第九章解第九章解 析析 几几 何何第第2课时两直线的位置关系课时两直线的位置关系1能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离请注意本课知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现1判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行若l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2_且_，l1与l2重合_.当l1，l2都垂直于x轴且不重合时，则有 .若l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B1且B1C2B2C1，l1与l2重合A1A2，B1B2，C1C2(0)k1k2b1b2k1k2且b1b2l1l2(2)两条直线的垂直若 l1： y k1x b1， l2： y k2x b2， 则l1l2_.若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线 若l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2 .k1k21垂直A1A2B1B20(3)直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2相交的条件是_.直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20相交的条件是 .k1k2A1B2A2B12点到直线的距离点P(x0，y0)到直线AxByC0(A，B不同时为零)的距离d_.3两平行线间的距离两 平 行 直 线 l1： Ax By C1 0， l2： Ax By C20(C1C2)间的距离为d_.4直线系问题与AxByC0平行的直线方程(包括原直线)：AxBy0(为待定系数)若所求直线过P(x0，y0)点，且与AxByC0平行，则方程为：A(xx0)B(yy0)0.与AxByC0垂直的直线方程为：BxAy0(为待定系数)若所求直线过P(x0，y0)点，且与AxByC0垂直，则方程为：B(xx0)A(yy0)0.过A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线方程为：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(R，且不包含直线A2xB2yC20)1判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.(2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于1.(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.答案(1)(2)(3)(4)2(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A3已知点P在直线x2y5上，且点Q(1,1)，则|PQ|的最小值为()答案D 4若直线axy50与x2y70垂直，则实数a的值为()答案A 5与直线7x24y50平行，并且到它的距离为4的直线方程是_答案7x24y950或7x24y1050例1已知直线：l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值【思路】运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形题型一题型一 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直已知两直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，根据下面l1与l2的位置关系，求实数m的值或取值范围(1)相交；(2)垂直；(3)平行；(4)重合思考题思考题1例2(2015北京东城区)若O(0,0)，A(4，1)两点到直线axa2y60的距离相等，则实数a_.题型二题型二 距离公式距离公式【答案】2或4或6 探究2(1)求点到直线距离时，直线方程一定化成AxByC0的形式(2)求两平行线间的距离时，一定化成l1：AxByC10，l2：AxByC20的形式思考题思考题2【答案】2x4y90或2x4y110或2x4y110或2x4y90例3(1)求证：动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210(其中mR)恒过定点，并求出定点坐标【证明】方法一：令m0，则直线方程为3xy10.再令m1时，直线方程为6xy40.题型三题型三 直线系方程直线系方程【答案】定点A(1,2) (2)求经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程【思路】(1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程(2)因为所求直线与直线3x4y70垂直，两条直线的斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为4x3ym0，将两条直线的交点坐标代入求出m值，就得到所求直线方程(3)设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y(14)0，再利用垂直关系建立的方程，求出即可得到所求直线方程方法四：设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0.即(2)x(33)y140.又因为直线与3x4y70垂直则有3(2)4(33)0，2.代入式得所求直线的方程为4x3y90.【答案】4x3y90探究3在已知位置关系求直线方程时，灵活利用直线系较简便：几种常用的直线系方程如下：(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中A1B2A2B10，待定系数R.在这个方程中，无论取什么实数，都得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2.(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为参数)及xx0.(3)平行直线系方程：与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm(m为参数且mb)；与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(C，是参数)(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A0，B0)垂直的直线系方程是BxAy0(为参数)如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解(1)已知直线(3a1)x(a2)y10.求证：无论a为何值，直线总过第一象限；若直线不经过第二象限，求a的取值范围【思路】求出直线系的定点，由定点在第一象限即可证明直线总过第一象限；当直线的斜率存在时，直线不经过第二象限的充要条件是直线的斜率不小于零，且直线在y轴上的截距不大于零，从而建立参数a的不等式组即可求解；当直线的斜率不存在时，验证即可思考题思考题3【答案】略a2 (2)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程方法二：l1l3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.【答案】5x3y10 例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程题型四题型四 对称问题对称问题(3)方法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(1，2)的对称点M，N均在直线l上，易得M(3，5)，N(6，7)再由两点式可得l的方程为2x3y90.方法三：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.探究4以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2ma,2nb)；(2)点关于线的对称点点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；(3)线关于线的对称线一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为1时，可类似关于yx的对称问题采用代入法，如(1,3)关于yx1的对称点为(31，11)，即(2,2)光线从A(4，2)点射出，射到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程 【解析】作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.思考题思考题4【答案】10x3y80 1求两直线交点坐标就是解方程组即把几何问题转化为代数问题2要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点3注意归纳题目类型体会题目所蕴含的数学思想方法如数形结合的思想；方程与函数的思想；分类讨论的思想1原点到直线x2y50的距离为()答案D 2“a1”是“直线xy0和直线xay0互相垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C3过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A4若过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线yxm平行，则|AB|()答案B 答案2 答案37已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积