第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算 【知【知识梳理】梳理】1.1.空空间直角坐直角坐标系及有关概念系及有关概念(1)(1)空空间直角坐直角坐标系系: :定定义义以空间一点以空间一点O O为原点为原点, ,具具有相同的单位长度有相同的单位长度, ,给给定正方向定正方向, ,建立两两垂建立两两垂直的数轴直的数轴:x:x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴, ,建立了一个空间直建立了一个空间直角坐标系角坐标系_坐标原点坐标原点点点O O坐标轴坐标轴_坐标坐标平面平面通过每通过每两个坐标轴两个坐标轴的平面的平面OxyzOxyzx x轴、y y轴、z z轴(2)(2)空空间一点一点M M的坐的坐标: :空空间一点一点M M的坐的坐标可以用有序可以用有序实数数组(x,y,z)(x,y,z)来表示来表示, ,记作作M(x,y,z),M(x,y,z),其中其中x x叫做点叫做点M M的的_,y_,y叫做点叫做点M M的的_,z_,z叫做点叫做点M M的的_;_;建立了空建立了空间直角坐直角坐标系系, ,空空间中的点中的点M M与有序与有序实数数组(x,y,z)(x,y,z)可建立可建立_的关系的关系. .横坐横坐标纵坐坐标竖坐坐标一一一一对应2.2.空空间两点两点间的距离公式、中点公式的距离公式、中点公式(1)(1)距离公式距离公式: :设点点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则|AB|=_;|AB|=_;设点点P(x,y,z),P(x,y,z),则与坐与坐标原点原点O O之之间的距离的距离为|OP|=_.|OP|=_.(2)(2)中点公式中点公式: :设点点P(x,y,z)P(x,y,z)为P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )的中点的中点, , _ _则3.3.空空间向量的有关概念向量的有关概念名称名称定义定义空间向量空间向量在空间中在空间中, ,具有具有_和和_的量的量相等向量相等向量方向方向_且模且模_的向量的向量相反向量相反向量方向方向_且模且模_的向量的向量共线向量共线向量( (或平行向量或平行向量) )表示空间向量的有向线段所在的直线互表示空间向量的有向线段所在的直线互相相_的向量的向量共面向量共面向量平行于平行于_的向量的向量大小大小方向方向相同相同相等相等相反相反相等相等平行或重合平行或重合同一个平面同一个平面4.4.空空间向量的有关定理向量的有关定理(1)(1)共共线向量定理向量定理: :对空空间任意两个向任意两个向a,b(b0),ab的充要条件是存在的充要条件是存在实数数, ,使得使得_.(2)(2)共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量a,b_,_,那么向量那么向量p与向量与向量a,b共面的充要条件是存在共面的充要条件是存在_的有序的有序实数数对(x,y),(x,y),使使_.a=b不共不共线唯一唯一p=xa+yb(3)(3)空空间向量基本定理向量基本定理: :如果三个向量如果三个向量a,b,c_,_,那那么么对空空间任一向量任一向量p, ,存在有序存在有序实数数组x,y,z,x,y,z,使得使得_._.其中其中, _, _叫做空叫做空间的一个基底的一个基底. .不共面不共面p=xa+yb+zca,b,c5.5.空空间向量的数量向量的数量积及坐及坐标运算运算a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3) )向量和向量和a+b= _= _向量差向量差a-b= _= _(a(a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3) )(a(a1 1-b-b1 1,a,a2 2-b-b2 2,a,a3 3-b-b3 3) )a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3) )数量积数量积ab=_=_共线共线aba=b_(R,b0)垂直垂直abab=0 0a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0=0夹角夹角coscos= = =模模| |a|= =|= =a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3a a1 1=b=b1 1,a,a2 2=b=b2 2,a,a3 3=b=b3 3【特【特别提醒】提醒】1.1.对空空间任一点任一点O,O,若若 (x+y=1), (x+y=1),则P,A,BP,A,B三点共三点共线. .2.2.