一轮复习一轮复习- -空间中的垂直空间中的垂直关系关系一、两条直线互相垂直一、两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或定义：如果两条直线相交于一点或 相交相交于一点，并且交角为于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直，则称这两条直线互相垂直经过平移后经过平移后直角直角2直线与平面垂直的判定定理及推论直线与平面垂直的判定定理及推论.文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定判定定理定理如果一条直线与平面如果一条直线与平面内的内的 都都垂直，则该直线与这垂直，则该直线与这个平面垂直个平面垂直.两条相交直线两条相交直线二、直二、直线与平面垂直与平面垂直1直直线与平面垂直的定与平面垂直的定义： 如果一条直如果一条直线和一个平面相交于点和一个平面相交于点O，并且和，并且和这个个 平面内平面内过交点交点(O)的的 直直线都垂直，就都垂直，就说这条直条直线 和和这个平面互相垂直个平面互相垂直任何任何文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言推论推论1如果在两条平行直线如果在两条平行直线中，有一条垂直于平中，有一条垂直于平面，那么另一条直线面，那么另一条直线也也 这个平面这个平面垂直垂直aba推论推论2如果两条直线垂直于如果两条直线垂直于同一个平面的两条直同一个平面的两条直线平行线平行ab三、平面与平面垂直三、平面与平面垂直1平面与平面垂直的定义：平面与平面垂直的定义： 如果两个相交平面的如果两个相交平面的 与第三个平面垂直，又这两个平与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线面与第三个平面相交所得两条交线 ，就称这两个，就称这两个平面互相垂直平面互相垂直交线交线互相互相垂直垂直mn2平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理:文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定判定定理定理如果一个平面过另如果一个平面过另一个平面的一条一个平面的一条 ，则这两个平面互，则这两个平面互相垂直相垂直垂线垂线ll3平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理:文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言性质性质定理定理如果两个平面互相如果两个平面互相垂直，则一个平面垂直，则一个平面内垂直于内垂直于 的直的直线垂直于另一个平线垂直于另一个平面面交线交线lala2几个常用的结论几个常用的结论.(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一平面的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两条直线互相平行；(4)垂直于同一直线的两个平面互相平行垂直于同一直线的两个平面互相平行1(教材习题改编教材习题改编)给出下列四个命题：给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面这条直线垂直于这个平面其中真命题的个数是其中真命题的个数是 ()A1B2 C3 D4B4设设、为彼此不重合的三个平面，为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出为直线，给出下列命题：下列命题：若若，则，则；若若，且，且l，则，则l；若直线若直线l与平面与平面内的无数条直线垂直，则直线内的无数条直线垂直，则直线l与平面与平面垂直；垂直；若若内存在不共线的三点到内存在不共线的三点到的距离相等，则平面的距离相等，则平面平行平行于平面于平面.上面命题中，真命题的序号为上面命题中，真命题的序号为_(写出所有真命题写出所有真命题的序号的序号)1在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：关系，即：精析考题精析考题例例1 (2011浙江高考浙江高考)下列命题中错误的是下列命题中错误的是 ()A如果平面如果平面平面平面，那么平面，那么平面内一定存在直线平行于内一定存在直线平行于平面平面B如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面，那么平面，那么平面内一定不存在直线内一定不存在直线垂直于平面垂直于平面C如果平面如果平面平面平面，平面，平面平面平面，l，那么，那么l平面平面D如果平面如果平面平面平面，那么平面，那么平面内所有直线都垂直于平面内所有直线都垂直于平面自主解答自主解答对于命题对于命题A，在平面，在平面内存在直线内存在直线l平行于平面平行于平面与平面与平面的交线，则的交线，则l平行于平面平行于平面，故命题，故命题A正确正确对于命题对于命题B，若平面，若平面内存在直线垂直于平面内存在直线垂直于平面，则平面，则平面与与平面平面垂直，故命题垂直，故命题B正确正确对于命题对于命题C，设，设m，n，在平面，在平面内取一点内取一点P不在不在l上，过上，过P作直线作直线a，b，使，使am，bn.，am，则，则a，al，同理有，同理有bl.又又abP，a，b，l.