222 2 矩阵的运算矩阵的运算定义：定义：一、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 , ,规定为规定为说明说明 当两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算当两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算. .定义定义2 2 矩阵矩阵A的的负矩阵负矩阵，记作，记作 A .由此可定义矩阵的减法运算，设矩阵由此可定义矩阵的减法运算，设矩阵矩阵的加法满足如下运算律矩阵的加法满足如下运算律（1）A + B = B + A （加法交换律加法交换律）；）； 设设 A, B, C, 0 都是同型矩阵都是同型矩阵: （2）(A + B) + C = A + (B+C)（加法结合律加法结合律）；）；（4）A + ( A) = 0.（3）A + 0 = 0 + A； 设设求求 A + B 与与 A B. 解解例例例例1 1定义定义3 以数以数 k 乘矩阵乘矩阵A的每一个元素所得到的的每一个元素所得到的 矩阵矩阵, ,称为数称为数 k 与矩阵与矩阵 A 的的数量乘积数量乘积，如果如果 A = (aij)mn , 那么那么 kA = Ak = (kaij)mn .kA 或或 Ak.简称简称数乘数乘，记为记为二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘A、B为同型矩阵，为同型矩阵，k，l 为常数：为常数：运算律：运算律：数乘运算有如下数乘运算有如下结合律结合律矩阵对数的分配律矩阵对数的分配律数对矩阵的分配律数对矩阵的分配律 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称统称为矩阵的为矩阵的线性运算线性运算. .例例2 求矩阵求矩阵X，使，使3A+2X=3B。其中。其中解：解：由由 3A+2X=3B 解得解得 2X=3B - 3A即即所以所以例例 设甲、乙两家公司生产设甲、乙两家公司生产、 三种型号的三种型号的计算机，月产量（单位计算机，月产量（单位: :台）为台）为甲甲乙乙如果生产这三种型号如果生产这三种型号的计算机每台的利润的计算机每台的利润为为 ( (单位：万元台单位：万元台) )求这两家公司的月利润求这两家公司的月利润 ( (单位单位: :万元万元) .) .三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘这两家公司的月利润应为这两家公司的月利润应为 ( ( 矩阵矩阵C ):):乙公司的利润为乙公司的利润为34.134.1万元万元. .甲公司每月的利润为甲公司每月的利润为29.129.1万元，万元，即即解解从例题可以看到矩阵从例题可以看到矩阵A、B、C 的元素之间有下列关系的元素之间有下列关系: :这种关系就是矩阵这种关系就是矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘法的乘法. .定义定义定义定义4 4 4 4其中其中即即 C = AB.i 行行 j 列列关于矩阵乘法的说明：关于矩阵乘法的说明：1 1、只有当第一个矩阵、只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵的列数与第二个矩阵B的行数相同时，的行数相同时，AB才有意义才有意义. .2 2、乘积、乘积C的行数的行数= =第一个矩阵第一个矩阵A的行数；的行数；C的列数的列数= =第二个矩阵第二个矩阵B的列数的列数.因为因为 矩阵矩阵= (AB)的元素的元素cij 是矩阵是矩阵A 的第的第 i 行行元素与矩阵元素与矩阵B的第的第j 列列对应元素乘积之和对应元素乘积之和. .例例3 设设求求AB。解解24501- 4- 5-11 4- 2注：此题注：此题BA无意义，无意义， 因为因为 例例4 设设, ,求求AB。解：解：AB = =注：此题注：此题BA有意义有意义, , 但但BA= =是一个数是一个数nn由以上两例，不难看出：由以上两例，不难看出： （1 1）AB 有有意义意义时，时，BA不一定不一定有意义；有意义；（2 2）即使）即使 AB 与与 BA 都有意义都有意义也可能也可能然而对于个别矩阵也可能出现然而对于个别矩阵也可能出现 这时称这时称 A 与与 B 是是可交换的可交换的. . AB = BA，ABBA，矩阵乘法与实数乘法在运算规则上有一些不同矩阵乘法与实数乘法在运算规则上有一些不同归纳如下：归纳如下： 矩阵乘法与实数乘法的比较矩阵乘法与实数乘法的比较： (1) 实数乘法满足交换率。即实数乘法满足交换率。即ab=ba 矩阵乘法矩阵乘法不满足交换率不满足交换率。即即ABBA (2) 实数乘法满足消去率。实数乘法满足消去率。 即：若即：若ab=ac,且且a 0,则有则有b=c 矩阵乘法不满足消去率矩阵乘法不满足消去率 即：由即：由AB=AC,且且A O,不能得出不能得出B=C (3) 在实数乘法中，若在实数乘法中，若ab=0,可推出可推出a=0或或b=0 在矩阵乘法中，由在矩阵乘法中，由AB=O不能推出不能推出A=O或或B=O例例5 设设解：解：显然显然AB= =O, , 但但 BO, ,且且AO但也有例外，比如但也有例外，比如 设设则有则有例例6 6 设设求：求：AB, AC。解：解：注：注： 此题此题 AB=AC, 且且 A O, ,但但B C矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律（其中其中 为数为数）; 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 按照矩阵的乘法，线性方程组按照矩阵的乘法，线性方程组的形式的形式.可表示为矩阵的乘积可表示为矩阵的乘积Ax = b其中其中定义定义5 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . .例例、转置矩阵转置矩阵四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算 矩阵的矩阵的转置转置也是也是一种运算一种运算，满足下述，满足下述运算律运算律 ( (假设运算都是可行的假设运算都是可行的) )例例例例8 8解解( AB )T = BTAT满足满足而此题而此题 显然无意义。显然无意义。设设 A为为 n 阶方阵阶方阵，如果如果 AT = A，其特点是其特点是: : 它的元素以它的元素以主对角线为对称轴主对角线为对称轴对应相等对应相等. .定义定义定义定义6 6aij = aji ( i, j = 1, 2, , n) , 那么称那么称 A 为为对称矩阵对称矩阵.即即3 30 0 但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵. .注意注意注意注意1 10 0 两个两个同阶同阶的的对称矩阵对称矩阵的的和和还是还是对称矩阵对称矩阵(A+B )T = AT+ BT2 20 0 对称矩阵与数的乘积也是对称矩阵对称矩阵与数的乘积也是对称矩阵. .(kA)T = ATkT主要特点主要特点: :主对角线上的元素为主对角线上的元素为0, , 其余的元素关于主对角线其余的元素关于主对角线互为相反数互为相反数. .定义定义7 7设设A为为n阶方阵如果满足阶方阵如果满足AT = A, ,aij = aji ,即即则称则称 A为为反对称矩阵反对称矩阵 . .如如反对称矩阵的反对称矩阵的和和及及数量数量乘积乘积还是还是反对称矩阵反对称矩阵, , 但两个反对称矩阵的但两个反对称矩阵的积积不一定是不一定是反对称矩阵反对称矩阵. .注注例例9 设设列矩阵列矩阵 满足满足 证明证明例例10 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵. . 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵. .命题得证命题得证. .2、方阵的行列式方阵的行列式定义定义8 8 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质例如例如 练习：设练习：设A与与B为同阶对称阵，且为同阶对称阵，且AB也对称，也对称， 证明证明 AB=BA。证明：证明：思考题思考题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?1.2.思考题解答思考题解答答答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为