1.1.有理数乘法和除法的运算律的有理数乘法和除法的运算律的概述及字母表示式概述及字母表示式；2.2.在计算中，根据数字特点运用在计算中，根据数字特点运用运算律运算律.1.5.1 1.5.1 有理数的乘法有理数的乘法同学们都知道：53=？那么（那么（-5）3 呢呢符号为负符号为负 我们把向东走的路记为正数，如果小丽从0出发，以5km/h的速度向西走3h后，小丽从0点向哪个方 向行走了多少千米？5km5km5km53 (-5)3 = - (53)异号两数相乘异号两数相乘绝对值相绝对值相乘乘异号两数相乘得负数，并且把绝对值异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘相乘异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘 50=？ -5 0 呢有谁能够赋予它实际意义吗？有谁能够赋予它实际意义吗？可以这样来理解：可以这样来理解：我们把向东走的路记为正数，我们把向东走的路记为正数，如果小丽从如果小丽从0 0出发，以出发，以5km/h5km/h的速度向西走的速度向西走0h0h后，后，小丽从小丽从0 0点向哪个方向行走了多少千米？点向哪个方向行走了多少千米？ 0 10 1任何数与任何数与0 0相乘，都得相乘，都得0 0异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.（- -）（+ +）（- -）（+ +）（- -）（- -）结论任何数与任何数与任何数与任何数与00相乘，都得相乘，都得相乘，都得相乘，都得0.0. 例例1 计算：计算： （1）3.5 （- -2）； （2） ； （3） ；（4）（）（- -0.57） 0. .解解（1） 3.5 （- -2）= - -( (3.52) )根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则= - -73.53.5和和和和( ( (- - -22) ) )为异号，为异号，为异号，为异号，结果为负结果为负结果为负结果为负3.53.5和和和和( ( (- - -22) ) )的绝对值相乘的绝对值相乘的绝对值相乘的绝对值相乘解解（2）=根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则= 为异号，为异号，为异号，为异号，结果为负结果为负结果为负结果为负它们的绝对值相乘它们的绝对值相乘它们的绝对值相乘它们的绝对值相乘解解（3）=根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则= 1 为同号，为同号，为同号，为同号，结果为正结果为正结果为正结果为正解解（4）（- -0.57） 0根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则根据乘法法则= 0任何数与任何数与任何数与任何数与00相乘，结果为相乘，结果为相乘，结果为相乘，结果为001. 填表填表:因数因数因数因数积的符号积的符号绝对值的积绝对值的积积积- -27- -10.3- -10- -14- -+ +3- -14- -32. 计算：计算：（1） ；（2） . . 3. 填空：填空： （1）( (- -2) )4= ， 4( (- -2) )= ；- -8- -8（2）(- -2) )( (- -3) ( (- -4) )= ( (- -4) )= ， ( (- -2) )(- -3) ) ( (- -4)=( (- -2) ) = .6- -2412- -24从上面的填空题中从上面的填空题中，你发现了什么你发现了什么？乘法交换律乘法交换律乘法交换律乘法交换律： = .abab即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变即，两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. .乘法结合律乘法结合律乘法结合律乘法结合律：( ( ( ( ) ) ) ) = ( ( ( ( ) ) ) ). . .a bab cc 即，对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相即，对于三个有理数相乘，可以先把前两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把结果与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变结论结论 （1）填空：填空：( (- -6) ) 4+( (- -9) =( (- -6) ) = ，( (- -6) )4+( (- -6) )( (- -9) )= + = .- -53054- -2430 （2）换几个有理数试一试换几个有理数试一试，你发现了什么你发现了什么？乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律（简称为（简称为（简称为（简称为分配律分配律分配律分配律）：( ( ( + ) ) ) = + .b c aab a c （- -1）a = -= -a利用分配律，可以得出利用分配律，可以得出 即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把即，一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. . 例例2 计算：计算： （1） ； （2） （- -12.5）（- -2.5）（- -8） 4 .