1 1工程中的构造有些可工程中的构造有些可简化化为单自在度体系分析自在度体系分析单层工工业厂房厂房水塔水塔有些不能作有些不能作为单自在度体系分析，需自在度体系分析，需简化化为多自在度体系多自在度体系进展分析展分析多多层房屋、高房屋、高层建筑建筑不等高厂房排架和不等高厂房排架和块式根底式根底10-5 10-5 多自在度体系的自在振多自在度体系的自在振动2 2 按建立运动方程的方法，多自在度体系按建立运动方程的方法，多自在度体系自在振动的求解方法有两种：刚度法和柔自在振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法经过建立力的平衡方程求解，度法。刚度法经过建立力的平衡方程求解，柔度法经过建立位移协调方程求解，二者柔度法经过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自在度体系自在振动各有其适用范围。多自在度体系自在振动的问题，主要是确定体系的全部自振频率的问题，主要是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。及其相应的主振型。3 31 1、刚度法：建立力的平衡方程度法：建立力的平衡方程两个自在度的体系两个自在度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:设:.构造位移外形构造位移外形坚持不持不变的振的振动方式称方式称为主振型或振型主振型或振型. .5 5振 型计算 公 式频率计算 公 式频率方程.振型方程与与2相相应的第二振型：的第二振型：由于由于D=0，两个振型方程式，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的性相关的，不能求出振幅的值， 只能求出其比只能求出其比值 求与求与1相相应的第一振型：的第一振型： 7 7与与2相相应的第二振型：的第二振型：f求与求与1相相应的第一振型：的第一振型：多自在度体系可以按某个主振型自在振多自在度体系可以按某个主振型自在振动的条件是：初始位移和的条件是：初始位移和初始速度初始速度该当与此主振型相当与此主振型相对应。几点留意：几点留意： 12必具有相反的符号。必具有相反的符号。 多自在度体系自振多自在度体系自振频率的个数率的个数= 其自在度数，自振其自在度数，自振频率由特征方程求出。率由特征方程求出。 每个自振每个自振频率相率相应一个主振型。主振型是多自在度一个主振型。主振型是多自在度体系可以按体系可以按单自在度体系振自在度体系振动时所具有的特定方式。所具有的特定方式。 自振自振频率和主振型是体系本身的固有特性。率和主振型是体系本身的固有特性。普通解：普通解： 在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即普通解。9 9例例m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2 ， 层间侧移刚度为k1、k2k21k111解：求解：求刚度系数：度系数： k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22k121k22=k2 , k12=k21)当当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322=+=wmkmk38197. 025321=-=w()()kmkmk02222=-ww 代入频率方程：+10101)当m1=m2=m,k11=2k，k12=mkmk61803. 225322=+=wmkmk38197. 025321=-=w求振型：求振型：12k12111mkw-2111YY=1第一主振型：第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型第一主振型12k12211mkw-2212YY=2第二主振型：第二主振型：Y22=0.618Y12=1第二主振型第二主振型1111 2)当m1=nm2 , k1=nk2k11=1+nk2，k12=k2求求频率：率：求振型：求振型：如如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。鞭梢效应第一振型：第一振型：第二振型：第二振型：特征方程：特征方程：+17172 2、柔度法、柔度法y1(t)y2(t)建立振建立振动微分方程：建立位移微分方程：建立位移协调方程方程 m1、m2的位移的位移y1(t)、 y2(t)应等于体系在当等于体系在当时惯性力性力作用下所产生的静力位移。.