5.3等比数列等比数列 5.3等等比比数数列列考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理1等比数列的相关概念及公式等比数列的相关概念及公式相关相关名名词等比数列等比数列an的相关概念及公式的相关概念及公式定定义如如果果一一个个数数列列从从第第2项起起，每每一一项与与它它的的前前一一项的的比比都都等等于于_，那那么么这个个数数列列叫叫作作等等比比数数列列，这个个常常数数叫叫作作等等比比数数列的公比列的公比同一个常数同一个常数相关相关名名词等比数列等比数列an的相关概念及公式的相关概念及公式通通项公式公式an_等比等比中中项如果在如果在a与与b中中间插入一个数插入一个数G，使得，使得a，G，b成成_，那么称，那么称G为a、b的等比中的等比中项，且有，且有G_.前前n项和和公式公式 Sn _a1qn1等比数列等比数列思考感悟思考感悟1b2ac是是a，b，c成等比数列的什么条件？成等比数列的什么条件？提示：提示：b2ac是是a，b，c成等比数列的必要不充分成等比数列的必要不充分条件，因为当条件，因为当b0，a，c至少有一个为零时，至少有一个为零时，b2ac成立，但成立，但a，b，c不成等比，反之，若不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有成等比，则必有b2ac.2等比数列的性质等比数列的性质(1)等比数列等比数列an满足满足_时，时，an是是递增数列；满足递增数列；满足_时，时，an是递是递减数列减数列(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积的积_特别地，若项数为奇数时，还等于特别地，若项数为奇数时，还等于_的平方的平方(3)对任意正整数对任意正整数m、n、p、q，若，若mnpq，则，则_.特别地，若特别地，若mn2p，则，则_.相等相等中间项中间项amanapaqaaman思考感悟思考感悟2数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若Snaqnb(a，bR)，an是等比数列，则是等比数列，则a，b满足的条件是什满足的条件是什么？么？课前热身课前热身1在等比数列在等比数列an中，中，a53，则，则a3a7等于等于()A3B6C9 D18答案：答案：C2(2011年南阳调研年南阳调研)设设a12，数列，数列an1是以是以3为公比的等比数列，则为公比的等比数列，则a4的值为的值为()A80 B81C54 D53答案：答案：A3(2010年高考重庆卷年高考重庆卷)在等比数列在等比数列an中，中，a20108a2007，则公比，则公比q的值为的值为()A2 B3C4 D8答案：答案：A4(教材习题改编教材习题改编)设设an是等比数列，是等比数列，a12，a8256，则，则a2a3_.答案：答案：125若数列若数列an满足：满足：a11，an12an(nN)，则则Sn_.答案：答案：2n1考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一等比数列的判定及证明等比数列的判定及证明证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利用等比数列的定义，即证明用等比数列的定义，即证明q(q0，nN)；二是；二是利用等比中项法，即证明利用等比中项法，即证明aanan20(nN)在解在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论判断一个数列不是等比数列只需式，从而证明结论判断一个数列不是等比数列只需举出一个反例即可举出一个反例即可例例例例1 1 (2009年高考全国卷年高考全国卷)设数列设数列an的前的前n项和项和为为Sn，已知，已知a11，Sn14an2.(1)设设bnan12an，证明：数列，证明：数列bn是等比数列；是等比数列；(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式【思路点拨思路点拨】本题第本题第(1)问将问将an2Sn2Sn1代代入可以得到入可以得到an的递推式，再由的递推式，再由bnan12an代入即代入即证；第证；第(2)问将问将bn的通项公式代入的通项公式代入bnan12an，可，可得得an的递推式，再依照题型模式求解即可的递推式，再依照题型模式求解即可【解解】(1)证明：由已知有证明：由已知有a1a24a12，解得解得a23a125，故，故b1a22a13，又又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是于是an22an12(an12an)，即，即bn12bn.因此数列因此数列bn是首项为是首项为3，公比为，公比为2的等比数列的等比数列考点二考点二等比数列中基本量的计算等比数列中基本量的计算等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列问题，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程尤其要善于运用整体代换思想简化运算的过程尤其要注意的是，在使用等比数列的前注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，项和公式时，应根据公比应根据公比q的情况进行分类讨论的情况进行分类讨论例例例例2 2 (1)(2010年高考江西卷年高考江西卷)等比数列等比数列an中，中，|a1|1，a58a2，a5a2，则，则an()A(2)n1B(2)n1C(2)n D(2)n(2)(2010年高考辽宁卷年高考辽宁卷)设设Sn为等比数列为等比数列an的前的前n项和，已知项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比，则公比q()A3 B4C5 D6【思路点拨思路点拨】根据题意，建立关于首项根据题意，建立关于首项a1和和公比公比q的方程组求解的方程组求解【答案答案】(1)A(2)B(3)B【名师点评名师点评】等比数列中有五个量等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以，一般可以“知三求二知三求二”，通过列方程，通过列方程(组组)求解求解变式训练变式训练1数列数列an中，中，a11，a22，数列，数列anan1是公比为是公比为q(q0)的等比数列的等比数列(1)求使求使anan1an1an2an2an3(nN)成立的成立的q的取值范围；的取值范围；(2)若若bna2n1a2n(nN)，求，求bn的通项公式的通项公式考点三考点三等比数列的前等比数列的前n项和及其性质项和及其性质等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口化特征即可找出解决问题的突破口例例例例3 3 (2011年南阳调研年南阳调研)在等比数列在等比数列an中，中，a1最最小，且小，且a1an66，a2an1128，前，前n项和项和Sn126，(1)求公比求公比q；(2)求求n.