对空空间任一点任一点O,O,若若 (x+y+z=1), (x+y+z=1),则P,A,B,CP,A,B,C四点共面四点共面. .3.3.向量的数量向量的数量积满足交足交换律、分配律律、分配律, ,即即ab=ba,a(b+c)=ab+ac成立成立, ,但不但不满足足结合律合律, ,即即(ab)c=a(bc)不一定成立不一定成立. .【小【小题快快练】链接教材接教材练一一练1.(1.(选修修2-1P972-1P97习题3.1A3.1A组T2T2改改编) )如如图, ,平行六面体平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AC,AC与与BDBD的交点的交点为点点M,M,设 = =a, =, =b, , = =c, ,则下列向量中与相等的向量是下列向量中与相等的向量是( () )A.- A.- a+ + b+cB. B. a+ + b+cC.- C.- a- - b-cD.- D.- a- - b+c【解析】【解析】选选C C2.(2.(选修修2-1P98T82-1P98T8改改编) )已知已知a=(2,4,x),=(2,4,x),b=(2,y,2),=(2,y,2),若若| |a|=6,|=6,且且ab, ,则x+yx+y的的值为. .【解析】【解析】由由| |a|=6,|=6,得得 , ,解得解得x=4,x=4,又又ab, ,所以所以22+4y+2x=0.22+4y+2x=0.即即x+2y=-2,x+2y=-2,当当x=4x=4时时, ,得得y=-3,y=-3,所以所以x+y=1x+y=1当当x=-4x=-4时时, ,得得y=1,y=1,所以所以x+y=-3.x+y=-3.答案答案: :1 1或或-3-3感悟考感悟考题试一一试3.(20163.(2016莆田模莆田模拟)O)O为空空间任意一点任意一点, ,若若 , ,则A,B,C,PA,B,C,P四点四点( () )A.A.一定不共面一定不共面 B. B.一定共面一定共面C.C.不一定共面不一定共面 D. D.无法判断无法判断【解析】【解析】选选B.B.由由 知知,A,B,C,P,A,B,C,P四点共面四点共面. .4.(20164.(2016昆明模昆明模拟) )已知已知a=(-3,2,5),=(-3,2,5),b=(1,x,-1),=(1,x,-1),且且ab=2,=2,则x x的的值为( () )A.3A.3 B.4B.4 C.5C.5D.6D.6【解析】【解析】选选C.C.因为因为a=(-3,2,5),=(-3,2,5),b=(1,x,-1),=(1,x,-1),所以所以ab=-3+2x-5=2,=-3+2x-5=2,解得解得x=5.x=5.5.(20165.(2016合肥模合肥模拟) )已知已知A(1,2,-1)A(1,2,-1)关于面关于面xOyxOy的的对称称点点为B,B,而而B B关于关于x x轴的的对称点称点为C,C,则 = =. .【解析】【解析】由题意知由题意知B(1,2,1),C(1,-2,-1),B(1,2,1),C(1,-2,-1),则 =(0,-4,-2). =(0,-4,-2).答案答案: :(0,-4,-2)(0,-4,-2)考向一考向一空空间向量的向量的线性运算性运算【典例【典例1 1】(1)(1)向量向量a=(2,0,5),=(2,0,5),b=(3,1,-2),=(3,1,-2),c=(-1,4,0),=(-1,4,0),则a+6+6b-8-8c= =. .(2)(2)如如图所示所示, ,在空在空间几何体几何体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,各面各面为平平行四行四边形形, ,设 = =a, =, =b, =, =c,M,N,P,M,N,P分分别是是AAAA1 1,BC,C,BC,C1 1D D1 1的中点的中点, ,试用用a,b,c表示以下各向量表示以下各向量: : ; + . ; + .【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据向量坐标线性运算的法则进行运算根据向量坐标线性运算的法则进行运算. .(2)(2)利用三角形法则或多边形法则把待表示向量用其他利用三角形法则或多边形法则把待表示向量用其他向量表示向量表示, ,逐渐向向量逐渐向向量a, ,b, ,c靠拢靠拢. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)a+6+6b-8-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2)-8(-1,4,0)=(2,0,5)+6(3,1,-2)-8(-1,4,0)=(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0)=(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0)=(28,-26,-7).