第二章第二章 有有 限限 域域 结结 构构1n有限域的特征有限域的特征特征的含特征的含义无零因子含幺无零因子含幺环的特征的特征: 0 或者素数或者素数素域：素域： Q 和和 Z/(p) = 0,1, p 1定理定理 设F 是域是域, P 是是 F 的素域的素域.n若若char F = p, 则 P Z/(p). n若若char F = 0, 则 P Q.有限域的特征是素数有限域的特征是素数无限域的特征一定是无限域的特征一定是 0 吗？2n有限域的元素个数有限域的元素个数n特征特征为 p的有限域的有限域F 都是都是Fp上的有限（上的有限（维数）数）扩张。|F | = pn, n = F: Fp.n任意任意给定素数定素数 p和正整数和正整数n, 是否一定存在是否一定存在 pn元有限域？元有限域？n如何构造有限域？如何构造有限域？3n有限域的存在性与唯一性有限域的存在性与唯一性n存在性存在性定理定理 对每个素数每个素数 p和每个整数和每个整数n, 存在存在 pn元有限域元有限域.证明明nq = pn, F是是xq x在在Fp上的分裂域上的分裂域.nS = a F | aq a =0nS = F.4n唯一性唯一性定理定理 设F 是是q = pn元有限域元有限域, 则 F 是同构于是同构于xq x在在Fp上的上的分裂域分裂域. q元有限域元有限域记为FqCharacterization of Finite Fields5n子域的存在唯一性子域的存在唯一性定定理理 设q = pn , 若若E是是Fq的的子子域域，则|E | = pm, 其其中中m是是n的的正正因因子子；反反之之 ，若若m是是n的的正正因因子子，则Fq 有有唯唯一一的的 pm元子域。元子域。例：例： F230的全体子域的全体子域6n设 f(x)是是Fp上的上的 n次不可次不可约多多项式式nFpx中的同余关系中的同余关系a(x) b(x) mod f(x) f(x) | a(x) b(x) over Fpn任意任意给定的定的g(x) Fpx与与Fpx中某个次数小于中某个次数小于n的多的多项式式（包括（包括0）同余）同余g(x) = f(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 或或deg(r(x) n g(x) r(x) mod f(x)nFpx模模 f(x)的全体两两不同余的代表元的全体两两不同余的代表元为r(x) Fpx | r(x) = 0 或或deg(r(x) n pn7n设 f(x)是是Fp上的上的n次不可次不可约多多项式式nF = r(x) Fpx | r(x) = 0 或或deg(r(x) n n多多项式的加式的加 : g(x) + h(x)n模模 f(x)的乘法的乘法: g(x)h(x) (mod f(x)n是否域？是否域？F关于加法构成群关于加法构成群F0关于乘法构成群关于乘法构成群F是是 pn元有限域元有限域Fpx/(f(x) F 8n16元有限域元有限域F24nf(x) = x4 + x +1是是F2上的不可上的不可约多多项式式F = (0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 , x3 +x , x3 + x +1 , x3+ x2 , x3 + x2 +1 , x3 +x2 +x , x3 + x2 +1, +, mod f(x) )n F2x/(x4 + x +1) F(x2 + x) + (x3 +x +1) = x3 +x2 +1 (x2 + x) (x3 +x +1) = x3 +x2 +x+19n16元有限域元有限域F24nf(x) = x4 + x +1是是F2上的不可上的不可约多多项式式ng(x) = x4 + x3 +1是是F2上的不可上的不可约多多项式式nF2x/(f(x) F2x/(g(x)n能否能否给出同构映射？（出同构映射？（作作业）10nFp上上n次不可次不可约多多项式的存在性式的存在性定理定理 记有限域有限域Fq的全体非零元的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运关于乘法运算是循算是循环群群.11nFp上上n次不可次不可约多多项式的存在性式的存在性定理定理 记有限域有限域Fq的全体非零元的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运关于乘法运算是循算是循环群群.证明明nnnnnord(12n)=q112n本原元（本原元（ primitive element ）乘法群乘法群Fq*的生成元称的生成元称为Fq中的本原元。中的本原元。Fq中有中有 (q 1)个个本原元本原元13nFp上上n次不可次不可约多多项式的存在性式的存在性定理定理 设有限域有限域Fr是是Fq的的扩域，域，则Fr是是Fq上的上的单代数代数扩张。推推论 存在存在Fp上的上的n次不可次不可约多多项式。式。14n不可不可约多多项式的根式的根元素元素 Fqn在在Fq上的极小多上的极小多项式式 : 首一首一, 不可不可约设 f(x)是是Fq上的上的n次不可次不可约多多项式，式， 是是 f(x)在在Fq扩域上域上的根的根 (问: 是否有重根是否有重根?)f(x)的全体根的全体根 , q, q2, qn 1Fq( )是是qn元有限域元有限域, Fq( ) Fqn 是是 f(x)的分裂域的分裂域Fq上的上的n次不可次不可约多多项式的分裂域同构式的分裂域同构 Fqn 15n共共轭元元设Fqm是是Fq的的扩张, Fqm, 则 , q, q2, qm 1称称为 关关于于Fq的共的共轭元。元。注注：设 Fqm, 则 关关于于Fq的的共共轭元元两两两两不不同同当当且且仅当当 在在Fq上的极小多上的极小多项式次数等于式次数等于m。注注：若若d 是是m的的因因子子, 关关于于Fq共共轭元元的的不不同同元元素素为 , q, q2, qd 1 , 每个元素重复每个元素重复m/d 次次.16n共共轭元元定定理理 设Fqm是是Fq的的扩张, Fqm, 则 关关于于Fq的的共共轭元元在在乘法群乘法群Fq*中有相同的中有相同的阶。推推论 若若 Fqm是是Fqm中中的的本本原原元元，则 关关于于Fq的的共共轭元元都是都是Fqm中的本原元。中的本原元。17nFqm的的Fq-自同构自同构若若 是是Fqm的自同构并且的自同构并且对于于a Fq 有有 (a) = a, 则称称 是是Fqm的的Fq-自同构。自同构。18nFqm的的Fq-自同构自同构定理定理 Fqm的全体不同的的全体不同的Fq-自同构自同构为 0, 1, m 1, 其其 j( ) = qj , Fqm , 0 j m 1.证明明n验证 j 是是Fqm的的Fq-自同构自同构n说明明 0, 1, m 1两两不同两两不同n若若 是是Fqm的的Fq-自同构，自同构，则 0, 1, m 119nFqm的的Fq-自同构自同构定理定理 Fqm的全体不同的的全体不同的Fq-自同构自同构为 0, 1, m 1, 其其 j( ) = qj , Fqm , 0 j m 1. 0, 1, m 1是循是循环群，生成元群，生成元为 1Gal(Fqm/Fq) = 0, 1, m 120