常微分方程课程简介常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 学习常微分方程的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也最基本的微分方程问题，学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课程的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 教材及参考资料教 材：常微分方程（第三版），王高雄等编，高教出版社。参考书目：常微分方程，东北师大数学系编，高教出版社 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。第一章第一章 绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用，本章将通过几个具体例子，粗略地介绍常微分方程的应用，并讲述一些最基本概念。1.1 1.1 常微分方程模型常微分方程模型微分方程:联系着自变量、未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往要对所研究的问题进行适当简化和假设，建立数学模型，当问题涉及变量的变化率时，该模型就是微分方程。下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程.例1 镭的衰变规律:解:即镭元素的存量是指数规律衰减的. 将某物体放置于空气中, 在时刻时, 测得它的温度为10分钟后测量得温度为 试决定此物体的温度 和时间 的关系.例例2 物理冷却物理冷却过程的数学模型程的数学模型Newton 冷却定律冷却定律: 1. 热量量总是从温度高的物体向温度低的物体是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范在一定的温度范围内内,一个物体的温度一个物体的温度变化速度与化速度与这一一物体的温度与其所在的介物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比的温度之差成正比. 设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到 其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.解:例例3 R-L-C电路路 如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 电路的路的Kirchhoff第二定律第二定律: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 因为 于是得到这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式. 解:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零. 例例4 传染病模型传染病模型: 长期以来长期以来,建立传染病的数学建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专一直是各国有关专家和官员关注的课题家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的人们不能去做传染病传播的试验以获取数据试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型方法建立模型.思考与练习1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数的面积都等于常数 ,求该求该曲线所满足的微分方程曲线所满足的微分方程.解:由题目条件有:2. 求平面上求平面上过点点(1,3)且每点切且每点切线斜率斜率为横坐横坐标2倍的倍的曲曲线所所满足的微分方程足的微分方程.解: 设所求的曲线方程为由导数的几何意义, 应有即又由条件: 曲线过(1,3), 即于是得故所求的曲线方程为:1.2 基本概念基本概念定定义义1:1: 联联系系自自变变量量、未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数（或或微微分）的关系式称分）的关系式称为为微分方程微分方程. 例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程.都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程.注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定定义义2 2：微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的导导数数或或微微分分的的最高最高阶数称数称为为微分方程的微分方程的阶阶数数. . 是一阶微分方程； 是二阶微分方程； 是四阶微分方程. 二、微分方程的阶二、微分方程的阶如:n阶微分方程的一般形式为 是线性微分方程是线性微分方程. 三 线性和非线性如如1.如果方程 是非线性微分方程是非线性微分方程. . 如如2.n阶线性微分方程的一般形式不是线性方程的方程称为非线性方程四 微分方程的解定义定义4例2证明:1 显式解与隐式解相应定义4所定义的解为方程的一个显式解显式解.隐式解隐式解.显式解与隐式解统称为微分方程的解.例如例如有显式解:和隐式解:2 通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如例如:n阶微分方程通解的一般形式为注1:例3证明:由于故又由于注2:注3:类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解.例如定义63 定解条件 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.注1: n阶微分方程的初始条件有时也可写为注2:例4解由于且解以上方程组得思考1、微分方程的解是否连续？是否可导？2、微分方程解的定义区间是否可以是一个点？3、通解是否一定包含了全部解？4、所有方程都有通解吗？五 积分曲线和方向场1 积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线.2 方向场在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场.图1.2等斜线积分曲线：图中实线例：讨论微分方程等斜线是双曲线： 积分曲线的分布概况如左图. 拐点所在的曲线 方向场画法：方向场画法：适当画出若干条等斜线，适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场这样即可画出这个方向场.例例 画出方程画出方程 所确定的方向场示意图所确定的方向场示意图.解解方程的等斜线为方程的等斜线为画出五条等斜线画出五条等斜线,再在每条等斜线再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场。向量，如图方向场。根据方向场即可大致描绘出积根据方向场即可大致描绘出积分曲线分曲线经过点经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线如左图所示。的三条积分曲线如左图所示。例5积积分曲分曲线线方向场方向场方向场示意图方向场示意图 积分曲线积分曲线 例6六、微分方程组六、微分方程组定义定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组微分方程组。Lorenz方程方程Volterra两种种群竞争模型两种种群竞争模型(1.18)(1.19)高阶微分方程高阶微分方程 的另一种形式（的另一种形式（如果可能如果可能！）！）如果把如果把 都理解为未知函数，并作变换都理解为未知函数，并作变换上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组并可以记为向量形式并可以记为向量形式其中均为向量函数其中均为向量函数分析分析：微分方程（组）的向量形式为其用：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便。线性代数知识进行研究讨论提供了方便。七、驻定与非驻定、动力系统七、驻定与非驻定、动力系统如果方程组如果方程组 的右端不含自变量的右端不含自变量 ，即，即则称为则称为驻定驻定（自治自治）的，否则就称为）的，否则就称为非驻定的非驻定的（非自治非自治）的。）的。注：注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组。把满足恒同性和可加性的映射称为把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统动力系统。动力系统分为。动力系统分为连续连续和离散系统两种类型和离散系统两种类型，对应有，对应有连续动力系统和离散动力系统连续动力系统和离散动力系统。注注：记：记 为单参数为单参数 的的 的映射（变换），则映的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：射满足恒同性和可加性，即：和和八、相空间、奇点和轨线八、相空间、奇点和轨线把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间相空间；积分曲线在相空间中的投影称为积分曲线在相空间中的投影称为轨线轨线；把驻定方程组的解称为微分方程组的把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解平衡解（驻定解、常数解驻定解、常数解）或或奇点奇点（平衡点平衡点几何定义）；几何定义）；九、雅可比矩阵与函数相关性九、雅可比矩阵与函数相关性对于对于 个变元的个变元的 个函数定义雅可比矩阵为个函数定义雅可比矩阵为当当 时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为函数相关性函数相关性设函数设函数及其一阶及其一阶偏导数在开集偏导数在开集D上连续，如果在上连续，如果在D内内f1, f2, fm中的一个中的一个函数能表成其余函数的函数，则称它们在函数能表成其余函数的函数，则称它们在D内内函数相关函数相关；如果它们在如果它们在D内的任何点的邻域皆非函数相关，则称它们内的任何点的邻域皆非函数相关，则称它们在在D内内函数无关函数无关，或，或彼此独立彼此独立.习题: p28 8(2,4,6)