随机变量及其分布随机变量及其分布第一节第一节 随机变量与分布函数随机变量与分布函数引言引言 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念表示，由此就产生了随机变量的概念. . 为了深入研究和全面掌握随机现象的统计规律，为了深入研究和全面掌握随机现象的统计规律，建立系统的公式与定理以便更好地分析各种与随机建立系统的公式与定理以便更好地分析各种与随机现象有关的实际问题，有必要将随机试验的结果数现象有关的实际问题，有必要将随机试验的结果数量化，即将样本空间的样本点与实数相对应，从而量化，即将样本空间的样本点与实数相对应，从而使得利用函数以及公理化思想分析随机问题成为可使得利用函数以及公理化思想分析随机问题成为可能。能。一、随机变量的概念一、随机变量的概念引例引例1 1：投投掷均匀的骰子一枚，出均匀的骰子一枚，出现点数情况点数情况引例引例2 2：测试灯泡寿命灯泡寿命引例引例3 3：某人向目某人向目标射射击，命中目，命中目标次数次数引例引例4 4：投投掷硬硬币，正反两面出，正反两面出现情况情况 无论试验对应的样本空间有限或无限，无论试验对应的样本空间有限或无限，是否存在数量特征，我们均可以将其量化。是否存在数量特征，我们均可以将其量化。样本空间样本空间实数集合实数集合一、随机变量的概念一、随机变量的概念 这种对应关系在数学上理解为定义了一种这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数实值单值函数.e.X(e)R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！的函数不一样！一、随机变量的概念一、随机变量的概念（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率有一定的概率.这种定义在样本空间上的实值单值函数这种定义在样本空间上的实值单值函数X= X()就就是我们的随机变量。是我们的随机变量。一、随机变量的概念一、随机变量的概念 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表，而等表，而表示随机变量所取的值时表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x, y, z, w, n等。等。一、随机变量的概念一、随机变量的概念注意：注意：（1 1）本质：实值单值函数。自变量为每一个样本点，）本质：实值单值函数。自变量为每一个样本点，因变量为普通的实数。因变量为普通的实数。（2 2）随机变量取某个值意味着某个基本事件发生；）随机变量取某个值意味着某个基本事件发生；随机变量在某个范围内取值意味着复合事件发生。随机变量在某个范围内取值意味着复合事件发生。二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 有了随机变量有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X= 0 例如，从某一学校随机选一学生，例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高测量他的身高. 可以把可能的身高看作随机变量可以把可能的身高看作随机变量X然后我们可以提出关于然后我们可以提出关于X的各种问题的各种问题. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义试验所有可能结果试验所有可能结果随机变量所有可能随机变量所有可能取值取值某结果某结果(事件事件)的概率的概率随机变量取某个值或随机变量取某个值或在某区间取值的在某区间取值的概率概率 上述两方面就是我们今后的主要研究内容：上述两方面就是我们今后的主要研究内容：随机随机变量的概率分布变量的概率分布三、随机变量的分类三、随机变量的分类 离散型离散型1 1、离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, , 称为离散型随机变量称为离散型随机变量. . 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数. .随机变随机变量量 X 的可能值是的可能值是: :随机变量随机变量连续型连续型例如例如1, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它三、随机变量的分类三、随机变量的分类例如例如 若随机变若随机变量量 X 记为记为“连续射击连续射击, , 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, , 则则 X 的可能值是的可能值是: : 例如例如 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, ,现该射手射了现该射手射了30次次, ,则随机变则随机变量量 X 记为记为“击中目击中目标的次数标的次数”, ,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为: :三、随机变量的分类三、随机变量的分类例如例如 随机变量随机变量X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”. .则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .例如例如 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”. .2 2、连续型、连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，称为连续型随机变量满某个区间，称为连续型随机变量. .则则 X 的取值范围为的取值范围为分析分析例例1 1 一一报报童童卖卖报报，每每份份0.150.15元元，其其成成本本为为0.100.10元元. . 报报馆馆每每天天给给报报童童10001000份份报报，并并规规定定他他不不得得把把卖卖不不出出的的报报纸纸退退回回. . 设设X为为报报童童每每天天卖卖出出的的报报纸纸份份数数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示. .当当 0.15 X 10000.1 时，报童赔钱时，报童赔钱 故故报童赔钱报童赔钱 X 666报童赔钱报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本卖出的报纸钱不够成本三、随机变量的分类三、随机变量的分类四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数 利用随机变量研究随机现象，首先应掌握随利用随机变量研究随机现象，首先应掌握随机事件的表示方法。因为不同类型的随机事件利机事件的表示方法。因为不同类型的随机事件利用随机变量表示起来也是不一样的用随机变量表示起来也是不一样的.1 1、随机事件的表示方法随机事件的表示方法思考：思考：若任意类型的区间均可以利用某一个若任意类型的区间均可以利用某一个基础基础区间区间表示，那么研究会很方便，这样的区间存在表示，那么研究会很方便，这样的区间存在吗？吗？四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数2 2、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x) 的值就表示的值就表示 X 落在区间落在区间 内的内的概率。概率。四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数注意注意 :四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数， 它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述.四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数3 3、分、分布函数的性质布函数的性质（1 1）单调不减性）单调不减性（2 2）非负有界性）非负有界性（3 3）右连续性）右连续性四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数例例2 2解：由分布函数的性质可知解：由分布函数的性质可知练习练习