【思路点拨思路点拨】根据等比数列的性质，根据等比数列的性质，a2an1a1an，由此可得关于，由此可得关于a1、an的方程，结合的方程，结合Sn126可求得可求得q和和n.考点四考点四等比数列的综合问题等比数列的综合问题在解决等差、等比数列的综合题时，重点在在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的项和公式是解决问题的关键关键例例例例4 4【思路点拨思路点拨】对于对于(1)，根据，根据an与与Sn的关系可求的关系可求得得k的值，从而得到的值，从而得到an的通项公式；对于的通项公式；对于(2)，可先求出可先求出bn的通项公式，然后用错位相减法求的通项公式，然后用错位相减法求出出Tn，再结合，再结合Tn的单调性证明不等式的单调性证明不等式【失误点评失误点评】本题易弄不清本题易弄不清“错位相减错位相减”的项数的项数而致使解答错误而致使解答错误解：解：(1)因为对任意的因为对任意的nN，点，点(n，Sn)均在函数均在函数ybxr(b0且且b1，b，r均为常数均为常数)的图像上所以的图像上所以得得Snbnr，当当n1时，时，a1S1br，当当n2时，时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为又因为an为等比数列，所以为等比数列，所以r1，公比为，公比为b，所，所以以an(b1)bn1，方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧2方程观点以及基本量方程观点以及基本量(首项和公比首项和公比a1，q)思想仍思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二五个量中，知三求二(如例如例2)3等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题解决许多等比数列问题(如例如例3)4解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握等比数列的通项公式与前等比数列的通项公式与前n项和公式，能够用基本项和公式，能够用基本量方法和等比数列的性质解决有关问题量方法和等比数列的性质解决有关问题(如例如例4)5SnmSnqnSm.失误防范失误防范1把等比数列与等差数列的概念和性质进行类比，把等比数列与等差数列的概念和性质进行类比，可以加深理解，提高记忆效率注意三点：可以加深理解，提高记忆效率注意三点：(1)等比数列的任何一项都不能为等比数列的任何一项都不能为0，公比也不为，公比也不为0；(2)等比数列前等比数列前n项和公式在项和公式在q1和和q1的情况下是不的情况下是不同的；同的；(3)等比数列可看作是比等差数列高一级的运算，等比数列可看作是比等差数列高一级的运算，一般等差数列中的一般等差数列中的“和和”、“差差”、“积积”形式类比到等形式类比到等比数列中就变成比数列中就变成“积积”、“商商”、“幂幂”的形式的形式2由由an1qan，q0，并不能立即断言，并不能立即断言an为等比为等比数列，还要验证数列，还要验证a10.考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考等比数列是每年高考必考的知识点之一，考查重点等比数列是每年高考必考的知识点之一，考查重点是等比数列的定义、通项公式、性质、前是等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公项和公式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏高客观题主要考查对基本运算，基本概念中等偏高客观题主要考查对基本运算，基本概念的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算，基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、算，基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化等思想方法等价转化等思想方法预测预测2012年高考，等比数列的定义、性质、通项公年高考，等比数列的定义、性质、通项公式、前式、前n项和公式仍是考查重点，应特别重视等比项和公式仍是考查重点，应特别重视等比数列性质的应用数列性质的应用规范解答规范解答例例例例 (本题满分本题满分12分分)(2010年高考四川卷年高考四川卷)已知等已知等差数列差数列an的前的前3项和为项和为6，前，前8项和为项和为4.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.【名师点评名师点评】(1)本题易失误的是：本题易失误的是：解题时忽解题时忽视公比视公比q1的情形；的情形；用用“错位相减法错位相减法”求和时，求和时，“错位错位”出错；出错；对对“错位相减错位相减”后出现等比数列的项后出现等比数列的项数判断出错数判断出错(2)如果数列如果数列an是一个由等差数列是一个由等差数列bn及等比数列及等比数列cn对应项之积组成的数列，即对应项之积组成的数列，即anbncn，则其前，则其前n项和的求解常用乘公比错位相减法，把问题转化项和的求解常用乘公比错位相减法，把问题转化为以求一个等比数列的前为以求一个等比数列的前n项和或前项和或前n1项和为主项和为主的求和问题要注意错位相减后对剩余项可分为的求和问题要注意错位相减后对剩余项可分为两部分，一是第一项与最后一项；二是中间项两部分，一是第一项与最后一项；二是中间项(等等比数列比数列)在用错位相减法求和时，一定要处理好在用错位相减法求和时，一定要处理好这三部分，否则就会出错这三部分，否则就会出错名师预测名师预测