二、二、角动量守恒定律角动量守恒定律设刚体沿定轴设刚体沿定轴z轴转动，将轴转动，将角动量定理角动量定理沿此轴投影沿此轴投影若若Mz=0若刚体所受的对某一轴的合外力矩为零，则它对这一若刚体所受的对某一轴的合外力矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变。固定轴的角动量保持不变。2.3 对定轴转动的角动量守恒对定轴转动的角动量守恒 一、刚体角动量定律一、刚体角动量定律例：一匀质细杆可绕例：一匀质细杆可绕 O点在竖直面内转动，其质量为点在竖直面内转动，其质量为 M，长度长度为为 l, 起始时静止于垂直位置。现有一质量为起始时静止于垂直位置。现有一质量为m的泥团以速度的泥团以速度 v 与竖直方向成与竖直方向成 30角方向击中细杆中央并粘住，求细杆开始摆角方向击中细杆中央并粘住，求细杆开始摆动时的角速度。动时的角速度。30mM,l解：解：碰撞时角动量守恒碰撞时角动量守恒初态：细杆角动量为零初态：细杆角动量为零泥团：泥团：大小：大小：方向：方向：末态：末态：大小：大小：方向：方向：m30mM,l杆的角动量：杆的角动量：方向：方向： 大小：大小：方向与方向与 方向相同方向相同进动：高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象进动：高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象重力矩：重力矩： M=mgr角动量定理角动量定理:dt 时间内轴时间内轴 沿沿 方向方向转过转过 角角2.3.3 2.3.3 回转仪回转仪vvvvMdLdt= =dLMdtMvvvvvv= =进动实例：陀螺进动进动实例：陀螺进动即即： w w W W ，以上只是近似讨论，因为当旋进发生后以上只是近似讨论，因为当旋进发生后只有高速自转只有高速自转w w W W 时，时，这时才有这时才有才有才有当考虑到当考虑到 vvW W 对对 的贡献时，的贡献时， 自转轴在旋进自转轴在旋进时还会出现时还会出现微小的上下的周期摆动，微小的上下的周期摆动， 这种运动叫这种运动叫章动章动 (nutation)。力矩的空间积累效应力矩的空间积累效应 d 轴轴 O M: 力对力对O点的力矩。点的力矩。对有限角位移的功：对有限角位移的功： 力矩的功率：力矩的功率：2.4 2.4 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 一一 力矩的功力矩的功二二. . 定轴转动动能定理定轴转动动能定理1. 动能动能定义：定义：刚体的刚体的转动动能转动动能合外力矩对刚体的功等合外力矩对刚体的功等于转动动能的增量于转动动能的增量2. 动能定理动能定理（可证：（可证：）121222Im vi iw w= = D D讨论：讨论： 1. 注意它与质点系动能定理的区别注意它与质点系动能定理的区别 2. 转动动能转动动能 三三. . 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：W外外+ W内非内非=（Ek2+Ep2） （Ek1+ Ep1）刚体重力势能：刚体重力势能：若若W外外+W内非内非=0，则，则Ek +Ep =常量。常量。Emghmgmhmmghpiiiic= = = = D DD DC hchiEp=0 mi质点质点刚体刚体m质点质点 定轴转动刚体定轴转动刚体动量守恒动量守恒 合外力为零，动量守恒合外力为零，动量守恒角动量守恒角动量守恒 合外力矩为零，角动量守恒合外力矩为零，角动量守恒质点质点刚体刚体例例 已已知知：完完全全相相同同的的两两个个半半径径为R的的均均匀匀薄薄圆盘A、B，水水平平放放置置，质量量=m，其其中中心心在在同同一一根根光光滑滑竖直直轴上上，B盘与与轴固固定定，A盘不不固固定定。