命题和充要条件命题和充要条件选修2-1简易逻辑第一节第一节命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以_的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做_，判断为假的语句叫做_判断真假判断真假真命真命题假命假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_3充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的_条件，q是p的_条件(2)如果pq，那么p与q互为_(3)如果pD/q，且qD/p，则p是q的_相同相同没有关系没有关系充分充分必要必要充要条件充要条件既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件1“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确？为什么？【提示】不正确，概念不同，命题的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定构成不同，对于“若p，则q”形式的命题，命题的否定为“若p，则綈q”；其否命题是“若綈p，则綈q”，真值不同，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关 【提提示示】由由逆逆命命题题为为真真，知知qp；逆逆否否命命题题为为假假，知知pD/q；故故p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件2命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？1(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是()“ab”是“a2b2”的充分条件；“|a|b|”是“a2b2”的必要条件；“ab”是“acbc”的充要条件；“ab”是“ac2bc2”的充要条件ABCD【解析】由于|a|b|a2b2，abacbc，故正确由于abD/a2b2，且a2b2D/ab，故错；当c20时，abD/ac2bc2，故错【答案】B【答案答案】C3命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B.【答案】B4(2012天津高考)设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若0，则f(x)cos x是偶函数，但是若f(x)cos(x)是偶函数，则也成立故“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件【答案】A(1)命题p：“若ab，则ab2 012且ab”的逆否命题是()A若ab2 012且ab，则abB若ab2 012且ab，则abC若ab2 012或ab，则abD若ab2 012或ab，则ab(2)下列命题中为真命题的是()A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题【思路点拨】(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“且”的否定是“或”(2)分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假【尝试解答】(1)“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若ab2 012或ab，则ab”，故选C.(2)A中逆命题为“若x|y|，则xy”是真命题；B中否命题为“若x1，则x21”是假命题；C中否命题为“若x1，则x2x20”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题【答案】(1)C(2)A 1本例(1)中应注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断2(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变3判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化(1)命题“若x、y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数(2)(2013河源模拟)已知命题p：若a0，则方程ax22x0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为_【解析】(1)“xy是偶数”的否定为“xy不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”因此其逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”(2)命题p是真命题，从而其逆否命题也是真命题；命题p的逆命题是“若方程ax22x0有解，则a0”是假命题，从而命题p的否命题也是假命题.故真命题的个数为2.【答案】(1)C(2)2【思路点拨】把条件和结论转化为x的取值范围，通过集合间的关系来判断【答案答案】B 1判定充要条件应注意：弄清条件p和结论q分别是什么，判断“pq”及“qp”的真假2充分、必要条件的判断常用方法：(1)定义，(2)利用等价的逆否命题关系，(3)运用集合的包含关系若p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，从集合观点看：若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件若AB，则p是q的充要条件【答案】C(2013阳江模拟)设命题p：2x23x10；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_【思路点拨】先解不等式把命题p、q具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p、q之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解1解答本题时，也可先求出綈p，綈q，再根据綈p、綈q之间的关系，确定集合间的关系求解2解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解3注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件【答案答案】9，)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别1.逆命题与否命题互为逆否命题；2互为逆否命题的两个命题同真假充分条件、必要条件的判断方法1定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假2等价法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系3集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件从近两年高考命题来看，本节多是对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假判断，题型以客观题为主，属中、低档题，内容以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体，主要考查逻辑推理能力常见错误是充要条件的两种不同的叙述方式不清致误(2012山东高考)设a0且a1，则“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件易错辨析之一两种不同的叙述方式不清致误易错辨析之一两种不同的叙述方式不清致误【错解】“函数f(x)ax在R上是减函数”的充要条件是p：0a1.因为g(x)3(2a)x2，而x20，又因为a0且a1，所以“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充要条件是0a2且a1.故“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的必要不充分条件.【答案】B错因分析：(1)错选B，究其原因是将“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”混淆，导致颠倒充分性与必要性(2)不会运用集合的包含关系判断充分必要条件防范措施：(1)在判断充要条件的问题中，“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述的含义是不同的，“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，解决此类问题时应先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再进行判断(2)“函数f(x)ax在R上是减函数”，a的取值集合A(0，1)；“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”，a的取值集合B(0，1)(1，2)显然AB，故p是q的充分不必要条件【正解】“函数f(x)ax在R上是减函数”的充要条件是p：0a1.因为g(x)3(2a)x2，且x20，所以“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充要条件是a2.又因为a0且a1，所以“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0a2且a1.显然pq，但qD/p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x)(2a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件【答案】A1(2012北京高考)设a，bR.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件【答案】B2(2013西安模拟)设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_【答案】3或4