解解（1）=将分数逐个与将分数逐个与将分数逐个与将分数逐个与6060相乘相乘相乘相乘= 30- -20- -15+12= 7分数与整数分数与整数分数与整数分数与整数6060相乘相乘相乘相乘计算结果计算结果计算结果计算结果解解（2） ( (- -12.5) )( (- -2.5) )( (- -8) )4= ( (- -12.5) ) ( (- -8) )( (- -2.5) )4( ( (- - -12.512.5) ) )和和和和( ( (- - -88) ) )相乘为整数相乘为整数相乘为整数相乘为整数= 100( (- -10) )( ( (- - -2.52.5) ) )和和和和44相乘为整数相乘为整数相乘为整数相乘为整数= - -1000相乘为整数的先结合起来相乘为整数的先结合起来相乘为整数的先结合起来相乘为整数的先结合起来( ( (- - -12.512.5) ) )和和和和( ( (- - -88) ) )为为为为同号相乘同号相乘同号相乘同号相乘( ( (- - -2.52.5) ) )和和和和44为异号相乘为异号相乘为异号相乘为异号相乘( ( (- - -1010) ) )和和和和100100相乘为异号相乘为异号相乘为异号相乘为异号 下列各式的积是正数还是负数下列各式的积是正数还是负数？积的符号与负因数积的符号与负因数（因数为负数因数为负数）的个数之间有什么关系的个数之间有什么关系？ （1）（- -2）（- -3）（- -4）；）； （2）（- -2）（- -3）（- -4）（- -5）. . 几个不等于几个不等于几个不等于几个不等于00的数相的数相的数相的数相乘，当负因数有奇数个时乘，当负因数有奇数个时乘，当负因数有奇数个时乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶，积为负；当负因数有偶，积为负；当负因数有偶，积为负；当负因数有偶数个时，积为正数个时，积为正数个时，积为正数个时，积为正. . . 例例3 计算：计算： （1）（）（- -8） 4 （- -1）（- -3） ； （2） .解解（1） ( (- -8) ) 4 ( (- -1) )( (- -3) )= - -( (8413) )将负号提出来将负号提出来将负号提出来将负号提出来绝对值进行相乘绝对值进行相乘绝对值进行相乘绝对值进行相乘= - -96先确定积的符号先确定积的符号先确定积的符号先确定积的符号解解四个负号相乘，结果为四个负号相乘，结果为四个负号相乘，结果为四个负号相乘，结果为正号正号正号正号绝对值进行相绝对值进行相绝对值进行相绝对值进行相乘乘乘乘= 32先确定积的符号先确定积的符号先确定积的符号先确定积的符号（2）1. .计算计算: : （1）( (- -2) )17( (- -5) )； （2）( (- -15) )3( (- -4) )； （3） ； （4）0.1259( (- -8) )； （5）( (- -5) )( (- -4) )( (- -3) )； （6）( (- -1.5) )6( (- -4) )； （7） ； （8）( (- -10) ) 28 0.练习练习1.解解（1）( (- -2) )17( (- -5) )=2517=170（2）( (- -15) )3( (- -4) )=1543=180（3） （4）0.1259( (- -8) )=- -( (80.125) )9=- -9（5）( (- -5) )( (- -4) )( (- -3) )=- -( (543) )=- -60（6）( (- -1.5) )6( (- -4) )=1.546=36（7）（8）( (- -10) ) 28 0 = 02. .计算计算: : （1） ； （2）（- -4）（- -3）（- - 5）（- -2.5）. . 2.解解（1）（2）（- -4）（- -3）（- - 5）（- -2.5） = 4352.5 = 1501.5.2 1.5.2 有理数的除法有理数的除法我们知道我们知道 2 3 = 6，因此因此 6 3 = 2. 那么如何计算那么如何计算（- -6）3， 6（- -3），）， （- -6）（- -3）呢？呢？ （- -6）3=?， 6（- -3）=?， （- -6）（- -3）=?由于由于 （- -2）3 = - - 6 ，因此，因此， （- -6）3 = - -2 . 类似地，由于类似地，由于（- -2）（- -3）= 6 ，由于由于 2 （- -3） = - -6 ，因此，因此， 6（- - 3）= - -2 ， 因此，因此， （- -6）（- -3）=2 . . 从这些例子受到启发，抽象出有理数从这些例子受到启发，抽象出有理数的的除法除法运算；运算； 对于两个有理数对于两个有理数a，b，其中，其中b0，如，如果有一个有理数果有一个有理数c，使得，使得cb = a，那么规定，那么规定ab= =c，且把，且把c叫作叫作a除以除以b的的商商.同号两数相除得正数，异号两数相除同号两数相除得正数，异号两数相除同号两数相除得正数，异号两数相除同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除得负数，并且把它们的绝对值相除得负数，并且把它们的绝对值相除得负数，并且把它们的绝对值相除.0 0 除以任何一个不等于除以任何一个不等于除以任何一个不等于除以任何一个不等于00的数都得的数都得的数都得的数都得00.有理数的除法是通过乘法来规定的，有理数的除法是通过乘法来规定的，因此由因此由至至式可以得出：式可以得出：（+ +）（+ +）（+ +）（- -）（- -）（+ +）6 3 = 2 ( (- -6) )3 = - -2 6( (- - 3) )= - -2 ( (- -6) )( (- -3) )=2 （- -）（+ +）（- -）（+ +）（- -）（- -） 例例4 计算：计算： （1）（）（- -24）4 ； （2）（）（- -18）（- -9）； （3） 10 （- -5）.解解（1） （- -24） 4= - - ( (24 4) )根据除法法则根据除法法则根据除法法则根据除法法则( ( (- - -2424) ) )和和和和44为异号相除为异号相除为异号相除为异号相除结果为负结果为负结果为负结果为负解解（2）（）（- -18） （- -9）= +( (18 9) )根据除法法则根据除法法则根据除法法则根据除法法则（- - -1818）和和和和( ( (- - -99) ) )为同号为同号为同号为同号结果为正结果为正结果为正结果为正= - -6= 2解解（3） 10 （- -5）= - -( (10 5) )根据除法法则根据除法法则根据除法法则根据除法法则1010和和和和( ( (- - -55) ) )为异号相除为异号相除为异号相除为异号相除结果为负结果为负结果为负结果为负= - -2 试问：试问：10( (- -5) ) 还可以怎样计算还可以怎样计算 ？