第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.学习目标知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引知识梳理 自主学习知识点一直线的方向向量和平面的法向量答案直线的方向向量能平移到直线上的 向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l，取直线l的 n，则向量n叫做平面的法向量非零方向向量知识点二空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmabab .(2)线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0 .(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvuv .答案返回a1a2，b1b2，c1c2(R)a1a2，b1b2，c1c2(R)a1a2b1b2c1c20题型探究重点突破题型一利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系例1根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,3,1)，b(6,9,3)；解a(2,3,1)，b(6,9,3)，解析答案(2)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,1,4)，b(6,3,3)；解a(2,1,4)，b(6,3,3)，ab0且akb(kR)，a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面.解析答案反思与感悟uv3210，uv，即.(4)平面与的法向量分别是u(2，3,4)，v(4，2,1)；解u(2，3,4)，v(4，2,1)，uv0且ukv(kR)，u与v既不共线也不垂直，即和相交但不垂直.(5)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(0，8，12)，u(0,2，3).解a(0，8,12)，u(0,2，3)，解析答案跟踪训练1设平面的法向量为(1,3,2)，平面的法向量为(2,6,k)，若，则k_.解析，(1,3,2)(2,6,k)，4解析答案反思与感悟题型二求平面的法向量解析答案跟踪训练2已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量.解设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，平面ABC的一个法向量为n(1,1,1).解析答案反思与感悟题型三利用空间向量证明平行关系例3在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点.证明：PA平面EDB.解析答案跟踪训练3如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.利用向量法判断直线与平面平行易错点解析答案返回例4已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，则l与的位置关系是_.当堂检测12345解析答案1.已知a(2，4，5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1l2，则()D12345解析答案2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()A.xOy平行 B.xOz平行C.yOz平行 D.yOz相交C12345解析答案3.若A(1,0,1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A.(2,2,6) B.(1,1,3)C.(3,1,1) D.(3,0,1)解析A，B在直线l上，A12345解析答案4.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()A.l B.lC.l D.l或l解析ab0，l或l.D12345解析答案5.在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_.(填序号)解析AA1平面ABC，B1B平面ABC，课堂小结返回1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.