=(28,-26,-7).答案答案: :(28,-26,-7)(28,-26,-7)(2)(2)因为因为P P是是C C1 1D D1 1的中点的中点, ,所以所以因为因为M M是是AAAA1 1的中点的中点, ,所以所以 因为因为N N是是BCBC的中点，所以的中点，所以所以所以【母【母题变式】式】在例在例(2)(2)的条件下，若的条件下，若 试用用a，b，c表示表示 . .【解析】【解析】如图，连接如图，连接AFAF，则则由已知由已知ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，故故又又由已知由已知所以所以所以所以2.2.在本例在本例(2)(2)的条件下的条件下, ,若若 =x =xa+y+yb+z+zc, ,则求求x,y,zx,y,z的的值. .【解析】【解析】【规律方法】【规律方法】1.1.用基向量表示指定向量的方法用基向量表示指定向量的方法(1)(1)应结合已知和所求向量观察图形应结合已知和所求向量观察图形. .(2)(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中中. .(3)(3)利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来已知基向量表示出来. .2.2.向量加法的多向量加法的多边形法形法则首尾相接的若干向量之和首尾相接的若干向量之和, ,等于由起始向量的始点指向等于由起始向量的始点指向末尾向量的末尾向量的终点的向量点的向量, ,我我们把把这个法个法则称称为向量加法向量加法的多的多边形法形法则. .【变式式训练】在三棱在三棱锥O-ABCO-ABC中中, ,点点M,NM,N分分别是是OA,BCOA,BC的中点的中点,G,G是是ABCABC的重心的重心, ,用基向量用基向量 , , , , 表示表示 , . , .【解析】【解析】 【加固【加固训练】1.1.已知已知P P为矩形矩形ABCDABCD所在平面外一点所在平面外一点,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,点点M M在在线段段PCPC上上, ,点点N N在在线段段PDPD上上, ,且且PM=2MC,PN=ND,PM=2MC,PN=ND,若若 =x +y +z , =x +y +z ,则x+y+z=x+y+z=. .【解析】【解析】 答案答案: :- - 2.2.如如图, ,在在长方体方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,O,O为ACAC的中点的中点. .(1)(1)化化简: : (2)(2)用用 (3)(3)设E E是棱是棱DDDD1 1上的点上的点, ,且且 若若 试求求x,y,zx,y,z的的值. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为 (3)(3)如图所示如图所示, ,考向二考向二共共线向量与共面向量定理的向量与共面向量定理的应用用【典例【典例2 2】(1)(2016(1)(2016佛山模佛山模拟) )已知已知a=(+1,0,2),=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),=(6,2-1,2),若若ab, ,且且a与与b反向反向,+=,+=. .(2)(2)如如图所示所示, ,已知斜三棱柱已知斜三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1, ,点点M,NM,N分分别在在ACAC1 1和和BCBC上上, ,且且满足足 (0k1). (0k1).向量向量 是否与向量是否与向量 共面共面? ?直直线MNMN是否与平面是否与平面ABBABB1 1A A1 1平行平行? ?【解题导引】【解题导引】(1)(1)根据根据ab列方程组求列方程组求,再把再把,代入向量代入向量a,b, ,确定确定a与与b反向的情况反向的情况. .(2)(2)看向量看向量 是否可表示成是否可表示成 的形式的形式. .看看 能否与平面能否与平面ABBABB1 1A A1 1两相交直线的方向向量共面两相交直线的方向向量共面, ,且且 是否在该平面内是否在该平面内, ,从而作出判断从而作出判断. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由题意知由题意知b=k=ka, ,即即(6,2-1,2)=k(+1,0,2),(6,2-1,2)=k(+1,0,2), 6=k(+1), 6=k(+1), 2-1=0, 2-1=0, 2=2k, 2=2k, 所以所以 =2, =2, =-3,=-3, = = = ,= ,当当 时时, ,a=(3,0,2),=(3,0,2),b=(6,0,4),=(6,0,4),a与与b同向同向. .