平面单元平面单元- -等效结点荷载等效结点荷载计算计算1. 位移函数位移函数7/28/20242北京大学力学与工程科学系 陈斌3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体分析的一般步骤整体分析的一般步骤 1、建立整体刚度矩阵 上图中的结构有六个节点，共有12个节点位移分量(自由度)和12个节点力分量，它们之间的关系为：总体刚度方程中的自由度与节点位移之间的对应关系7/28/20249北京大学力学与工程科学系 陈斌3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体分析的一般步骤整体分析的一般步骤 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个节点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。 在上图的结构中，支承条件共有四个，即在节点1、4、6的四个支杆处相应位移已知为零：u1=u4=v4=v6=0 建立节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 3、解方程组，求出节点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。 4、根据节点位移求出应力。7/28/202410北京大学力学与工程科学系 陈斌3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体刚度矩阵的形成整体刚度矩阵的形成1、总刚形成的物理背景： 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在单刚Ke中，Kije表示第j个位移(自由度)给一单位位移，其它位移为零时，单元在第i位移方向上引起的节点力；类似，在整体刚阵中，Ki,j表示第j个自由度给一单位位移，其它自由度为零时，整体结构在第i个自由度上引起的节点力（即所有与第i、j个自由度相关的单元在第i个自由度上引起的节点力之和）。 如上图结构，计算K3,5时（第3和5个自由度分别对应第2和3号节点的u,即x向位移），与节点2和3相关的单元有单元和，当节点3发生x向单位位移时，相关单元和同时在节点2的x向引起节点力，将这两个力相加，就得出 K3,5 = K511 + K153 。由此看出，总刚的刚度系数是相关单刚的刚度系数的集成。7/28/202411北京大学力学与工程科学系 陈斌2、刚度矩阵的集成规则：1）在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移。2）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri。3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体刚度矩阵的形成整体刚度矩阵的形成12i 3412i Ri347/28/202412北京大学力学与工程科学系 陈斌1、对称性、对称性。由Kij的物理意义和互易定理可以很容易得到此结论。 利用对称性可以只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。2、稀疏性、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点231456节点1只与周围的两个节点(2、3)用三角形单元相连，它们是1的相关节点。在矩阵K中，第1行的非零元素只有6个(对应于相关节点的x,y向自由度)。问题的规模越大，矩阵中的非零元素所占的比例就越小7/28/202413北京大学力学与工程科学系 陈斌3、带形分布规律、带形分布规律。 右图中，矩阵K的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中(包括对角线元素在内)，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d表示。半带宽的一般计算公式是： 半带宽 d = (相邻结点码的最大差值 + 1) * 2 左图中相邻节点码的最大差值为4，故d=(4+1)*2=10 利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。若每行都取不同的半带宽则称作轮廓线存储。1. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点11109876543210987654327/28/202414北京大学力学与工程科学系 陈斌3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 图(a)中的矩阵K为n行n列矩阵，半带宽为d。半带存贮时从K中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵K的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量与K中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。矩阵矩阵K 矩阵矩阵K* 对角线对角线 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 45 45度斜线度斜线r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元素列元素 元素元素dn(a)Knnd(b) K* 7/28/202415北京大学力学与工程科学系 陈斌3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。