故命题故命题C正确正确对于命题对于命题D，设，设l，则，则l，但，但l.故在故在内存在内存在直线不垂直于平面直线不垂直于平面，即命题，即命题D错误错误答案答案 D巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)1(2012潍坊模拟潍坊模拟)已知直线已知直线m、l和平面和平面、，则，则的充分条件是的充分条件是 ()Aml，m，lBml，m，lCml，m，lDml，l，m答案：答案：D2(2012郑州模拟郑州模拟)设设a、b是两条不同的直线，是两条不同的直线，、是两是两个不同的平面，则下列四个命题：个不同的平面，则下列四个命题：若若ab，a，b ，则，则b；若若a，a，则，则；若若a，则，则a或或a；若若ab，a，b，则，则.其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：解析：通过线面垂直及平行的判定定理和性质定理，可通过线面垂直及平行的判定定理和性质定理，可以判断四个命题都正确以判断四个命题都正确答案：答案：D冲关锦囊冲关锦囊 解决此类问题时一要注意依据定理条件才能得出结解决此类问题时一要注意依据定理条件才能得出结论二是否定时只需举一个反例三要会寻找恰当的特殊论二是否定时只需举一个反例三要会寻找恰当的特殊模型模型(如构造长方体、正方体如构造长方体、正方体)进行筛选进行筛选.(1)证明：证明：O1，A，O2，B四点共面；四点共面；(2)设设G为为AA中点，延长中点，延长AO1到到H，使得，使得O1HAO1.证明：证明：BO2平面平面HBG.3(2012青青岛模模拟)如如图所示的几何体所示的几何体是由以等是由以等边三角形三角形ABC为底面的棱柱底面的棱柱被平面被平面DEF所截而得，已知所截而得，已知BD平面平面ABC，CE平面平面ABC，FA平面平面ABC，AB2，BD1，AF2，CE3，O为AB的中点的中点(1)求异面直求异面直线EF与与BD所成的角的余弦所成的角的余弦值；(2)在在DE上是否存在一点上是否存在一点P，使得，使得CP平面平面DEF？如果存在，？如果存在，求出求出DP的的长；如果不存在，；如果不存在，说明理由明理由冲关锦囊冲关锦囊 证明直线和平面垂直的常用方法有：证明直线和平面垂直的常用方法有：1利用判定定理利用判定定理2利用判定定理的推论利用判定定理的推论(ab，ab)3利用面面平行的性质利用面面平行的性质(a，a)4利用面面垂直的性质利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面垂直于另一个平面.精析考题精析考题例例3 (2011江苏高考江苏高考)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，平中，平面面PAD平面平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分分别是别是AP，AD的中点的中点求证：求证：(1)直线直线EF平面平面PCD；(2)平面平面BEF平面平面PAD.自主解答自主解答(1)在在PAD中，因为中，因为E，F分别为分别为AP，AD的中点，的中点，所以所以EFPD.又因为又因为EF 平面平面PCD，PD平面平面PCD，所以直线所以直线EF平面平面PCD.(2)连接连接BD.因为因为ABAD，BAD60，所以所以ABD为正三角形因为为正三角形因为F是是AD的的中点，所以中点，所以BFAD.因为平面因为平面PAD平面平面ABCD，BF平面平面ABCD，平面平面PAD平面平面ABCDAD，所以，所以BF平面平面PAD.又因为又因为BF平面平面BEF，所以平面，所以平面BEF平面平面PAD.巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)(2)计算可得算可得DEDC2，又又F为CE的中点，的中点，所以所以DFCE.又又BC平面平面CDD1C1，所以所以DFBC.又又BCCEC，所以所以DF平面平面BCE，而而DF平面平面BDF，所以平面，所以平面BDF平面平面BCE.冲关锦囊冲关锦囊1判定面面垂直的方法判定面面垂直的方法.(1)面面垂直的定义面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直一步转化为线线垂直考题范例考题范例(12分分)(2011山东高考山东高考)如图，在四棱如图，在四棱台台ABCDA1B1C1D1中，中，D1D平面平面ABCD，底面，底面ABCD是平行四边形，是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：证明：AA1BD；(2)证明：证明：CC1平面平面A1BD.(2)连接连接AC，A1C1.(6分分)设设ACBDE，连接，连接EA1，因为四边形因为四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，高手点拨高手点拨 本题考查用线面垂直证明线线垂直及线面平行的证明本题考查用线面垂直证明线线垂直及线面平行的证明在解答时出现的失分点多数在解题步骤不严谨，忽视定在解答时出现的失分点多数在解题步骤不严谨，忽视定理的使用条件而造成的如理的使用条件而造成的如(1)问中易漏问中易漏ADD1DD，AA1平面平面ADD1A1这两个条件这两个条件(2)问中易漏问中易漏EA1平面平面A1BD、CC1 平面平面A1BD这一关键条件，这样使表述不严谨，这一关键条件，这样使表述不严谨，造成丢分造成丢分点击此图进入点击此图进入结束结束