将无限长冲激响应序列截断，得到可以将无限长冲激响应序列截断，得到一个一个有限长序列有限长序列，并用它逼近理想低通滤波器。，并用它逼近理想低通滤波器。 设一理想低通滤波器的截止频率为设一理想低通滤波器的截止频率为 ，时延为时延为 ，即，即对应的冲激响应为对应的冲激响应为 这是利用窗函数设计这是利用窗函数设计FIR数字滤波器的数字滤波器的基本原理。基本原理。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 显然，显然， 是以是以 为中心的无限长非因果序为中心的无限长非因果序列，如下图列，如下图(a)所示。所示。 寻找一寻找一有限长因果序有限长因果序列列 来逼近理想冲激响来逼近理想冲激响应，即应，即 和和 应满足应满足FIR基本条件，即它是偶对称或奇对称的，基本条件，即它是偶对称或奇对称的，以满足线性相位的要求，还应当是因果的。以满足线性相位的要求，还应当是因果的。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 可把可把 看作是看作是 与一矩形序列相乘的结果，与一矩形序列相乘的结果， 窗函数不一定是矩形窗函数不一定是矩形窗函数，也可以是其它窗窗函数，也可以是其它窗函数，因此一般可表示为函数，因此一般可表示为 其中其中即即copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 根据卷积的性质，根据卷积的性质， 的频谱函数可表示为的频谱函数可表示为 采用不同的窗函数，对应的采用不同的窗函数，对应的 有不同的形有不同的形状。矩形窗的频谱为状。矩形窗的频谱为 即即FIR窗函数的频谱函数是理想低通滤波器的窗函数的频谱函数是理想低通滤波器的频谱函数与窗函数的频谱函数与窗函数的卷积卷积。其中其中copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 从从 到到 之间的之间的 称为窗函数频谱的称为窗函数频谱的主瓣主瓣， 主瓣两侧呈衰减振荡的部分称为主瓣两侧呈衰减振荡的部分称为旁瓣旁瓣。主瓣主瓣旁瓣旁瓣旁瓣旁瓣矩形窗的频谱如图所示矩形窗的频谱如图所示copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法代入公式代入公式(4.79)，FIRDF的频率响应为的频率响应为理想低通滤波器理想低通滤波器的频率响应可表示为的频率响应可表示为其幅度响应为其幅度响应为因此，因此，FIRDF的幅度响应为的幅度响应为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 上式表明，由理想低通滤波器的冲激响应加上式表明，由理想低通滤波器的冲激响应加窗得到的窗得到的FIR滤波器，它的幅度响应等于理想低滤波器，它的幅度响应等于理想低通滤波器的幅度响应与窗函数频谱的幅度响应的通滤波器的幅度响应与窗函数频谱的幅度响应的周期卷积周期卷积。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 时，时， 等于上图中等于上图中(a)和和(b)两个函数乘两个函数乘积的积分，即积的积分，即 在在 到到 这一段的面积。这一段的面积。 时，时， 正好与正好与 的一半重叠，卷的一半重叠，卷积值正好是零频响应积值正好是零频响应 的一半。的一半。 在通带截止频率在通带截止频率 以内，以内， 的整个主的整个主瓣都在瓣都在 的通带内。因此卷积结果有最大值，的通带内。因此卷积结果有最大值，频率响应出现正肩峰。频率响应出现正肩峰。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 的主瓣全部在的主瓣全部在 的通带外，在通带的通带外，在通带内旁瓣负的面积大于正的面积，因此卷积值达到内旁瓣负的面积大于正的面积，因此卷积值达到最大负值，最大负值， 在这里出现负肩峰。在这里出现负肩峰。 当当 进一步增大时，卷积值也将随着进一步增大时，卷积值也将随着 的的旁瓣在通带内的面积的变化而变化，这样就造成旁瓣在通带内的面积的变化而变化，这样就造成 以零值为中心的上下起伏波动。以零值为中心的上下起伏波动。 整个卷积结果如图整个卷积结果如图(f)所示。所示。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 从以上分析看出，理想低通滤波器经加窗处从以上分析看出，理想低通滤波器经加窗处理后，主要受到两方面的影响。理后，主要受到两方面的影响。 一、一、一、一、滤波器的频率响应在不连续点处出现过滤波器的频率响应在不连续点处出现过渡带，它主要是由窗函数频谱的渡带，它主要是由窗函数频谱的主瓣主瓣引起的，过引起的，过渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度。渡带的宽度取决于窗函数主瓣的宽度。 矩形窗对应的过渡带的宽度矩形窗对应的过渡带的宽度 。一。一般来说，过渡带的宽度与般来说，过渡带的宽度与N成反比。成反比。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 二、二、二、二、滤波器在通带和阻带内产生波纹，这种滤波器在通带和阻带内产生波纹，这种现象称为现象称为吉布斯现象吉布斯现象，主要是由窗函数的频谱的，主要是由窗函数的频谱的旁瓣旁瓣造成的。造成的。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 不同的窗函数的频谱的主瓣和旁瓣的形状是不同的。不同的窗函数的频谱的主瓣和旁瓣的形状是不同的。 这两个要求是互相矛盾的，不可能同时满足。这两个要求是互相矛盾的，不可能同时满足。 具体的说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，具体的说，降低旁瓣高度必然会使主瓣变宽；反之，压窄主瓣宽度，不可避免地会使旁瓣变高。