2.1椭圆的标准方程椭圆的标准方程 苏教普通高中课程标准实验教科书苏教普通高中课程标准实验教科书数学数学( (选修选修2-1)2-1)平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于常数（大于的距离的和等于常数（大于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫椭圆的点的轨迹叫椭圆. .定点定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。PF1F22.2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数, ,记为记为2a2a；两焦点之间的距离称为焦距，记为两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,2c,即即:F:F1 1F F2 22c.2c.说明说明: :复习回顾复习回顾椭圆的定义：椭圆的定义：1. .平面上平面上-这一个条件不可少这一个条件不可少; ;3 3、2a2c= 2a2c= F F1 1F F2 2(1)(1)若若2a=F2a=F1 1F F2 2轨迹是什么呢？轨迹是什么呢？(2)(2)若若2aF2a0),2c(c0),则：则：F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0)(c,0)以直线以直线F F1 1F F2 2为为x x轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建轴，建立如图所示坐标系。立如图所示坐标系。化简方程化简方程 建立直角坐标系建立直角坐标系设点坐标设点坐标代入坐标代入坐标列等式列等式PFPF1 1+PF+PF2 2=2a=2a设设则椭圆的方程为：则椭圆的方程为：PF2F1o oy yx x以直线以直线F F1 1F F2 2为为y y轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为x x轴，建立坐标系。轴，建立坐标系。设设P(x,yP(x,y) )为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点，F F1 1F F2 22c(c0),2c(c0),则：则：F F1 1(0(0，-c)-c)、F F2 2(0(0，c)c) PF PF1 1+PF+PF2 2=2a=2a1 1、方程的右边是常数、方程的右边是常数1;1;2 2、方程的左边是和的形式，每一项的分、方程的左边是和的形式，每一项的分子是子是 x x2 2、y y2 2，分母是一个正数。分母是一个正数。 椭圆的标准方程的特点：椭圆的标准方程的特点：问题问题1 1（1）（2） 根据上述讨论根据上述讨论, ,如何判断椭圆的焦点的位置如何判断椭圆的焦点的位置？问题问题2 2 若若 x x2 2 项的分母大，则其焦点就在项的分母大，则其焦点就在 x x 轴上，轴上，若若 y y2 2 项的分母大，则其焦点就在项的分母大，则其焦点就在 y y 轴上轴上. .xOyF1F2xOyF1F2椭圆的标准方程的椭圆的标准方程的再认识再认识：（1 1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 1；（2 2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a a、b b、c c满足满足a a2 2=b=b2 2+c+c2 2；（3 3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数由椭圆的标准方程可以求出三个参数a a、b b、c c的值；的值；（4 4）椭圆的标准方程中，椭圆的标准方程中，x x2 2与与y y2 2的分母哪一个大，则焦点在对应的分母哪一个大，则焦点在对应 哪一个轴上。哪一个轴上。椭圆的定义椭圆的定义椭圆的定义椭圆的定义图图图图 形形形形标准方程标准方程标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标焦点坐标焦点坐标 a,b,ca,b,ca,b,ca,b,c的关系的关系的关系的关系 焦点位置的焦点位置的焦点位置的焦点位置的判断判断判断判断F F F F1 1 1 1(-c,0)(-c,0)(-c,0)(-c,0)，F F F F2 2 2 2(c,0)(c,0)(c,0)(c,0)F F F F1 1 1 1(0,-c)(0,-c)(0,-c)(0,-c)，F F F F2 2 2 2(0,c)(0,c)(0,c)(0,c) 看分母的大小看分母的大小看分母的大小看分母的大小, , , ,焦点在分母焦点在分母焦点在分母焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上大的那一项对应的坐标轴上大的那一项对应的坐标轴上大的那一项对应的坐标轴上. . . .EX1.