数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法基本思想：基本思想：（1）求出具有变量分离形式且满足边界条件的）求出具有变量分离形式且满足边界条件的解解; 特点：特点：偏微分方程化为常微分方程偏微分方程化为常微分方程（2）由）由叠加原理叠加原理作出这些解的作出这些解的线性组合线性组合； 特点：特点：叠加原理叠加原理（3）由其余的定解条件）由其余的定解条件确定叠加系数确定叠加系数。适用范围：适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等波动问题、热传导问题、稳定场问题等数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法实根实根 特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为： (1)写出微分方程的写出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ， (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为： (1)写出微分方程的写出微分方程的特征方程特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ， (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解解：步骤：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的求出具有变量分离形式且满足边界条件的解解。 令令带入方程：带入方程：令令带入边界条件带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律求两端固定的弦自由振动的规律一一 有界弦的自由振动有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 特征值问题特征值与特征函数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法步骤步骤2，叠加原理做出叠加原理做出解的线性组合解的线性组合。 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法步骤步骤3，其余的定解条件求出其余的定解条件求出系数系数。 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解：例2求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若l=1,a=10时的震动。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例3 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令令带入方程：带入方程：令令例例4 求下列定解问题求下列定解问题解：解：二二 有限长杆上的热传有限长杆上的热传导导数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法三三 拉普拉斯方程的定解问拉普拉斯方程的定解问题题1 1 直角坐标系下的拉普拉斯问题直角坐标系下的拉普拉斯问题解：解：矩形区域数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解：令，解：令，2 2 圆域内的拉普拉斯问题圆域内的拉普拉斯问题圆形区域数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解原点约束条件的变量分离形式的解把上式代入把上式代入微分方程微分方程可得：可得：即即从而，我们可得到常微分方程：从而，我们可得到常微分方程：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 与与：周期本征值问题周期本征值问题欧拉方程欧拉方程再利用定解条件可得：再利用定解条件可得：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解问题的解问题的解再利用边界条件，有再利用边界条件，有:数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例例5 求下列定解问题求下列定解问题解：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法其它为零数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法四四 非齐次方程的解非齐次方程的解法法求下列定解问题求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？非齐次方程的求解思路非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解求出任意非齐次特解叠加成非齐次解叠加成非齐次解思考思考数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令：令：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令：令：为什么？为什么？数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例6 求下列定解问题解：先解对应的齐次问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法