压窄主瓣宽度，不可避免地会使旁瓣变高。 一般情况下，对窗函数的要求是：一般情况下，对窗函数的要求是：1. 旁瓣高度尽可能小旁瓣高度尽可能小，即尽可能让能量集中于主瓣，即尽可能让能量集中于主瓣，以减少通带和阻带中的波纹；以减少通带和阻带中的波纹；2. 主瓣宽度尽量窄主瓣宽度尽量窄，以获得极可能陡的过渡带。，以获得极可能陡的过渡带。 为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度为了减小波纹幅度，一方面可以加大窗的长度N，另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。另一方面可采用不同的窗函数来改善不均匀收敛性。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法几种常用的窗函数几种常用的窗函数：copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法1.1.矩形窗矩形窗2.2.巴特利特窗（三角形窗）巴特利特窗（三角形窗）copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法3.3.汉宁窗（升余弦窗）汉宁窗（升余弦窗）或或当当 时，上式可近似为时，上式可近似为copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 可见汉宁窗的频谱是由可见汉宁窗的频谱是由3部分相加组成，这样部分相加组成，这样使旁瓣大大抵消，从而使能量使旁瓣大大抵消，从而使能量有效地集中在主瓣内有效地集中在主瓣内，代价是使主瓣的宽度加大了一倍。代价是使主瓣的宽度加大了一倍。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.4.汉明汉明(Hamming)(Hamming)窗窗5.5.布莱克曼布莱克曼(Blackman)(Blackman)窗窗copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法(a)矩形窗矩形窗 (b)巴特利特窗巴特利特窗 (c)汉宁窗汉宁窗 (d)汉明窗汉明窗 (e)布莱克布莱克曼窗曼窗 这这5种窗函数的主种窗函数的主瓣宽度依次加宽，旁瓣宽度依次加宽，旁瓣衰减依次增大。瓣衰减依次增大。 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法(a)矩形窗矩形窗 (b)巴特利特窗巴特利特窗 (c)汉宁窗汉宁窗 (d)汉明窗汉明窗 (e)布莱克布莱克曼窗曼窗 矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带矩形窗设计的滤波器的过渡带最窄，但阻带衰减最差，约衰减最差，约21dB。而用布莱克曼窗函数设计而用布莱克曼窗函数设计的阻带衰减最好，但过渡带最宽的阻带衰减最好，但过渡带最宽,约约74dB 。用不同窗函数设计的用不同窗函数设计的FIR DF copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法6.6.凯泽凯泽(Kaiser)(Kaiser)窗窗其中，其中， 是第一类修正零阶贝塞尔函数。是第一类修正零阶贝塞尔函数。 凯泽窗是一族窗函数。凯泽窗是一族窗函数。 是可调参数，调节是可调参数，调节 值可以改变主瓣的宽度和旁瓣的幅度，值可以改变主瓣的宽度和旁瓣的幅度， 的典型值的典型值在在 范围内。范围内。 copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 这这6种窗的主要特性参数如下表：种窗的主要特性参数如下表：copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法用窗函数设计用窗函数设计FIR数字滤波器的步骤：数字滤波器的步骤：4.将将 与窗函数相乘得与窗函数相乘得FIR数字滤波器的冲激数字滤波器的冲激响应响应 ；1.给出希望设计的滤波器的频率响应给出希望设计的滤波器的频率响应 ；2.根据允许的过渡带宽度及阻带衰减，初步选定窗根据允许的过渡带宽度及阻带衰减，初步选定窗函数和函数和N值；值；或或3.计算一下积分，求出计算一下积分，求出 ；copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法5. 计算计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标；达到所要求的指标；6.或或7.由由 计算幅度响应计算幅度响应 和相位响应和相位响应 。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法 其一其一，很难准确控制滤波器的通带边缘；，很难准确控制滤波器的通带边缘； 其二其二，若，若 不能用简单函数表示，则计算不能用简单函数表示，则计算 的积分非常困难。的积分非常困难。 尽管窗函数由于有明显的优点而受到重视，尽管窗函数由于有明显的优点而受到重视，但是，以下两个原因是它的应用受到限制。但是，以下两个原因是它的应用受到限制。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法第一个问题只有通过多次设计解决。第一个问题只有通过多次设计解决。 如上图所示，理想低通滤波器的截止频率为如上图所示，理想低通滤波器的截止频率为 ，由于窗函数主瓣的作用而产生过渡带，出现了，由于窗函数主瓣的作用而产生过渡带，出现了通带截止频率通带截止频率 和阻带截止频率和阻带截止频率 。 