求适合下列条件的椭圆方程1 1、a a4 4，b b3 3，焦点在，焦点在x x轴上；轴上；2.b=12.b=1， ，焦点在，焦点在y y轴轴上上2 2、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为：则则a a_，b b_，c c_， 焦点焦点坐标为坐标为_，焦距等于，焦距等于_。该椭圆上一点该椭圆上一点P P到焦点到焦点F F1 1的距的距离为离为8 8，则点，则点P P到另一个焦点到另一个焦点F F2 2的距离的距离等于等于_。10106 68 8(0,-8)(0,-8)、(0,8)(0,8)161612123 3、若椭圆满足、若椭圆满足: a: a5 , c5 , c3 3 , , 求它的标准方程。求它的标准方程。 （1 1）焦点在）焦点在x x轴上时：轴上时：（2 2）焦点在）焦点在y y轴上时：轴上时：焦点在焦点在x x轴上轴上4 4、若动点、若动点P P到两定点到两定点F F1 1( (4,0)4,0)， F F2 2(4,0)(4,0)的距离之和为的距离之和为8 8，则动点，则动点 P P的轨迹为（的轨迹为（ ） A. A. 椭圆椭圆 B. B. 线段线段F F1 1F F2 2 C. C. 直线直线F F1 1F F2 2 D. D. 不存在不存在B B5 5、求下列椭圆的焦点坐标、求下列椭圆的焦点坐标示例示例示例示例1 1 1 1：已知一个运油车上的贮油罐：已知一个运油车上的贮油罐：已知一个运油车上的贮油罐：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它横截面的外轮廓线是一个椭圆，它横截面的外轮廓线是一个椭圆，它横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为的焦距为的焦距为的焦距为2.4m2.4m2.4m2.4m，外轮廓线上的点到，外轮廓线上的点到，外轮廓线上的点到，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为两个焦点距离的和为两个焦点距离的和为两个焦点距离的和为3m3m3m3m，求这个椭，求这个椭，求这个椭，求这个椭圆的标准方程。圆的标准方程。圆的标准方程。圆的标准方程。解：以两焦点所在解：以两焦点所在直线为直线为X X轴，线段轴，线段 的的垂直平分线为垂直平分线为y y轴轴, ,建立平建立平面直角坐标系面直角坐标系xOyxOy。则这个椭圆的标准方程为则这个椭圆的标准方程为: :根据题意根据题意:2a=3, 2c=2.4,:2a=3, 2c=2.4,所以：所以：b b2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81因此，这个椭圆的方程为：因此，这个椭圆的方程为：F1F2xy0M待定系数法待定系数法2. 2. 标准方程的简单应用标准方程的简单应用: :1.1.两类方程两类方程( (焦点分别在焦点分别在x x轴轴,y,y轴上的标准方程轴上的标准方程):):(1)(1)两种方法（待定系数法、坐标转换法）两种方法（待定系数法、坐标转换法）两种方法（待定系数法、坐标转换法）两种方法（待定系数法、坐标转换法） (2)(2)两种思想（数形结合、分类讨论）两种思想（数形结合、分类讨论）两种思想（数形结合、分类讨论）两种思想（数形结合、分类讨论）示例示例2 2、将圆上的点的横坐标保、将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，并说明它是什么曲线。的曲线的方程，并说明它是什么曲线。解解: :设所得曲线上任一点设所得曲线上任一点坐标为坐标为P(x,yP(x,y),),圆上的圆上的对应点的坐标对应点的坐标P P(x(x,y,y),),由题意可得：由题意可得：因为因为所以所以即即这就是变换后所得曲线的方程，它表示一个椭圆。这就是变换后所得曲线的方程，它表示一个椭圆。oxyPP坐标转移法：即利用坐标转移法：即利用中间变量求曲线方程中间变量求曲线方程 思考题思考题设动点设动点P P到点到点F F（1 1，0 0）的距离是到直线）的距离是到直线x x9 9的距离的的距离的 ，求点，求点P P的轨迹方程，的轨迹方程， 并判断此轨迹是什么图形？并判断此轨迹是什么图形？ 作作 业业1、教材、教材P30页习题页习题2.2(1)第第1,2,3,题题2、推导：（用分子有理化）、推导：（用分子有理化） 焦点在焦点在y轴上的椭圆的标准方程轴上的椭圆的标准方程