圆的标准方程圆的标准方程求曲线方程的步骤求曲线方程的步骤选系取动点选系取动点, ,找等量，列方程找等量，列方程, ,化简化简圆的定义：圆的定义：根据圆的定义怎样怎样求出圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程? 平面内与定点距离等于定长的点的集平面内与定点距离等于定长的点的集合合( (轨迹轨迹) )是圆是圆, ,定点就是定点就是圆心圆心, ,定长就是定长就是半径半径. .(x-a)2+(y-b)2=r2三个独立条件三个独立条件a a、b b、r r确定一个圆的方程确定一个圆的方程. .1 (1 (口答口答) ) 、求圆的圆心及半径、求圆的圆心及半径(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1练习练习Xy0+2-2C(0、0) r=2XY0-1C(-1、0) r=1(1) x2+y2=9(2) (x+3)2+(y-4)2=5练习练习2 2、写出下列圆的方程、写出下列圆的方程（1 1）、圆心在原点，半径为）、圆心在原点，半径为3 3；（2 2）、圆心在）、圆心在(-3(-3、4),4),半径为半径为 . .3 3、圆心在（、圆心在（-1-1、2 2），与），与y y轴相切轴相切练习练习XY0c-1C(-1、2) r=1(x+1)2+(y-2)2=1(x-2)2+(y-2)2=4 或或 (x+2)2+(y+2)2=4202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X4 4、圆心在直线、圆心在直线y=xy=x上上, ,与两轴同时相切与两轴同时相切, ,半径为半径为2.2.XY0C（8、3）P（5、1）5 5、已知圆经过、已知圆经过P(5P(5、1),1),圆心在圆心在C(8C(8、3),3),求圆方程求圆方程. .(x-8)2+(y-3)2=13XC(1、3)3x-4y-6=0Y06 6、求以、求以c(1c(1、3 3）为圆心，并和直线）为圆心，并和直线3x-4y-6=03x-4y-6=0相切的圆的方程相切的圆的方程. .解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,已知a=1,b=3因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离，所以 |31-4 3-6| 15所以圆的方程为r= 3(x-1)2+(y-3)2=9522)4(3-+7 7、已知两点、已知两点A(4A(4、9)9)、B(6B(6、 3), 3), 求以求以ABAB为为直径的圆的方程直径的圆的方程. .提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2A(4、9)B(6、3)X0Y例例2 2、已知圆的方程是、已知圆的方程是x x2 2+y+y2 2=r=r2 2，求经过圆，求经过圆上一点上一点M(xM(x0 0,y,y0 0) )的切线方程的切线方程. .yxO),(00yxM思考思考1.1.圆的切线有哪些性质？圆的切线有哪些性质？2.2.求切线方程的关键是什么？求切线方程的关键是什么？3.3.切线的斜率一定存在吗？切线的斜率一定存在吗？yxO.200ryyxx=+,22020ryx=+),(0000xxyxyy- - -= =- -.1kOM- - 所求的切线方程是所求的切线方程是因为点因为点M在圆上在圆上, ,所以所以经过点经过点M 的切线方程是的切线方程是解解: :当当M M不在坐标上时不在坐标上时，设切线的斜率为设切线的斜率为k,k,则则k=k= y0,0xkOM=.00yxk-=当点当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.整理得整理得4.4.除了课本解法，你还能想到哪些方法？除了课本解法，你还能想到哪些方法？ 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆，求经过圆上一点上一点 的切线的方程。的切线的方程。P(x,y)由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析：利用平面几何知识，分析：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般步骤求按求曲线方程的一般步骤求解解.如图，在如图，在RtOMPRtOMP中中yxOx0x +y0 y = r2P(x,y)yxO 例例 2.2.已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经，求经过圆上一点过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。分析：利用平面向量知识分析：利用平面向量知识.OM MP= 0OM MPx0x +y0 y = r2设设P P（x,y)x,y)是切线上不同于是切线上不同于M M的的任意一点任意一点, ,则则当当P P与与M M重合时，重合时，P P的坐标仍满足上面方程的坐标仍满足上面方程. .练习练习3 3：写出过圆：写出过圆x x2 2+y+y2 2=10 =10 上一点上一点 M M（2 2， ) ) 的切线方程。的切线方程。