柔度法建立的振柔度法建立的振动微分方程微分方程1121P1=11222P2=11818频率方程率方程振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2Y1 ，Y2不能全不能全为零。零。求得求得频率：率：频率方程和自振率方程和自振频率：率：设各各质点按一点按一样频率和初相角作率和初相角作简谐振振动Y1 Y1 ，Y2Y2是是质点位移幅点位移幅值.振动微分方程体系体系频率的数目率的数目总等于其自在度数目等于其自在度数目1919主振型主振型(normal mode shape)频率方程频率方程振型方程：其中：振型方程：其中：=1/2Y1 ，Y2不能全不能全为零。零。不能有振型方程求出不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它的解，只能求出它们的比的比值。第一主振型第一主振型 第二第二 主振型主振型 频率的数目率的数目总等等于其自在度数目于其自在度数目主振型是体系由此主振型主振型是体系由此主振型惯性力幅性力幅值所引起的静力位移。所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y222020例例 求求简支梁的自振支梁的自振 频率和主振型。率和主振型。l/3l/3l/3解：解：1求柔度系数求柔度系数 P=1 P=1求得求得频率：率：求得主振型：求得主振型：mm2424例：求例：求图示体系示体系对称振称振动情况下的情况下的频率。率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m 1210.5110.8750.25 113325252111 Yij Yij为正正时表示表示质量量mimi的的运运动方向与方向与计算柔度系数算柔度系数时置于其上的置于其上的单位力方向一位力方向一样，为负时，表示，表示与与单位力方向位力方向相反。相反。3232y1yiynri动平衡方程：平衡方程：riy1yiynri 应满足足刚度方程度方程kij是构造的是构造的刚度系数，使点度系数，使点j产生生单位位移其它点位移位位移其它点位移为零零时在点在点i所需施加的力。所需施加的力。.多自在度体系3333.或： 设解解为： y=Ysin(t+)得振幅方程：得振幅方程： ( K2 M )Y=0得得频率方程：率方程： K2 M0可求出个可求出个频率率与与相相应的主振型向量由的主振型向量由 ( K2 M )Y=0不不过只能确定主振型的外形，而不能独一地确定它的振幅。只能确定主振型的外形，而不能独一地确定它的振幅。规范化主振型：令范化主振型：令Y1i=1，或最大元素，或最大元素=1等。等。.3737利用利用刚度法的方程度法的方程间接接导出柔度法方程：出柔度法方程：由由刚度法振幅方程：度法振幅方程： ( K2 M )Y=0前乘前乘K1=后得：后得： ( I 2 M )Y=0令令=1/2 ( M I )Y=0得得频率方程：率方程： M I =0其展开式其展开式:是关于是关于的的n次代次代数方程数方程,先求出先求出i再求出再求出频率率i将将i代入代入 ( M i I )Y(i)=0可求出可求出n个主振型个主振型. 可可见刚度法、柔度法本度法、柔度法本质上是一上是一样的，可以相互的，可以相互导出。当出。当计算体系的柔度系数方便算体系的柔度系数方便时用柔度法如梁；当用柔度法如梁；当计算体系的算体系的刚度系数方便度系数方便时用用刚度法如横梁度法如横梁刚度度为无无穷大的多大的多层刚架。架。4343几点几点阐明：明：1)1)按振型作自在振按振型作自在振动时，各，各质点的速度的比点的速度的比值也也为常数，常数，且与位移比且与位移比值一一样。2)2)发生按振型的自在振生按振型的自在振动是有条件的是有条件的. .44444)N4)N自在度体系有自在度体系有N N个个频率和率和N N个振型个振型频率方程率方程解频率方程得解频率方程得 , ,从小到大陈列从小到大陈列依次称作第一依次称作第一频率率, ,第二第二频率率.第一第一频率称作根本率称作根本频率率, ,其它其它为高高阶频率率. .将将频率代入振型方程率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型是个振型是线性无关的性无关的. .3)3)振型与振型与频率是体系本身固有的属性率是体系本身固有的属性, ,与外界要素无关与外界要素无关. .4545多自在度体系自在振多自在度体系自在振动的的计算步算步骤：建立体系本身的建立体系本身的质量矩量矩阵M M： 根据根据频率方程率方程计算构造的各算构造的各阶自振自振频率率 i i 计算体系本身的算体系本身的刚度矩度矩阵K K或柔度矩或柔度矩阵 ： 计算构造的主振型向量算构造的主振型向量YiYi