第第2 2节函数的单调性与最值节函数的单调性与最值1.1.理解函数的单调性、最大理解函数的单调性、最大( (小小) )值及其几何意义值及其几何意义. .2.2.会运用基本初等函数的会运用基本初等函数的图象研究象研究函数的性函数的性质. .考纲展示考纲展示知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.函数单调性定义中的函数单调性定义中的x x1 1,x,x2 2有何要求有何要求? ?提示提示: :x x1 1,x,x2 2必须是函数定义域中的任意两个值必须是函数定义域中的任意两个值. .2.2.若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间C C和区间和区间D D上都是增上都是增( (减减) )函数函数, ,则函数则函数f(x)f(x)在区间在区间CDCD上上是增是增( (减减) )函数吗函数吗? ?3.3.当一个函数的增区间当一个函数的增区间( (或减区间或减区间) )有多个时有多个时, ,能否用能否用“”将函数的单调增区将函数的单调增区间间( (减区间减区间) )连接起来连接起来? ?提示提示: :不能直接用不能直接用“”将它们连接起来将它们连接起来, ,例如例如: :函数函数y=xy=x3 3-3x-3x的单调增区间有的单调增区间有两个两个:(-,-1):(-,-1)和和(1,+),(1,+),不能写成不能写成(-,-1)(1,+).(-,-1)(1,+).4.4.函数一定存在值域函数一定存在值域, ,那么它一定存在最值吗那么它一定存在最值吗? ?提示提示: :对一个函数来说对一个函数来说, ,其值域是确定的其值域是确定的, , 但它不一定有最值但它不一定有最值, ,如函数如函数y=xy=x3 3, ,值值域是域是(-,+),(-,+),既无最大值既无最大值, ,也无最小值也无最小值. .如果函数有最值如果函数有最值, ,其最值一定是值域其最值一定是值域中的一个元素中的一个元素. .知识梳理知识梳理 1.1.函数的单调性函数的单调性(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定定义一般地一般地, ,设函数函数f(x)f(x)的定的定义域域为I,I,如果如果对于定于定义域域I I内某个区内某个区间D D上的上的任意两个自任意两个自变量的量的值x x1 1,x,x2 2当当x x1 1xx2 2时, ,都有都有 ，那么就那么就说函数函数f(x)f(x)在区在区间D D上是增上是增函数函数当当x x1 1xx2 2时, ,都有都有 , ,那么就那么就说函数函数f(x)f(x)在区在区间D D上是减上是减函数函数f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )(2)(2)单调区间的定义单调区间的定义如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间D D上是上是 或减函数或减函数, ,那么就说函数那么就说函数y=f(x)y=f(x)在在这一区间具有这一区间具有( (严格的严格的) )单调性单调性, , 叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的单调区间的单调区间. .图象象描述描述 自左向右看自左向右看图象是象是 自左向右看自左向右看图象是象是上升的上升的下降的下降的增函数增函数区间区间D D2.2.函数的最值函数的最值前提前提一般地一般地, ,设函数函数y=f(x)y=f(x)的定的定义域域为I,I,如果存在如果存在实数数M M满足足条件条件( (1 1) )对于于 任任 意意 的的x xI I, ,都都 有有 ; ;(2)(2)存在存在x x0 0I,I,使得使得 . .( ( 3 3 ) )对于于 任任 意意 的的x x I I , ,都都 有有 ; ;(4)(4)存在存在x x0 0I,I,使得使得 . .结论结论M M为最大最大值M M为最小最小值f(x)Mf(x)Mf(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=Mf(xf(x0 0)=M)=M【重要结论】【重要结论】 3.3.若函数若函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上是增函数上是增函数, ,则则f(x)f(x)minmin=f(a),f(x)=f(a),f(x)maxmax=f(b);=f(b);若函若函数数f(x)f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上是减函数上是减函数, ,则则f(x)f(x)minmin=f(b),f(x)=f(b),f(x)maxmax=f(a).=f(a).4.4.求复合函数求复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的单调区间的步骤的单调区间的步骤(1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域. .(2)(2)将复合函数分解成基本初等函数将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).y=f(u),u=g(x).