2.2.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程20081一、教材分析一、教材分析 (一) 教学内容 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程是高中数学选修是高中数学选修2-1（人教版）（人教版）2.2.1中的内容，分三课时完成中的内容，分三课时完成. 第一课第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。 现在说第一课时现在说第一课时一、教材分析一、教材分析 本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可以为椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。和本节的重点内容之一。 (二二) 教材的地位和作用教材的地位和作用 一、教材分析一、教材分析 运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，作图，“定性定性”地画出椭圆，再通过坐标法地画出椭圆，再通过坐标法“定量定量”地描述椭地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。 ( (三三) ) 关于教材的处理关于教材的处理一、教材分析一、教材分析 1.知识与技能目标：知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。 2.2. 过程与方法目标：过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。决几何问题的能力及运算能力。 3.3. 情感态度与价值观目标：情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。培成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。培养学生自主学习的能力。养学生自主学习的能力。 以以“神舟六号神舟六号”围绕地球围绕地球运行轨迹演示，激发学生学习数学的兴趣，增强学运行轨迹演示，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育。野，并让学生受到爱国主义思想的教育。 （四）、教学目标（四）、教学目标一、教材分析一、教材分析 ( (五五) ) 教学的重点难点教学的重点难点 1. 1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程教学重点：椭圆的定义及其标准方程 2. 2. 教学难点：椭圆标准方程的推导教学难点：椭圆标准方程的推导 二、学情分析二、学情分析 在此之前在此之前, ,学生对坐标法解决几何问题掌握学生对坐标法解决几何问题掌握不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍思维上存在障碍. . 在求椭圆标准方程时，会遇到在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么的办法来补充这些知识的办法来补充这些知识. . 三、教法、学法和教学手段三、教法、学法和教学手段 1、教法设计：、教法设计： 采用启发式教学采用启发式教学,在课堂教学中坚持以教师为主导在课堂教学中坚持以教师为主导,学生为主体学生为主体,思维训练为主线思维训练为主线,能力培养为主攻的原则。能力培养为主攻的原则。 2、学法设计：、学法设计： 授人以鱼，不如授人以渔授人以鱼，不如授人以渔.要求学生动手实验要求学生动手实验,自主探究自主探究,合作交流合作交流,抽象出椭圆定义抽象出椭圆定义,并用坐标法探并用坐标法探究椭圆的标准方程究椭圆的标准方程,使学生的学习过程成为在教师引使学生的学习过程成为在教师引导下的导下的“再创造再创造”过程。过程。 3、教学手段：多媒体辅助教学、教学手段：多媒体辅助教学. 通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣，通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量量.四、教学流程四、教学流程创创设设情情景景，提提出出课课题题 自自主主探探究究，形形成成概概念念 师师生生互互动动，导导出出方方程程 初初步步运运用用，强强化化理理解解 自自我我评评价价，反反馈馈调调节节 知知识识整整理理，形形成成系系统统 布布置置作作业业，巩巩固固提提高高 问问 一一 “神舟六号神舟六号”围绕地球运行的轨迹是什么图形？围绕地球运行的轨迹是什么图形？ 四、教学过程四、教学过程四、教学过程四、教学过程 问问 二二 动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？ 让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图动手绘图 .并思考如下问题：并思考如下问题：做一做做一做1. 在纸板上作图说明了什么？在纸板上作图说明了什么？2. 在绳长在绳长 (设为设为 2 a ）不变的条件下，）不变的条件下，（1）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？（2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？ （3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？ （4）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？能画出图形吗？四、教学过程四、教学过程 请同学们观察如下动画后，回答刚才的问题请同学们观察如下动画后，回答刚才的问题.设计意图设计意图 按学生的认识规律与心理特征引按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维同时培养了学生从量变到质变的辨证思维 四、教学过程四、教学过程 定义定义 平面内与两个定点平面内与两个定点F1 、F2 的距离的距离的和等于常数（大于的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹）的点的轨迹叫做叫做椭圆椭圆，这两个定点叫做，这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点，两，两焦点的距离叫做焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 强调定义要满足三个条件：强调定义要满足三个条件：平面内（这是大前提）；平面内（这是大前提）；任意一点到两个定点的距离的和等于常数；任意一点到两个定点的距离的和等于常数；常数大于常数大于 |F1 F2 | F1F2P四、教学过程四、教学过程 知道了它的基本几何特征，这只是一种知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量定量”的描述，的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质. 