当当 时时, ,a=(-2,0,2),=(-2,0,2),b=(6,0,-6),=(6,0,-6),a与与b反向反向, ,因此因此=-3,= ,+=- =-3,= ,+=- 解得解得或或 答案答案: :- - (2)(2) 所以由共面向量定理知向量所以由共面向量定理知向量 与向量与向量 , , 共面共面. .当当k=0k=0时时, ,点点M,AM,A重合重合, ,点点N,BN,B重合重合,MN,MN在平面在平面ABBABB1 1A A1 1内内; ;当当0k10k1时时,MN,MN不在平面不在平面ABBABB1 1A A1 1内内, ,又由又由(1)(1)知知 与与 , , 共面共面, ,所以所以MNMN平面平面ABBABB1 1A A1 1. .【规律方法】律方法】1.1.空空间三点共三点共线的判断方法的判断方法结合已知向量从三点中提合已知向量从三点中提炼两个共点向量两个共点向量, ,利用共利用共线向向量定理判断量定理判断, ,但一定要但一定要说明两明两线有公共点有公共点. .2.2.证明空明空间四点共面的方法四点共面的方法对空空间四点四点P,M,A,BP,M,A,B可通可通过证明下列明下列结论成立来成立来证明四明四点共面点共面. .(1) (1) (2)(2)对空空间任一点任一点O, O, (3)(3)对空空间任一点任一点O, O, (4) (4) 【变式式训练】已知已知A,B,CA,B,C三点不共三点不共线, ,对平面平面ABCABC外的任外的任一点一点O,O,若点若点M M满足足(1)(1)判断判断 , , , , 三个向量是否共面三个向量是否共面. .(2)(2)判断点判断点M M是否在平面是否在平面ABCABC内内. . 【解析】【解析】 (2)(2)由由(1)(1)知知 , , , , 共面且过同一点共面且过同一点M.M.所以四点所以四点M,A,B,CM,A,B,C共面共面, ,从而点从而点M M在平面在平面ABCABC内内. .【加固【加固训练】1.1.有下列命有下列命题: :若若p=x=xa+y+yb, ,则p与与a,b共面共面; ;若若p与与a,b共面共面, ,则p=x=xa+y+yb; ;若若 , ,则P,M,A,BP,M,A,B共面共面; ;若若P,M,A,BP,M,A,B共面共面, ,则 . . 其中真命其中真命题的个数是的个数是( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析】【解析】选选B.B.正确正确.中若中若a, ,b共线共线, ,p与与a不共线不共线, ,则则p=x=xa+y+yb就不成立就不成立.正确正确.中若中若M,A,BM,A,B共线共线, ,点点P P不在不在此直线上此直线上, ,则则 不正确不正确. . 2.2.已知已知E,F,G,HE,F,G,H分分别是空是空间四四边形形ABCDABCD的的边AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点的中点, ,(1)(1)求求证:E,F,G,H:E,F,G,H四点共面四点共面. .(2)(2)求求证:BD:BD平面平面EFGH.EFGH.(3)(3)设M M是是EGEG和和FHFH的交点的交点, ,求求证: :对空空间任一点任一点O,O,有有 【证明】【证明】(1)(1)连接连接BG,BG,则则 由共面向量定理的推论知由共面向量定理的推论知: :E,F,G,HE,F,G,H四点共面四点共面. .(2)(2)因为因为 所以所以EHBD.EHBD.又又EHEH 平面平面EFGH,BDEFGH,BD 平面平面EFGH,EFGH,所以所以BDBD平面平面EFGH.EFGH.(3)(3)找一点找一点O,O,并连接并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.由由(2)(2)知知 同理同理 所以所以 即即EH FG,EH FG,所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .所以所以EG,FHEG,FH交于一点交于一点M M且被且被M M平分平分. .考向三考向三空空间向量数量向量数量积的的计算与算与应用用【考情快【考情快递】 命题方向命题方向命题视角命题视角空间向量数量积的空间向量数量积的计算计算重点考查数量积的计算公式重点考查数量积的计算公式空间向量数量积的空间向量数量积的应用应用重点考查空间向量的垂直、夹角、重点考查空间向量的垂直、夹角、长度等问题长度等问题【考【考题例析】例析】命命题方向方向1:1:空空间向量数量向量数量积的的计算算【典例【典例3 3】(2016(2016长沙模沙模拟) )如如图所示所示, ,已知空已知空间四四边形形ACBDACBD的每条的每条边和和对角角线长都等于都等于1,1,点点E,F,GE,F,G分分别是是AB,AD,CDAB,AD,CD的中点的中点, ,计算算: :【解题导引】【解题导引】选三个不共面的向量为基底选三个不共面的向量为基底, ,分别将相关分别将相关向量用基向量表示向量用基向量表示, ,根据向量数量积运算法则转化为基根据向量数量积运算法则转化为基向量的数量积运算向量的数量积运算. .