第第3 3节平面向量的数量积及平面向量的应用节平面向量的数量积及平面向量的应用1.1.理解平面向量数量积的含义及其物理理解平面向量数量积的含义及其物理意义意义. .2.2.了解平面向量的数量积与向量投影的了解平面向量的数量积与向量投影的关系关系. .3.3.掌握数量积的坐标表达式掌握数量积的坐标表达式, ,会进行平会进行平面向量数量积的运算面向量数量积的运算. .4.4.能运用数量积表示两个向量的夹角能运用数量积表示两个向量的夹角, ,会用数量积判断两个平面向量的垂直关会用数量积判断两个平面向量的垂直关系系. .5.5.会用向量方法解决某些简单的平面几会用向量方法解决某些简单的平面几何问题何问题. .6 6会用向量方法解决简单的力学问题与会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题其他一些实际问题. . 考纲展示考纲展示 知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来知识梳理知识梳理1.1.向量的夹角向量的夹角AOBAOB0 0180180a ab b=90=902.2.平面向量的数量积平面向量的数量积| |a a|b b|cos |cos | |a a|cos |cos | |b b|cos |cos | |b b|cos |cos b ba aa a( (b b) )3.3.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)(1)a ab b= = . .(2)(2)(a a) )b b= =( (a ab b)=)= . .(3)(3)(a a+ +b b) )c c= = . .4.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量已知非零向量a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),a a与与b b的夹角为的夹角为.a ac c+ +b bc ca ab b=0=0x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0| |a a|b b| |5.5.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题何中的平行、垂直、长度、夹角等问题. .对点自测对点自测D D1.1.已知已知a a=(1,2),2=(1,2),2a a- -b b=(3,1),=(3,1),则则a ab b等于等于( ( ) )(A)2(A)2 (B)3(B)3 (C)4(C)4 (D)5(D)5解析解析: :因为因为a a=(1,2),2=(1,2),2a a- -b b=(3,1),=(3,1),所以所以b b=2=2a a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).所以所以a ab b=(1,2)=(1,2)(-1,3)=-1+2(-1,3)=-1+23=5.3=5.2 2.(2017.(2017全国全国卷卷) )已知向量已知向量a a=(-2,3),=(-2,3),b b=(3,m),=(3,m),且且a ab b, ,则则m=m=. .解析解析: :由由a ab b得得a ab b=0,=0,即即-2-23+3m=0,3+3m=0,解得解得m=2.m=2.答案答案: :2 23.3.(2018(2018湖南省永州市一模湖南省永州市一模) )已知已知a a=(x,1),=(x,1),b b=(5,-3),=(5,-3),a ab b=7,=7,则则x=x=. .解析解析: :因为因为a ab b=(x,1)=(x,1)(5,-3)=5x-3=7.(5,-3)=5x-3=7.所以所以x=2.x=2.答案答案: :2 2考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一平面向量的数量积考点一平面向量的数量积答案答案: :(1)C(1)C(3)(3)已知向量已知向量a a, ,b b满足满足| |a a|=2,|=2,a a( (b b- -a a)=-3,)=-3,则向量则向量b b在在a a方向上的投影为方向上的投影为. .(1)(1)求两个向量的数量积有三种方法求两个向量的数量积有三种方法: :利用定义利用定义; ;利用向量的坐标运算利用向量的坐标运算; ;利用数利用数量积的几何意义量积的几何意义. .(2)(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时, ,可先利用向量的加减运算或可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算数量积的运算律化简再运算. .但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补是相等还是互补. .反思归纳反思归纳答案答案: :(1)B (1)B 答案答案: :(2)2 (2)2 答案答案: :(3)10(3)10(3)(3)(2018(2018重庆九校一模重庆九校一模) )已知向量已知向量a a=(1,-2),=(1,-2),b b=(2,m),=(2,m),且且a ab b, ,则则a ab b= =. .解析解析: :(3)(3)向量向量a a=(1,-2),=(1,-2),b b=(2,m),=(2,m),且且a ab b, ,所以所以1 1m-(-2)m-(-2)2=0,2=0,解得解得m=-4,m=-4,所以所以a ab b=1=12+(-2)2+(-2)(-4)=10.(-4)=10.考点二平面向量数量积的应用考点二平面向量数量积的应用( (多维探究多维探究) )考查角度考查角度1:1:平面向量的模平面向量的模【例【例2 2】 (1) (1)(2017(2017全国全国卷卷) )已知向量已知向量a a, ,b b的夹角为的夹角为6060,|,|a a|=2,|=2,|b b|=1,|=1,则则| |a a+ +2 2b b|=|=; ;答案答案: :(2)5(2)5反思归纳反思归纳解析解析: :(1)(1)因为因为a a=2,|=2,|a a-2-2b b|=2,|=2,所以所以| |a a-2-2b b| |2 2=|=|a a| |2 2+4|+4|b b| |2 2-4-4a ab b=4+4|=4+4|b b| |2 2-4|-4|a a|b b| |c cos 60os 60=4+4|=4+4|b b| |2 2- -4|4|b b|=4.|=4.即即| |b b| |2 2-|-|b b|=0,|=0,所以所以| |b b|=1|=1或或| |b b|=0(|=0(舍去舍去).).选选D.D.答案答案: :(1)D(1)D(2)(2)设设x,yx,yR R, ,向量向量a a=(x,1),=(x,1),b b=(1,y),=(1,y),c c=(2,-4),=(2,-4),且且a ac c, ,b bc c, ,则则| |a a+ +b b|=|=. .考查角度考查角度2:2:平面向量的夹角平面向量的夹角反思归纳反思归纳向量夹角问题的两个注意点向量夹角问题的两个注意点(1)(1)切记向量夹角的范围是切记向量夹角的范围是0,.0,.(2)(2)非零向量非零向量a a与与b b夹角为锐角夹角为锐角a ab b00且且a a与与b b不共线不共线; ;非零向量非零向量a a与与b b夹角为夹角为钝角钝角a ab b00且且a a与与b b不共线不共线. .考查角度考查角度3:3:平面向量的垂直平面向量的垂直反思归纳反思归纳两向量垂直的应用两向量垂直的应用: :两非零向量两非零向量a a, ,b b, ,a ab ba ab b=0=0| |a a- -b b|=|=|a a+ +b b|.|.答案答案: :7 7解析解析: :a a=(-1,2),=(-1,2),b b=(m,1),=(m,1),a a+ +b b=(m-1,3).=(m-1,3).( (a a+ +b b)a a, ,所以所以( (a a+ +b b) )a a=0,=0,所以所以(m-1)(-1)+6=0,m=7.(m-1)(-1)+6=0,m=7.(A)(A)等边三角形等边三角形(B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰非等边三角形等腰非等边三角形(D)(D)三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形考点三平面向量的应用考点三平面向量的应用反思归纳反思归纳运用向量处理几何问题是把线段表示成向量运用向量处理几何问题是把线段表示成向量, ,然后利用向量运算处理所求然后利用向量运算处理所求问题问题. .备选例题备选例题【例例1 1】 (2018(2018广东省际名校联考广东省际名校联考) )已知向量已知向量a a, ,b b满足满足| |a a|=2|=2|b b|=2,|=2,且且( (a a+3+3b b)( (a a- -b b),),则则a a, ,b b夹角的余弦值为夹角的余弦值为. .点击进入点击进入应用能力提升应用能力提升点击进入点击进入阶段检测试题阶段检测试题