62x + + y =106 经过圆经过圆 上一点上一点 的切线的的切线的方程是方程是x0x +y0 y = r2x x2 2+y+y2 2=r=r2 2xx+yy=rxx+yy=r2 2x x0 0x+yx+y0 0y=ry=r2 2例例3 3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度该圆拱跨度ABAB20m20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，在建造时，在建造时每隔每隔4m4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的长的长度（精确到度（精确到0.010.01）yx思考：思考：1.1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？是否要建立直角坐标系？怎样建立？2.2.圆心和半径能直接求出吗？圆心和半径能直接求出吗？3.3.怎样求出圆的方程？怎样求出圆的方程？4.4.怎样求出支柱怎样求出支柱A A2 2P P2 2的长度？的长度？解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0 0，b b）, ,圆的半径是圆的半径是r ,r ,则圆的方程是则圆的方程是x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2 . .把把P P（0 0，4 4） B B（1010，0 0）代入圆的方程得方程组：）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得，解得，b= -10.5 b= -10.5 r r2 2=14.5=14.52 2所以圆的方程是：所以圆的方程是： x x2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.5=14.52 2把点把点P P2 2的横坐标的横坐标x= -2 x= -2 代入圆的方程，得代入圆的方程，得 (-2)(-2)2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.5=14.52 2因为因为y0,y0,所以所以y=y=14.514.52 2-(-2)-(-2)2 2 -10.5 -10.514.36-10.5=3.86(m)14.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A A2 2P P2 2的长度约为的长度约为3.86m.3.86m.例例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m， 拱高拱高OP=4m，在建造时每隔，在建造时每隔4m需用一个支柱需用一个支柱支撑，求支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yx思考 利用圆的几利用圆的几何性质，你能否何性质，你能否用直线方程求出用直线方程求出圆心坐标？进而圆心坐标？进而写出圆的方程？写出圆的方程？C1小结：小结：(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。(3)、方法：待定系数法 数形结合法d用用r r 表示圆的半径，表示圆的半径，d d 表示圆心到直线的距离，则表示圆心到直线的距离，则（1 1）直线和圆相交）直线和圆相交drdrr1. 1.求圆心求圆心求圆心求圆心C C在直线在直线在直线在直线 x+2y+4=0 x+2y+4=0 上，且过两定点上，且过两定点上，且过两定点上，且过两定点 A(-1 , 1)A(-1 , 1)、B(1,-1)B(1,-1)的圆的方程的圆的方程的圆的方程的圆的方程2. 2.试推导过圆试推导过圆试推导过圆试推导过圆( (x-ax-a) )2 2+(+(y-b)y-b)2 2=r=r2 2上一点上一点上一点上一点M(M(x x0 0,y ,y0 0) )的切线的切线的切线的切线方程方程方程方程. . 4. 4.自圆自圆自圆自圆( (x-ax-a) )2 2+(+(y-b)y-b)2 2=r=r2 2外一点外一点外一点外一点M(M(x x0 0,y ,y0 0) )向圆引切线，求向圆引切线，求向圆引切线，求向圆引切线，求切线的长切线的长切线的长切线的长. .课外思考题3.3.3.3.从圆从圆从圆从圆x x x x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2=10=10=10=10外一点外一点外一点外一点P(4,2)P(4,2)P(4,2)P(4,2)向该圆引切线，求切线向该圆引切线，求切线向该圆引切线，求切线向该圆引切线，求切线方程方程方程方程. . . .思考题：圆的方程圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开：展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0是关于是关于x、y的二元二次方程。的二元二次方程。那么是否二元二次方程均可化为圆方程那么是否二元二次方程均可化为圆方程？怎样的二元二次方程可化为圆的方程？怎样的二元二次方程可化为圆的方程？