我们已经知道我们已经知道 10 （- -5）= - -2 ， 所以所以 又又 由于由于 ，因此，我们把，因此，我们把 叫做叫做- -5的倒数，的倒数，把把- -5叫做叫做 的倒数的倒数. 一般地，一般地，如果两个数的乘积等于如果两个数的乘积等于1，那么把其，那么把其中一个数叫做另一个数的中一个数叫做另一个数的倒数倒数，也称它们，也称它们互为倒互为倒数数. 0没有倒数没有倒数.因此，因此，式表明式表明10除以除以- -5等于等于10乘乘- -5的倒数的倒数.除以一个不等于除以一个不等于除以一个不等于除以一个不等于零零零零的数等于乘上这个数的倒数的数等于乘上这个数的倒数的数等于乘上这个数的倒数的数等于乘上这个数的倒数.一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即一般地，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，即也可以表示成也可以表示成结论结论 例例5 计算：计算： （1） ； （2） ； （3） . .解解（1）= （- -12）3根据除法法则根据除法法则根据除法法则根据除法法则异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负解解（2）=根据除法法则根据除法法则根据除法法则根据除法法则异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负异号相乘，结果为负 的倒数是的倒数是3= - -36= - -35 的倒数是的倒数是解解（3）= 根据除法法则根据除法法则根据除法法则根据除法法则同号相乘，结果为正同号相乘，结果为正同号相乘，结果为正同号相乘，结果为正= 的倒数是的倒数是 1.计算：计算： （1）14( (- -7) )； （2）( (- -36) )( (- -3) )； （3）0 ( (- -0.618) )； （4）( (- -48) )12. . 练习练习1.解解（1）14 ( (- -7) )= - -2；（2）( (- -36) )( (- -3) )= 12 ；（4）( (- -48) )12 = - -4.（3） 0 ( (- -0.618) ) = 0； 2.填空：填空： （1）因为）因为 = 1，所以所以 的倒数是的倒数是 ； （2） 的倒数是的倒数是 ；- -3的倒数是的倒数是 . .- -6- -6 3.计算：计算： （1） ( (- -36) )( (- -0.6) ) ； （2） ； （3） ； （4） . . 60- -28 下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有下面的算式含有乘、除两种运算，怎样进行有理数的乘、除混合运算呢？理数的乘、除混合运算呢？可以按从左到右可以按从左到右可以按从左到右可以按从左到右的顺序依次计算的顺序依次计算的顺序依次计算的顺序依次计算. . .也可以先将除法也可以先将除法也可以先将除法也可以先将除法转化为乘法转化为乘法转化为乘法转化为乘法. . . 例例6 计算：计算： （1）（- -56）（- -2） （- -8）；（2）（- -10） （- -5）（- -2） ；（3）（4）；.解解（1）（- -56）（- -2） （- -8）= 28 （- -8）可以依次计算可以依次计算可以依次计算可以依次计算先算前两个数先算前两个数先算前两个数先算前两个数异号相除，结果为负异号相除，结果为负异号相除，结果为负异号相除，结果为负=（2）（- -10） （- -5）（- -2） 解解= （- -10） 10先计算后两个先计算后两个先计算后两个先计算后两个= - -1解解= - -30 （- -3）可以依次计算可以依次计算可以依次计算可以依次计算先算前两位数先算前两位数先算前两位数先算前两位数= 90依次计算依次计算依次计算依次计算= 0.8（3）（4）解解 下面是小明同学做的一道计算题下面是小明同学做的一道计算题，他的计算他的计算是否正确是否正确？如果不正确，说说他错在哪里如果不正确，说说他错在哪里. .不正确，应该依次计算不正确，应该依次计算 计算器是日常计算器是日常生活中常用的一生活中常用的一种现代计算工具，种现代计算工具，因此我们可以利因此我们可以利用计算器来计算用计算器来计算. . 计算器有各种型号，型号不同，操作方法计算器有各种型号，型号不同，操作方法略有不同略有不同.下面我们以某种型号的计算器为例下面我们以某种型号的计算器为例介绍操作方法介绍操作方法. 例例7 用计算器计算用计算器计算（精确到精确到0.001）：）： - -1840 0.28( (- -375) )再将结果四舍五入后就可以得到答案再将结果四舍五入后就可以得到答案1.374.解解 按照下列顺序按键：按照下列顺序按键： 1.计算：计算： （1）24( (- -3) )( (- -4) ) ； （2）( (- -6) )( (- -2) )3； （3）2( (- -7) )( (- -4) )； （4） 186( (- -2).). 练习练习1.解解（1）24( (- -3) )( (- -4) )= - -8 ( (- -4) )= 2 ；（2）( (- -6) )( (- -2) )3 = 33 = 1 ；（3）2( (- -7) )( (- -4) ) = ( (- -4) ) = ；（4）18 6( (- -2) ) = 3( (- -2) )= - -6 . 2.计算：计算： （1） ； （2） ； （3） . . 3. 用计算器计算：用计算器计算： 1.26( (- -15 ) )80. .- -6.72