第二十二章第二十二章 一元二次方程一元二次方程第第3 3课时课时湖北省仙桃市第三中学 刘烈武22.3 22.3 实际问题与一元实际问题与一元二次方程二次方程 复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤？列方程解应用题有哪些步骤？ 审题，设未知数，找出应用题中数量间的相等关系，列出方程，解方程，检验并写出答案 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27 ,宽宽21 ,正中央是一个与整个封面长正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形宽比例相同的长方形,如果要使四周如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分的边衬所占面积是封面面积的四分之一之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等左、右边衬等宽宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?2721探究探究（1）本题中有哪些数量关系？）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形形”？（3）如何理解）如何理解“要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一之一”？换一句话说就是？换一句话说就是“正中央长方形的面积怎么样呢正中央长方形的面积怎么样呢”？（4）如何利用你现在已有的数量关系选取未知数并列出方程呢？）如何利用你现在已有的数量关系选取未知数并列出方程呢？2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知依题知正中央的矩形两边之比也为正中央的矩形两边之比也为9:7.解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9x cm，7x cm，依题意得，依题意得解得解得 故上、下边衬的宽度为故上、下边衬的宽度为:左、右边衬的宽度为左、右边衬的宽度为: 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27 ,宽宽21 ,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右左、右边衬等宽边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?2721同学们讨论一下本题还有其他的方法吗？同学们讨论一下本题还有其他的方法吗？ （1）“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形”是否是否说明上、下边衬与左、右边衬都等宽？说明上、下边衬与左、右边衬都等宽？（2）如若不等宽，那么上、下边衬与左、右边衬之间是否有一）如若不等宽，那么上、下边衬与左、右边衬之间是否有一个比例关系呢，是多少？个比例关系呢，是多少？（3）你能否利用这种比例关系，联系前面的数量关系，选取未）你能否利用这种比例关系，联系前面的数量关系，选取未知数并列出方程呢？知数并列出方程呢？2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩正中央的矩形两边之比也为形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为左右边衬的宽度之比也为9:7.解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9x cm，左右，左右边衬宽为边衬宽为7x cm，依题意得：，依题意得：解方程得解方程得(以下同学们自己完成以下同学们自己完成)方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?反思一下这两种解法的等量关系相同吗？它反思一下这两种解法的等量关系相同吗？它们的不同在哪里？们的不同在哪里？例例2 2某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路米的长方形场地上修筑若干条等宽的道路,余下部分作草坪余下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现现在有两位学生各设计了一种方案在有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据根据两种设计方案各列出方程两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽求图中道路的宽分别是多少时可使图分别是多少时可使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2？(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则化简得，化简得，其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去. 图图(1)中中道路的宽为道路的宽为1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面积等于积等于540540米米2 2. .解法一：解法一： 如如图，设道路的宽为图，设道路的宽为x米，米，3232x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 . .2020x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是？图中的道路面积不是图中的道路面积不是米米2 2. .(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是米米2.所以正确的方程是：所以正确的方程是：化简得，化简得，其中的其中的 x=50=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2=2时，道路总面积为：时，道路总面积为： =100 (米米2)草坪面积草坪面积= = 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米米. .解法二：解法二： 我们可不可以利用我们可不可以利用“图形经图形经过移动，它的面积大小不会改变过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）？仍可按原图的位置修路）？(2)(2)解法二：解法二：如图，设路宽为如图，设路宽为x米，米，草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） . .相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-(20-x) )米米（32-32-x) )米米 即即化简得：化简得：再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同相同. .课堂练习课堂练习见教科书见教科书P48习题习题22.3第第8题题. 这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤列一元二次方程解应用题的步骤即审、设、找、列、解、检即审、设、找、列、解、检小结：小结：通过本节课的学习，大家有什么新通过本节课的学习，大家有什么新的收获和体会？的收获和体会？ 通过图象的适当转变通过图象的适当转变 可以有不同的解法可以有不同的解法.拓展延伸拓展延伸见教科书见教科书P49习题习题22.3第第9题题. 1.如图，宽为如图，宽为50 cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为则每个小长方形的面积为【 】A400 cm2 B500 cm2 C600 cm2 D4 000 cm22. 在一幅长在一幅长80 cm，宽，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为x cm，那么，那么x满足的方程是满足的方程是【 】Ax2+130x-1 400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130x-1 400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmAB作作 业业 作作 业业3.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同要修筑同样宽的三条道路样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的要使试验地的面积为面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x米，米，则则化简得，化简得，其中的当其中的当x=35时，超出了原矩形的宽，应舍去时，超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.同学们，再见同学们，再见！