第第2讲数列求和及综合应用讲数列求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，真 题 感 悟又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.考 点 整 合2.数列求和3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.解(1)因为an5Sn1，nN*，所以an15Sn11，(2)bn1log2|an|2n1，数列bn的前n项和Tnn2，因此An是单调递增数列，探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.形如an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列.(1)解2(Sn1)(n3)an，当n2时，2(Sn11)(n2)an1，得，(n1)an(n2)an1，热点二数列的求和考法1分组转化求和【例21】 (2018合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.因此an的通项公式an2n1.(2)bn 2an (1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.(1)证明Sn2n25n，当n2时，anSnSn14n3.又当n1时，a1S17也满足an4n3.故an4n3(nN*).数列3an是公比为81的等比数列.(2)解bn4n27n，探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.解(1)设等比数列an的公比为q(q0)，所以ana1qn13n.(2)由(1)得bnlog332n12n1，解(1)设an的公差为d，由题设解之得a11，且d1.因此ann.探究提高1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式.所以an6n5.设数列bn的公差为d，所以bn3n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2.两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2所以Tn3n2n2.an1f(an)，且a11.an1an2则an1an2，因此数列an是公差为2，首项为1的等差数列.an12(n1)2n1.等比数列bn中，b1a11，b2a23，q3.bn3n1.又nN*，n1，或n2故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.探究提高1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.即2n1 000，又nN*，因为295121 0001 024210，所以n10，1.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项得到的数列anbn求和.(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比.把两个和的形式错位相减.整理结果形式.2.裂项求和的常见技巧3.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用.