问问 题：题： 1. 求曲线方程的一般步骤是什么？求曲线方程的一般步骤是什么？2. 建立坐标系的一般原则有哪些？建立坐标系的一般原则有哪些？ 设计意图设计意图 让学生明确思维的目的，通过复习让学生明确思维的目的，通过复习 旧知识，为下一步学习搭桥铺路旧知识，为下一步学习搭桥铺路. 四、教学过程四、教学过程 问题：问题：1怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？ 2你能用集合的形式表示椭圆吗你能用集合的形式表示椭圆吗?、建系、建系 2 、设点、设点 设M(x,y)是椭圆上的任一点 F F1 1（-c,0-c,0）F F2 2(c,0)(c,0) 则M与|F F1 1 F F2 2 |的距离为2a aF1F2Mx xy y4 、让学生化学生化简，得到，得到 (a 2 c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) 指出指出：此方程形式：此方程形式还不不够简捷，捷，还有有变形的必要，形的必要，请同学同学们思考思考.两边同除：四、教学过程四、教学过程 思考思考:观察图形在图中找出一些能表示观察图形在图中找出一些能表示a、c、线段吗线段吗?F1F2Mx xy设计意图设计意图在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练. aco四、教学过程四、教学过程 问问 五五 如果焦点如果焦点F1 、F2 在在 y 轴上，并且点轴上，并且点O 与与线段线段F1 F2 的中点重合，的中点重合，a、b、c 的意义同上，的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？椭圆的方程形式又如何呢？ xyo设计意图设计意图 该问的设置，一方面是为了得出焦点在该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力. 四、教学过程四、教学过程 为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，比较为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，比较椭圆的两种标准方程，填表椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论回答，教师板书）（学生讨论回答，教师板书）焦点位置的判定焦点位置的判定 a、b、c的关系的关系定义定义 共共同同点点 焦点坐标焦点坐标 图形图形 标准方程准方程 不不同同点点 设计意图设计意图 通过对比使学生进一步理解方程，掌握方程的本通过对比使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充分展示数形结合的和谐美、统一美，质特征，揭示规律，充分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫同时为解决例题做铺垫. 总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1oFyx2FM1 12 2yoFFMx 图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？ 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？ 小菜一碟小菜一碟练习练习2. 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且CF1=2,则则CF2=_. 变式：变式： 若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）.5436(-3,0)、(3,0)8露它一小手露它一小手练习练习3.3.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点； (4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a, b的值的值.相信我能行！相信我能行！四、教学过程四、教学过程 1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 长半轴长，短半轴长 ，焦点坐标. 例例 题题 设计意图设计意图 数学概念是要在运用中得以巩固的，数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受程中感受 数形结合数形结合 思想的优越性思想的优越性.四、教学过程四、教学过程 设计意图设计意图 变换练习方式，可增强新异感，调动学生变换练习方式，可增强新异感，调动学生的积极性，同时使学生获得的知识信息及时得到巩固，的积极性，同时使学生获得的知识信息及时得到巩固，纳入长时记忆系统纳入长时记忆系统. 四、教学过程四、教学过程 1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）椭圆的定义（注意定义中的三个条件）2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）3. 解析几何的基本思想解析几何的基本思想小结：小结：设计意图设计意图通过小结，使学生对所学的知识有一个完通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.四、教学过程四、教学过程 设计意图设计意图 一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了学生的自主学习能力和探究性学习习惯学生的自主学习能力和探究性学习习惯. 四、四、板板书设计 电脑投影屏幕电脑投影屏幕 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程1、椭圆的定义、椭圆的定义 3、例题、例题 2、椭圆标准方程的推导、椭圆标准方程的推导（1）建系）建系 4、训练、训练 5、作业、作业（2）设点）设点（3）列式）列式（4）化简）化简五、教学评价五、教学评价本节课围绕本节课围绕“层层设问层层设问 自主探索自主探索 发现规律发现规律 归纳总结归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行了优化组合，在教学过程中，学生通过这一主线展开，对教材内容进行了优化组合，在教学过程中，学生通过观看动画，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的观看动画，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整在整节课中，教师作为引导者，利用节课中，教师作为引导者，利用“神舟六号神舟六号”围绕地球运行轨迹的演示，围绕地球运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索 ，勇于创新，提高学生，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心，体现了新课标中让学生增强了学生的自信心，体现了新课标中让学生自主学习的教学理念自主学习的教学理念.