(3)(3)分别确定这两个函数的单调区间分别确定这两个函数的单调区间. .(4)(4)若这两个函数在相应区间上同增或同减若这两个函数在相应区间上同增或同减, ,则则y=f(g(x)y=f(g(x)为增函数为增函数; ;若一增一若一增一减减, ,则则y=f(g(x)y=f(g(x)为减函数为减函数, ,即即“同增异减同增异减”. .双基自测双基自测 1.(1.(20172017山东济南期末山东济南期末) )下列函数中下列函数中, ,在在(0,+)(0,+)上单调递减的是上单调递减的是( ( ) )(A)f(x)=(A)f(x)=(B)f(x)=(x-1)(B)f(x)=(x-1)2 2(C)f(x)=e(C)f(x)=ex x(D)f(x)=ln(x+1)(D)f(x)=ln(x+1)A A解析解析: :f(x)=(x-1)f(x)=(x-1)2 2在在(0,+)(0,+)上不单调上不单调,f(x)=e,f(x)=ex x与与f(x)=ln(x+1)f(x)=ln(x+1)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,故选故选A.A.2.2.若函数若函数f(x)=ax+1f(x)=ax+1在在R R上单调递减上单调递减, ,则函数则函数g(x)=a(xg(x)=a(x2 2-4x+3)-4x+3)的单调递增区间的单调递增区间是是( ( ) )(A)(2,+)(A)(2,+) (B)(-,2) (B)(-,2)(C)(-2,+)(C)(-2,+)(D)(-,-2)(D)(-,-2)解解析析: :因因 为为 f f( (x x ) )为为R R上上的的减减函函数数 , ,所所 以以 a a 0 0, , 所所 以以 g g( (x x) )的的单单调调递递增增区区间间为为(-,2).(-,2).B B3.3.导学号导学号 38486020 38486020 若函数若函数f(x)f(x)是是R R上的减函数上的减函数, ,且且f(af(a2 2-a)f(a),-a)f(a),则则a a的取值的取值范围是范围是( ( ) )(A)(0,2)(A)(0,2) (B)(-,0)(2,+) (B)(-,0)(2,+)(C)(-,0)(C)(-,0) (D)(2,+) (D)(2,+)解析解析: :因为因为f(x)f(x)是是R R上的减函数且上的减函数且f(af(a2 2-a)f(a),-a)a,-aa,所以所以a a2 2-2a0,-2a0,所以所以a2a2或或a0.a0.故选故选B.B.B B4.4.若函数若函数f(x)=4xf(x)=4x2 2-kx-8-kx-8在在5,85,8上是单调函数上是单调函数, ,则则k k的取值范围是的取值范围是( ( ) )(A)(-,40(A)(-,40(B)(40,64)(B)(40,64)(C)(-,4064,+)(C)(-,4064,+)(D)64,+)(D)64,+)C C5.5.函数函数f(x)= f(x)= 在在4,64,6上的最大、最小值分别为上的最大、最小值分别为 . . 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 函数的单调性与单调区间函数的单调性与单调区间答案答案: :(1)B(1)B(2)(2)函数函数f(x)=lo (xf(x)=lo (x2 2-1)-1)的单调递减区间是的单调递减区间是. .解析解析: :(2)(2)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,-1)(1,+),(-,-1)(1,+),所求区间即为内层函数所求区间即为内层函数在函数在函数f(x)f(x)定义域上的单调递增区间定义域上的单调递增区间, ,即即(1,+).(1,+).答案答案: :(2)(1,+)(2)(1,+)反思归纳反思归纳 求函数单调区间的常见方法求函数单调区间的常见方法: :(1)(1)利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性, ,转化为已知函数的和、差或复合函数转化为已知函数的和、差或复合函数, ,再求单调再求单调区间区间. .(2)(2)定义法定义法: :先求定义域先求定义域, ,再利用单调性定义求解再利用单调性定义求解. .(3)(3)图象法图象法: :如果如果f(x)f(x)是以图象形式给出的是以图象形式给出的, ,或者或者f(x)f(x)的图象易作出的图象易作出, ,可由图象可由图象的直观性写出它的单调区间的直观性写出它的单调区间. .(4)(4)导数法导数法: :利用导数确定函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间. .(5)(5)复合函数法复合函数法: :如果是复合函数如果是复合函数, ,应根据复合函数的单调性的判断方法应根据复合函数的单调性的判断方法, ,首先首先判断两个简单函数的单调性判断两个简单函数的单调性, ,再根据再根据“同则增同则增, ,异则减异则减”的法则求解函数的单的法则求解函数的单调区间调区间. .解析解析: :(1)(1)设设t=xt=x2 2-2x-3,-2x-3,由由t0,t0,即即x x2 2-2x-30,-2x-30,解得解得x-1x-1或或x3.x3.所以函数所以函数的定义域为的定义域为(-,-13,+).(-,-13,+).