高频考点核心归纳专题四数列高频考点核心归纳4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点-3-3-3-3-考情分析高频考点-4-4-4-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列的基本量的求解【思考】如何求解等差数列与等比数列的基本量?例1已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则 =()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1 答案解析解析关闭 答案解析关闭考情分析高频考点-5-5-5-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.考情分析高频考点-6-6-6-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(1)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=()(2)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于. 答案解析解析关闭 答案解析关闭考情分析高频考点-7-7-7-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列的判定与证明【思考】证明数列an是等差数列或等比数列的基本方法有哪些?例2设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.考情分析高频考点-8-8-8-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四考情分析高频考点-9-9-9-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.证明数列an是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明an+1-an(nN*)为常数;(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n2).2.证明数列an是等比数列的两种基本方法:考情分析高频考点-10-10-10-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四考情分析高频考点-11-11-11-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四考情分析高频考点-12-12-12-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列性质的应用【思考】常用的等差、等比数列的性质有哪些?例3设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11A 考情分析高频考点-13-13-13-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用.(1)等差数列的性质:an=am+(n-m)d(n,mN*);若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*);设等差数列an的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等差数列.(2)等比数列的性质:an=amqn-m(m,nN*);若m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,qN*);若等比数列an的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.考情分析高频考点-14-14-14-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3在正项等比数列an中,a2,a48是关于x的方程2x2-7x+6 =0的两个根,则a1a2a25a48a49的值为()B 考情分析高频考点-15-15-15-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列、等比数列的综合问题【思考】解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?例4(2018天津,文18)设an是等差数列,其前n项和为Sn(nN*); bn是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(nN*).已知b1=1, b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求Sn和Tn;(2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.考情分析高频考点-16-16-16-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四考情分析高频考点-17-17-17-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.考情分析高频考点-18-18-18-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭核心归纳-19-规律总结拓展演练1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.2.解决等差数列an前n项和问题常用的三个公式是: ;Sn=An2+Bn(A,B为常数),灵活地选用公式,解决问题更便捷.3.等差数列和等比数列的中项、前n项和都有一些类似的性质,充分利用性质可简化解题过程.4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法.核心归纳-20-规律总结拓展演练5.等差数列、等比数列的通项公式、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相关公式,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之后即为等差数列.核心归纳-21-规律总结拓展演练1.已知在等差数列an中,前n项和为Sn,若a3+a9=6,则S11=()A.12B.33C.66D.99B 解析an为等差数列,且a3+a9=6,a1+a11=a3+a9=6.核心归纳-22-规律总结拓展演练2.等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知 ,则a8=.32核心归纳-23-规律总结拓展演练3.已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是.20解析由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3,即d=3,故a9=2+36=20.4.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.9核心归纳-24-规律总结拓展演练5.(2018全国,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7, S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7,得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.