定积分的概念定积分的概念4872748727课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习【课标要求】1了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程3了解定积分的概念4了解定积分的几何意义和性质【核心扫描】1“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查(热点)2学会求定积分(重难点)课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习3求变速直线运动的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用 ， ， ， 的方法，求出它在atb内所作的位移s.求解方法与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题即将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值分割近似代替求和取极限课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习想一想：求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习定积分 课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习直线xa xb y0 课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习6定积分的性质课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习名师点睛1求曲边梯形面积(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习求和：把近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习3正确理解定积分的概念(1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间速度坐标系中的曲边梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习(2)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即 (称为积分形式的不变性)，另外定积分 与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得的值也就不同，例如的值就不同课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习题型一求曲边梯形的面积【例1】 求抛物线f(x)1x2与直线x0，x1，y0所围成的曲边梯形的面积S.思路探索 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割，近似代替、求和、取极限四个步骤进行课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：思想：以直代曲；步骤：化整为零以直代曲积零为整无限逼近；关键：以直代曲；结果：分割越细，面积越精确课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习题型三利用定积分定义计算定积分【例3】 利用定积分定义计算 (1x)dx的值思路探索 将区间1,2等分为n个小区间，然后用小矩形的面积近似替代小梯形的面积，再求其和，最后对其和取极限即得所求定积分课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：分割，近似代替，求和，取极限(2)在每个小区间xi1，xi上对i的选取是任意的，为了计算方便，i可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习题型四定积分几何意义的应用【例4】 用定积分的意义求下列各式的值课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习【题后反思】 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：准确画出各曲线围成的平面区域；把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；根据积分的性质写出结果(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习【变式4】 利用定积分的几何意义求：课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习方法技巧无限逼近的思想求曲边梯形的面积 求定积分四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限，关键环节是求和体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，求得整体图形的面积课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习【示例】 如图所示，求图中曲边梯形的面积(只要求写出极限形式)课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习单击此处进入单击此处进入 活页规范训练活页规范训练