因为函数因为函数t=xt=x2 2-2x-3-2x-3的图象的对称轴为的图象的对称轴为x=1,x=1,所以函数所以函数t t在在(-,-1(-,-1上单调递减上单调递减, ,在在3,+)3,+)上单调递增上单调递增. .所以函数所以函数f(x)f(x)的的单调递增区间为单调递增区间为3,+).3,+).故选故选B.B.考点二考点二 函数单调性的应用函数单调性的应用考查角度考查角度1:1:比较函数值大小比较函数值大小【例例2 2】 导学号导学号 18702027 18702027 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的图象关于的图象关于x=1x=1对称对称, ,且在且在(1,+)(1,+)上单调递增上单调递增, ,设设a=f(- ),b=f(2),c=f(3),a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则则a,b,ca,b,c的大小关系为的大小关系为( () )(A)cba(A)cba(B)bac(B)bac(C)bca(C)bca(D)abc(D)ab0,x)0,x1 1xx2 2, ,且且f(af(a2 2-a)f(2a-2),-a)f(2a-2),则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为( () )(A)-1,2)(A)-1,2)(B)0,2)(B)0,2)(C)0,1)(C)0,1)(D)-1,1)(D)-1,1)解析解析: :(1)(1)函数函数f(x)f(x)满足满足(x(x1 1-x-x2 2)f(x)f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,x)0,x1 1xx2 2, ,所以函数在所以函数在-2,2-2,2上单调递增上单调递增, ,所以所以-22a-2a-22a-2a2 2-a2,-a2,解得解得0a1,0a1,故选故选C.C.(2)(2)已知函数已知函数f(x)f(x)为为R R上的减函数上的减函数, ,则满足则满足f(| |)f(1)f(| |)f(1)的实数的实数x x的取值范围的取值范围是是( () )(A)(-1,1)(A)(-1,1) (B)(0,1) (B)(0,1)(C)(-1,0)(0,1)(C)(-1,0)(0,1) (D)(-,-1)(1,+) (D)(-,-1)(1,+)反反思思归归纳纳 求求解解与与函函数数单单调调性性有有关关的的抽抽象象函函数数不不等等式式时时, ,主主要要是是利利用用函函数数的的单单调调性性将将“f f”符符号号脱脱掉掉, ,使使其其转转化化为为具具体体的的不不等等式式求求解解. .此此时时应应特特别别注注意意函函数的定义域以及函数奇偶性质的应用数的定义域以及函数奇偶性质的应用. .考查角度考查角度3:3:利用函数单调性求参数范围利用函数单调性求参数范围【例例4 4】 (1) (1)已知函数已知函数f(x)=|x+a|f(x)=|x+a|在在(-,-1)(-,-1)上是单调函数上是单调函数, ,则则a a的取值范围的取值范围是是( () )(A)(-,1(A)(-,1 (B)(-,-1 (B)(-,-1(C)-1,+)(C)-1,+)(D)1,+)(D)1,+)解析解析: :(1)(1)因为函数因为函数f(x)f(x)在在(-,-a)(-,-a)上是单调函数上是单调函数, ,所以所以-a-1,-a-1,解得解得a1,a1,故选故选A.A.答案答案: :(1)A(1)A答案答案: :(2)A(2)A(3)(3)导学号导学号 38486021 38486021 已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax-3-2ax-3在区间在区间1,21,2上具有单调性上具有单调性, ,则则实数实数a a的取值范围为的取值范围为. .解析解析: :(3)(3)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ax-3-2ax-3的图象开口向上的图象开口向上, ,对称轴为直线对称轴为直线x=a,x=a,因此要因此要使函数使函数f(x)f(x)在区间在区间1,21,2上具有单调性上具有单调性, ,则则a a (1,2),(1,2),即即a1a1或或a2,a2,从而从而aa(-,12,+).(-,12,+).答案答案: :(3)(-,12,+)(3)(-,12,+)考点三考点三 函数最值的求法函数最值的求法答案答案: :(1)C(1)C解析解析: :(2)(2)当当x1x1时时, ,函数函数f(x)= f(x)= 为减函数为减函数, ,所以所以f(x)f(x)在在x=1x=1处取得最大值处取得最大值, ,为为f(1)=1;f(1)=1;当当x1x1时时, ,易知函数易知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2+2在在x=0x=0处取得最大值处取得最大值, ,为为f(0)=2.f(0)=2.故函数故函数f(x)f(x)的最大值为的最大值为2.2.答案答案: :(2)2(2)2答案答案: :(3)8(3)8反思归纳反思归纳 求函数最值求函数最值( (值域值域) )的常用方法及适用类型的常用方法及适用类型(1)(1)单调性法单调性法: :易确定单调性的函数易确定单调性的函数, ,利用单调性法研究函数最值利用单调性法研究函数最值( (值域值域).).