A 先先转动，后后落落到到静静止止的的B上上并并粘粘在在一一起起转动，若若 A将将要要落落到到B上上时的的角角速速度度为w w0 0，空空气气对盘表表面面任任一一点点附附近近单位位面面积上上的的阻阻力力与与该点点的的线速速度度成成正正比比(- -Kv)，比比例系数例系数为K，( (K= = 恒定恒定) )，轴处摩擦不摩擦不计。 w w0 0ABw wAB求：求：(1)：A、B 粘在一起后粘在一起后 的角速度。的角速度。 (2)：A、B粘在一起后粘在一起后转动多少圈停下来。转动多少圈停下来。解：解：(1) “A + B”为系系统：系系统角角动量守恒量守恒A、B 粘在一起的粘在一起的过程中程中w w0 0ABw wAB(2) “A + B”：圆环带受到阻力受到阻力与与 v 反向反向“A + B”上下上下 面均有阻力面均有阻力ABw w0 0ABw wdrr由于由于利用利用ABw w0 0ABw wdrdr例例 质量为质量为M的匀质园盘的匀质园盘,半径为半径为R,盘底面与水平接盘底面与水平接触面之间触面之间 摩擦系数摩擦系数 . 一质量为一质量为m的子弹以速度的子弹以速度v射入盘射入盘 边缘并嵌在盘边边缘并嵌在盘边,求求 1)子弹嵌入盘边后盘的角速度子弹嵌入盘边后盘的角速度? 2) 经多少时间停下来经多少时间停下来? 3)盘共转个多少角度盘共转个多少角度?解解:1)子弹与圆盘相撞子弹与圆盘相撞 守恒守恒 rdr2)子弹与盘从子弹与盘从 到停止转动到停止转动,运用角动量定理运用角动量定理3)运用功能原理运用功能原理:例例: :已知：均匀直杆已知：均匀直杆, ,质量为质量为m ，长为长为 l ，初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑，AOl= =4 求：杆下摆求：杆下摆 角后，角速度角后，角速度w w 和轴对杆作用力。和轴对杆作用力。解：杆和地球组成的系统解：杆和地球组成的系统只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。守恒。初始：初始：，Ek10= = 令令 EP10= =末态：末态：ABO轴轴 w wC由平行轴定理由平行轴定理CONlNtmg alat w w、b b应用质心运动定理：应用质心运动定理：向向向向CONlNtmg alat w w、b bNmg= =+ +7153162sin = = =- - -tgNNtgctgtl11413|()例：如图。定滑轮，半径例：如图。定滑轮，半径 r，转动惯量转动惯量I，弹簧弹簧 k , 物体物体M，初始静初始静止，且弹簧处于原长止，且弹簧处于原长, 物体物体M可沿倾角为可沿倾角为 的光滑的光滑斜面下滑，求：斜面下滑，求：物体下滑物体下滑 x 后的速度。后的速度。 xI,rkM解：解：物体、滑轮、绳、弹簧、物体、滑轮、绳、弹簧、地球系统，滑轮轴对滑地球系统，滑轮轴对滑轮的支持力不做功，机轮的支持力不做功，机械能守恒械能守恒例：宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为例：宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J =2103 kgm2，正以正以=0.2 rad/s 的角速度绕中心轴旋转，宇航员想用两个切向的的角速度绕中心轴旋转，宇航员想用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转，每个喷管的位置与轴线的距离都控制喷管使飞船停止旋转，每个喷管的位置与轴线的距离都是是 r =1.5m，两喷管的喷气流量恒定，为两喷管的喷气流量恒定，为 =2kg/s,废气相对废气相对飞船周边的速率飞船周边的速率 u =50m/s,问：喷管应喷射多长时间才能使飞问：喷管应喷射多长时间才能使飞船停止转动？船停止转动？r解：解： 废气质量废气质量v方向如图方向如图设设飞船停止转动时共飞船停止转动时共喷出气体的质量为喷出气体的质量为 mr角动量守恒，停转时角动量守恒，停转时所需时间所需时间 t，S