【规范解答】【规范解答】设设 则则| |a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1, =60.=60.【易【易错警示】警示】解答本解答本题有三点容易出有三点容易出错: :(1)(1)在在选择基底基底时, ,忽忽视不共面的条件而致不共面的条件而致误. .(2)(2)在根据空在根据空间向量基本定理利用基向量表示相关向量向量基本定理利用基向量表示相关向量如如 时出出错. .(3)(3)在向量的数量在向量的数量积运算运算时出出错. .命命题方向方向2:2:空空间向量数量向量数量积的的应用用【典例【典例4 4】(2016(2016九江模九江模拟) )在斜三棱柱在斜三棱柱OAB-CAOAB-CA1 1B B1 1中中, ,向量向量 , ,三个向量之三个向量之间的的夹角均角均为 , ,点点M,NM,N分分别在在CACA1 1,BA,BA1 1上且上且 , ,如如图. . (1)(1)把向量把向量 用向量用向量a,c表示出来表示出来, ,并求并求 . .(2)(2)把向量把向量 用用a,b,c表示出来表示出来. .(3)(3)求求AMAM与与ONON所成角的余弦所成角的余弦值. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)先把先把 用用a, ,c表示表示, ,再利用再利用| | |2 2= = , ,求求| |.| |.(2)(2)利用利用 = ( + ) = ( + )求解求解. .(3)(3)先求先求 , ,再求再求| |,| |,最后代入夹角公式求解最后代入夹角公式求解. .【规范解答】范解答】 【技法感悟】【技法感悟】1.1.空空间向量数量向量数量积计算的两种方法算的两种方法(1)(1)基向量法基向量法: :ab=|=|a|b|cos|cos.(2)(2)坐坐标法法: :设a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2. .2.2.利用数量利用数量积解决有关垂直、解决有关垂直、夹角、角、长度度问题(1)(1)a0,0,b0,0,abab=0.=0.(2)|(2)|a|= .|= .(3)cos(3)cos= .= .【题组通关】通关】1.(20161.(2016兰州模州模拟) )已知已知长方体方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1, ,下列向下列向量的数量量的数量积一定不一定不为0 0的是的是( () )A. A. B. B. C. C. D. D. 【解析】【解析】选选D.D.选项选项A,A,当四边形当四边形ADDADD1 1A A1 1为正方形时为正方形时, ,可得可得ADAD1 1AA1 1D,D,而而A A1 1DBDB1 1C,C,可得可得ADAD1 1BB1 1C,C,此时有此时有 =0; =0;选项选项B,B,当四边形当四边形ABCDABCD为正方形时为正方形时, ,可得可得ACBD,ACBD,可得可得ACAC平面平面BBBB1 1D D1 1D,D,故有故有ACBDACBD1 1, ,此时有此时有 =0; =0;选项选项C,C,由长方体的性质可得由长方体的性质可得ABAB平面平面ADDADD1 1A A1 1, ,可得可得ABADABAD1 1, ,此时必有此时必有 =0; =0;选项选项D,D,由长方体的性质可得由长方体的性质可得BCBC平面平面CDDCDD1 1C C1 1, ,可得可得BCCDBCCD1 1,BCD,BCD1 1为直角三角形为直角三角形,BCD,BCD1 1为直角为直角, ,故故BCBC与与BDBD1 1不可能垂直不可能垂直, ,即即 0. 0.2.(20162.(2016泸州模州模拟) )如如图, ,在平行六面体在平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,底面底面ABCDABCD是是边长为1 1的正方形的正方形,AA,AA1 1= ,= ,设 = =a, , = =b, =, =c. .(1)(1)试用用a, ,b, ,c表示向表示向量量 , . , .(2)(2)若若AA1 1AD=AAD=A1 1AB=120,AB=120,求直求直线ACAC与与BDBD1 1所成的角所成的角. .【解析】【解析】(1)(1)由向量的加减运算法则知由向量的加减运算法则知: :