对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小一、基本内容一、基本内容证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证证性质性质2 2性质性质1 1、2 2统称为统称为线性性，线性性，即即补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3（区间可加性）（区间可加性）证证性质性质4 4性质性质5 5证证性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）命题命题 设设上上连续、非负连续、非负证证由连续性和极限的局部保号性由连续性和极限的局部保号性，为为区间端点时类似证明（取单侧邻域）区间端点时类似证明（取单侧邻域）.将将性质性质5加强便得到如下命题：加强便得到如下命题：且不恒为零，且不恒为零，解解令令于是于是推论：推论：证证说明：说明：性质性质5 5的推论：的推论：（2）但反之不真，如但反之不真，如在在0,1上上不可积不可积.证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6(6(估值定理估值定理) )解解解解证证注意到上式三项都是常数，立即得证前一结论注意到上式三项都是常数，立即得证前一结论;性质性质7 7（积分第一中值定理）（积分第一中值定理）由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论由闭区间上连续函数的介值定理可证后一结论.若则结论成立.若特殊情况：特殊情况：积分中值公式积分中值公式即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：比如：比如：说明说明: (1)积分中值公式中的积分中值公式中的 与被积函数与被积函数和和 积分区间有关积分区间有关.(2)可以证明：可以证明：解解例例4 某商店在某商店在30天的销售过程中，某货架上的天的销售过程中，某货架上的 商品件数由商品件数由300件线性地下降到件线性地下降到60件，试求件，试求 货架上的月平均商品件数。货架上的月平均商品件数。解解由积分中值公式知有由积分中值公式知有使使定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小二、小结二、小结思考题思考题思考题解答思考题解答例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案