在在 和和 处的衰减是否满足通带和阻带的要处的衰减是否满足通带和阻带的要求，也就是求，也就是 和和 是否就是所需要的通带和阻是否就是所需要的通带和阻带的截止频率，这是不一定的。带的截止频率，这是不一定的。 为了得到满意的结果，不得不假设不同的为了得到满意的结果，不得不假设不同的 ，进行多次设计。进行多次设计。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法第二个问题的解决办法使用求和来代替积分。第二个问题的解决办法使用求和来代替积分。对于上式，若以对于上式，若以 在在 的的M个点上个点上的值之和代替上式中的积分，则有的值之和代替上式中的积分，则有上式表明上式表明 实际上等效于实际上等效于 序列的序列的M点点IDFT。 与与 有如下的关系：有如下的关系：当当 时，时， 在窗口范围内能很好地逼近在窗口范围内能很好地逼近 。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.6.2 4.6.2 频率取样法频率取样法 FIR数字滤波器即可由冲激响应数字滤波器即可由冲激响应 来确定，来确定，也可由也可由 的离散傅里叶变换的离散傅里叶变换 来确定，来确定， 可表示为可表示为其中其中 为内插函数，为内插函数， 用频率取样用频率取样法设计法设计FIR数数字滤波器的字滤波器的理理论基础论基础。FIR滤波器的频率响应也可用滤波器的频率响应也可用 表示表示根据内插公式有根据内插公式有copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法频率取样法的频率取样法的优点优点： 可以直接在频域中用选择过渡取样值的方法，可以直接在频域中用选择过渡取样值的方法，来得到良好的设计效果，适合于最优化设计。来得到良好的设计效果，适合于最优化设计。这种方法的这种方法的缺点缺点： 频率控制点的位置受到频率轴上的频率控制点的位置受到频率轴上的N个取样点个取样点的限制，因而滤波器的的限制，因而滤波器的截止频率不易控制截止频率不易控制。如果。如果要自由地选择截止频率，就必须增加取样点数。要自由地选择截止频率，就必须增加取样点数。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法4.7 FIR4.7 FIR数字滤波器与数字滤波器与IIRIIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较v IIRIIR滤波器的系统函数是滤波器的系统函数是有理分式有理分式，其分，其分母多项式对应于反馈之路，因而这种滤波器递母多项式对应于反馈之路，因而这种滤波器递归结构的系统，只有当所有极点都在单位圆内归结构的系统，只有当所有极点都在单位圆内时滤波器才是稳定的。时滤波器才是稳定的。v FIRFIR滤波器的系统函数是滤波器的系统函数是多项式多项式，是非递归，是非递归结构系统，它只在原点处有一个结构系统，它只在原点处有一个N N阶极点，因阶极点，因而系统总是稳定的。此外，而系统总是稳定的。此外，FIRFIR滤波器可以采滤波器可以采用用FFTFFT来实现，在阶数相等的条件下，运算速来实现，在阶数相等的条件下，运算速度比度比IIRIIR滤波器快得多。滤波器快得多。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法v 对于相同的技术指标，对于相同的技术指标，IIRIIR滤波器所用的存储滤波器所用的存储单元和所需要的运算次数都比单元和所需要的运算次数都比FIRFIR滤波器少。滤波器少。IIRIIR的选频特性越好，它的相位的非线性就越严重。的选频特性越好，它的相位的非线性就越严重。v FIRFIR滤波器可得到严格的线性相位，而滤波器可得到严格的线性相位，而IIRIIR滤滤波器则不能。但实现波器则不能。但实现FIRFIR要增加滤波器的阶数和复要增加滤波器的阶数和复杂性。杂性。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法v IIRIIR滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公滤波器可利用模拟滤波器现成的设计公式、数据和表格，因而计算工作量较小，对计算式、数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。工具要求不高。v FIRFIR滤波器没有现成的设计公式，窗函数法滤波器没有现成的设计公式，窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰只给出窗函数的计算公式，但计算通带和阻带衰减仍无确定公式。减仍无确定公式。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法v IIRIIR滤波器主要是设计规格化的、频率特性滤波器主要是设计规格化的、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通和全通滤波为分段常数的标准低通、高通、带通和全通滤波器。器。v FIRFIR滤波器可设计出理想正交变换器、理想微滤波器可设计出理想正交变换器、理想微分器、线性调频其等各种网络，适应性较广。分器、线性调频其等各种网络，适应性较广。copyright 赵越 ise_zhaoy1ujn.edu.cn第章数字滤波器的原理和设计方法v 用于语音通信时，对相位要求不是主要的，用于语音通信时，对相位要求不是主要的，因此选用因此选用IIRIIR滤波器较为合适，可充分发挥其经滤波器较为合适，可充分发挥其经济和高效的特点。济和高效的特点。应用方面：应用方面：v 而图像信号处理和数据传输等以波形携带信而图像信号处理和数据传输等以波形携带信息的系统，对相位的线性要求较高，采用息的系统，对相位的线性要求较高，采用FIRFIR滤滤波器较好。波器较好。