1610987432518765439210141098763257/28/202416北京大学力学与工程科学系 陈斌3. 总体刚度矩阵的形成与特点总体刚度矩阵的形成与特点整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点4 4、K Kiiii005 5、带入边条件之前，总刚各行（列）元素之和等于、带入边条件之前，总刚各行（列）元素之和等于0 06 6、带入边条件之前，总刚奇异、带入边条件之前，总刚奇异7/28/202417北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 边界条件的处理边界条件的处理 无约束结构的整体刚度矩阵是奇异的，即整体平衡方程的解不唯一。位移约束常分为：节点固定和给定节点位移两种约束。 由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行（也有在此之前进行的，如直接删除法），即此时K、R中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱K、R的储存顺序。 引入约束的方法常有：1）直接带入法2）对角元素置1法3）大数法4）直接删除法（降阶法）5）罚单元法7/28/202418北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 边界条件的处理边界条件的处理1）直接带入法（降阶法）改变了原方程的顺序，只适用于一些简单的问题7/28/202419北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 边界条件的处理边界条件的处理2）对角元素置1法 处理ai=b形式的边条件。7/28/202420北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 边界条件的处理边界条件的处理 图示结构，对边界支承条件处理后，整体刚度矩阵修改为：图示结构，对边界支承条件处理后，整体刚度矩阵修改为：2P3yP3x31456P2xP1yaaaa1332211122337/28/202421北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 边界条件的处理边界条件的处理3）大数法（适合于计算机处理）17/28/202422北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 边界条件的处理边界条件的处理4）直接删除法 只能处理ai=0的情况。在单刚集成总刚时，对应与自由度ai的元素不进入 总刚，即在建立节点自由度与方程号之间的对照表时，把对应自由度的ID设成0。 这种方法降低了总刚的阶数。7/28/202423北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 边界条件的处理边界条件的处理5）罚单元法：适于处理自由度耦合的约束7/28/202424北京大学力学与工程科学系 陈斌5. 面积坐标面积坐标记 L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/AP点对应的面积坐标(L1, L2, L3)面积坐标相互不完全独立：L1+L2+L3=1显然 Li(xi,yi)=ij (i,j=1,2,3)123pA2A3A1xyA三角形的高次单元如果仍然直角坐标系来定义插值函数Ni，其公式将变得很复杂，若采用面积坐标则很简单1,2,3下标轮转7/28/202425北京大学力学与工程科学系 陈斌5. 面积坐标面积坐标L1、L2、L3实际上就是推导三节点三角形平面单元时的N1、N2、N3面积坐标与直角坐标之间的变换关系：7/28/202426北京大学力学与工程科学系 陈斌5. 面积坐标面积坐标7/28/202427北京大学力学与工程科学系 陈斌5. 面积坐标面积坐标利用此式可以重新计算线性三角形单元侧边均布压力的节点等效力7/28/202428北京大学力学与工程科学系 陈斌5. 面积坐标面积坐标例：q为线荷载密度，利用面积坐标计算节点1、2的等效节点力。xy2q317/28/202429北京大学力学与工程科学系 陈斌5. 面积坐标面积坐标所以三角形线荷载在1,2号节点的节点等效力分别为：7/28/202430北京大学力学与工程科学系 陈斌完全二次多项式完全二次多项式。一次项保证了完备性完备性。单元边界为二次变化，完全边界节点决定，保证了协调性协调性6. 六节点三角形单元六节点三角形单元1(1,0,0)2(0,1,0)3(0,0,1)4(1/2,1/2,0)5(0,1/2,1/2)6(1/2,0,1/2)7/28/202431北京大学力学与工程科学系 陈斌6. 六节点三角形单元六节点三角形单元7/28/202432北京大学力学与工程科学系 陈斌6. 六节点三角形单元六节点三角形单元例题例题xy3 (x3,y3)1 (x1,y1)2 (x2,y2)边长Lq456例题例题. 求图所示二次三角形平面单元在142边作用有均布侧压q(线荷载密度)时的节点等效力，假设节点坐标已知。7/28/202433北京大学力学与工程科学系 陈斌6. 六节点三角形单元六节点三角形单元例题例题P1:P4:P2=1:4:17/28/202434北京大学力学与工程科学系 陈斌4. 其它单元其它单元(1). 10节点三次三角形单元1(1,0,0)2(0,1,0)3(0,0,1)4(2/3,1/3,0)7(0,1/3,2/3)8(1/3,0,2/3)5(1/3,2/3,0)6(0,2/3,1/3)9(2/3,0,1/3)10(1/3,1/3,1/3)完全三次多项式。插值函数7/28/202435北京大学力学与工程科学系 陈斌