(2)(2)图象法图象法: :能作出图象的函数能作出图象的函数, ,用图象法用图象法, ,观察其图象最高点、最低点观察其图象最高点、最低点, ,求出求出最值最值( (值域值域).).(3)(3)基本不等式法基本不等式法: :分子、分母其中一个为一次分子、分母其中一个为一次, ,一个为二次的函数结构以及一个为二次的函数结构以及两个变量两个变量( (如如x,y)x,y)的函数的函数, ,一般通过变形使之具备一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的的条件条件, ,用基本不等式法求最值用基本不等式法求最值( (值域值域).).(4)(4)导数法导数法: :若若f(x)f(x)是三次、分式以及含是三次、分式以及含e ex x,ln x,sin x,cos x,ln x,sin x,cos x结构的函数且结构的函数且f(x)f(x)可求可求, ,可用导数法求函数的最值可用导数法求函数的最值( (值域值域).).跟踪训练跟踪训练2:2:(1)(1)函数函数f(x)= f(x)= 在区间在区间a,ba,b上的最大值是上的最大值是1,1,最小值是最小值是, ,则则a+b=a+b=. .答案答案: :(1)6(1)6(2)(2)函数函数f(x)= - f(x)= - 的值域为的值域为. .备选例题备选例题 【例例1 1】 “a0a0”是是“函数函数f(x)=|(ax-1)x|f(x)=|(ax-1)x|在区间在区间(0,+)(0,+)内单调递增内单调递增”的的( () )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充分必要条件充分必要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析: :当当a=0a=0时时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间在区间(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增; ;当当a0a0a0时时, ,函函数数f(x)=|(ax-1)x|=|axf(x)=|(ax-1)x|=|ax2 2-x|-x|的的图图象象如如图图(2)(2)所所示示, ,知知函函数数在在(0,+)(0,+)上上先先增增后后减减再再增增, ,不不符符合合条条件件. .所所以以, ,要要使使函函数数f(x)=|(ax-1)x|f(x)=|(ax-1)x|在在(0,+)(0,+)上上 单单 调调 递递 增增 只只 需需 a0.a0.即即 “a0a0”是是 “函函 数数 f(x)=|(ax-1)x|f(x)=|(ax-1)x|在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增”的充要条件的充要条件. .故选故选C.C.【例例2 2】 函数函数f(x)= f(x)= 在在1,21,2的最大值和最小值分别是的最大值和最小值分别是. .答案答案: :-2-2答案答案: :(-2,6)(-2,6)【例例4 4】 ( (20162016四川南充高中模拟四川南充高中模拟) )已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2x x-2-2-x-x, ,若不等式若不等式f(xf(x2 2-ax+-ax+a)+f(3)0a)+f(3)0对任意实数对任意实数x x恒成立恒成立, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是. .解析解析: :y=2y=2x x,y=2,y=2-x-x在在R R上分别为增函数、减函数上分别为增函数、减函数, ,则则f(x)=2f(x)=2x x-2-2-x-x为增函数为增函数; ;因为因为f(-x)=2f(-x)=2-x-x-2-2x x=-f(x),=-f(x),所以所以f(x)f(x)在在R R上为奇函数上为奇函数; ;因为因为f(xf(x2 2-ax+a)+f(3)0,-ax+a)+f(3)0,所以所以f(xf(x2 2-ax+a)-f(3),-ax+a)-f(3),所以所以f(xf(x2 2-ax+a)f(-3),-ax+a)f(-3),所以所以x x2 2-ax+a-3,-ax+a-3,所以所以x x2 2-ax+a+30-ax+a+30在在R R上恒成立上恒成立, ,所以所以(-a)(-a)2 2-41(a+3)0,-41(a+3)0,所以所以a a2 2-4a-120,-4a-120,所以所以-2a6.-2a0u(x)0的条件的条件. .正解正解: :f(x)=lg(-xf(x)=lg(-x2 2+6x-5)+6x-5)在在(m,m+1)(m,m+1)上是增函数上是增函数, ,由复合函数的单调性可知由复合函数的单调性可知u(x)=-xu(x)=-x2 2+6x-5+6x-5在在(m,m+1)(m,m+1)上单调递增上单调递增, ,所以所以m+13,m2.m+13,m2.又又u(x)0,u(x)0,即即-x-x2 2+6x-50,+6x-50,即函数即函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(1,5),(1,5),所以所以m1,m1,故答案故答案为为1,2.1,2.答案答案: :1,21,2