12.3 三重积分的计算三重积分的计算问题问题:设设 f (x , y , z) 在在上可上可积 , 研究三重积分研究三重积分 的计算方法的计算方法 研究思路研究思路:设法将设法将 化为化为 先定积分再二重积分先定积分再二重积分(1) 先单后重先单后重 :(2) 先重后单先重后单 :先二重积分再定积分先二重积分再定积分1 直角坐标系下直角坐标系下三重积分三重积分的计算方法的计算方法设设在在 xoy 平面上的投影区域为平面上的投影区域为 Dxy1、用先单后重方法化三重积分为三次积分、用先单后重方法化三重积分为三次积分若把被积函数若把被积函数 f (x , y , z)设想为密度函数设想为密度函数 , 则则在在 Dxy 中任取一微元中任取一微元 , 其坐标为其坐标为 ( x , y ) ,则则 对应的对应的 , 平行于平行于 z 轴的轴的 , 中的中的细棒棒质量量 可以看到可以看到: 的的质量就是量就是 中所有中所有这种种细棒细棒质量的无限累积质量的无限累积 , 利用微元法有利用微元法有(1)公式公式 (1) 称为三重积分的称为三重积分的先单后重计算公式先单后重计算公式所以有所以有 ( ) 则利用二重积分化为则利用二重积分化为二次积分的方法进一步可二次积分的方法进一步可将将 (1) 的积分化为的积分化为三次积分三次积分所以有所以有(2)公式公式 (2) 将三重积分化为先将三重积分化为先 z , 后后 y , x 的三次积分的三次积分同理对于区域同理对于区域可得以下先单后重公式可得以下先单后重公式:(3)对于区域对于区域(4)可得以下先单后重公式可得以下先单后重公式:根据区域根据区域 Dxz , Dyz 的情况的情况 , 利用化二重积分为利用化二重积分为二次积分的方法二次积分的方法 , 再将积分再将积分 (2) , (3) 化为三次积分化为三次积分解解其中其中由三个坐标平面及平面由三个坐标平面及平面 x + 2y + z = 1 所界所界 例例计算积分计算积分往往 xy 平面上的投影区域平面上的投影区域Dxy 如图所示如图所示利用先单后重公式利用先单后重公式 (1)解解其中其中由曲面由曲面例例计算积分计算积分所界的立体所界的立体往往 xz 平面上的投影区域平面上的投影区域解解例例计算积分计算积分其中其中由由 x + y + z = 1 及三个坐标面所界及三个坐标面所界 解解例例计算积分计算积分 ,其中其中由于由于 yz , xy 关于关于 y 是奇函数是奇函数 , 关于关于 xz 平面平面对称称由于由于 zx 关于关于 z 是奇函数是奇函数 , 关于关于 xy 平面平面对称称所以所以 2、用先重后单方法化三重积分为三次积分、用先重后单方法化三重积分为三次积分将将往往 z 轴上投影得上投影得投影区间：投影区间：用平面用平面 z = z ( z c , d , 取定取定 ) 截截得截痕面得截痕面 Dz , 则区间则区间 z , z + dz 所对应的所对应的薄柱体微元的质量为薄柱体微元的质量为:可以看到可以看到: 的的质量就是量就是 中所有中所有这种种薄柱体薄柱体 微元质量的无限累积微元质量的无限累积 , 利用微元法有利用微元法有从而得到以下从而得到以下先重后单公式先重后单公式其中其中 Dy 是是 y = y b1 , b2 与与的截痕区域的截痕区域 , b1 , b2 是是在在 y 轴上的投影区上的投影区间类似地有类似地有其中其中 Dx 是是 x = x a , b 与与的截痕区域的截痕区域 , a , b 是是在在 x 轴上的投影区上的投影区间解解例例计算积分计算积分 ,其中其中是两个球是两个球的公共部分的公共部分由由采用先重后单方法计算采用先重后单方法计算例例计算积分计算积分其中其中为椭球体球体 :解解其中其中同样的方法可得同样的方法可得解解例例设设 f (z) 连续连续 , 证明证明:并计算并计算解解例例改变三次积分改变三次积分的积分次序的积分次序(1) 原积分原积分 = (2) 原积分原积分 = 2 圆柱圆柱坐标系下坐标系下三重积分三重积分的计算方法的计算方法1、圆柱坐标系圆柱坐标系（1）圆柱坐标系圆柱坐标系对于空间中的一点对于空间中的一点 M( x , y , z )( 设设 M 不在不在 z 轴上轴上 ) 将将 M 往往 xoy 平面上投影得平面上投影得点点 P( x , y , 0 ) 引入变量引入变量即即 (1)M 点确定一点确定一 ( , , z ) 与之与之对应称称 ( , , z ) 为点点 M ( x , y , z ) 的的圆柱坐柱坐标( 或或柱坐柱坐标 )式式 (1) 即为直角坐标与圆柱坐标的对应关系式即为直角坐标与圆柱坐标的对应关系式（2）圆柱坐标曲面圆柱坐标曲面 一族以一族以 z 轴为中心的圆柱面轴为中心的圆柱面 一族以一族以 过过 z 轴的半平面轴的半平面 一族以一族以 z 轴为法向的平面轴为法向的平面 可以看出可以看出: 三族坐标曲面是两两正交的三族坐标曲面是两两正交的 ( 垂直垂直 ) ,且且 P = ( x , y , z ) 是某三个坐标曲面的交点是某三个坐标曲面的交点（3）圆柱坐标曲线圆柱坐标曲线 a)b) 称为称为 坐标曲线坐标曲线 , 它是起点在它是起点在 z 轴轴且与且与 z 轴垂直的射线轴垂直的射线c) 称为称为 坐标曲线坐标曲线 , 它是圆心在它是圆心在 z 轴轴且与且与 z 轴垂直的圆轴垂直的圆它是与它是与 z 轴平行的直线轴平行的直线 称为称为 z 坐标曲线坐标曲线 z 坐标曲线坐标曲线坐标曲线坐标曲线例例设设 由由 所界所界 , 试用用圆柱坐标表示柱坐标表示 解解原曲面原曲面 : 在圆柱坐标下在圆柱坐标下 , 该球面的方程为该球面的方程为将将往往 xoy 平面上投影平面上投影投影区域投影区域:,的的变化范化范围:所以所以 在在圆柱坐柱坐标系下的表达形式系下的表达形式为2、利用、利用圆柱坐标计算三重积分圆柱坐标计算三重积分设设 f (x , y , z) 在在上可上可积 , 则这里极限值与这里极限值与的划分无关的划分无关 , 与与的选取无关的选取无关用圆柱坐标面分割用圆柱坐标面分割 , 则再取再取从而有以下计算公式从而有以下计算公式(2)其中其中* 是是的的圆柱坐柱坐标表示表示说明说明: (1) 公式公式 (2) 的三重积分是关于圆柱坐标系中的三重积分是关于圆柱坐标系中的变量的变量, z 的三重的三重积分分 , 故仍需化故仍需化为三次三次积分分(2) 称为柱面坐标中的体积元素称为柱面坐标中的体积元素解解例例与抛物面与抛物面 所界所界 求求 , 其中其中是球面是球面 利用圆柱坐标计算利用圆柱坐标计算在在 xoy 平面上的投影区域平面上的投影区域:对取定的对取定的解解例例将三重积分将三重积分 化为直角坐标化为直角坐标 , 柱面坐标的三次积分柱面坐标的三次积分 , 其中其中 由由 ,所界所界(1) (2) 解解例例及平面及平面 z = 2 和和 z = 8 所界所界 计算计算 , 其中其中是曲面是曲面 在在 z 轴上的上的投影区间投影区间: 2 , 8 用用 z = z 2 , 8 截截得得截痕面截痕面其柱面坐标表示为其柱面坐标表示为3 球面球面坐标系下坐标系下三重积分三重积分的计算方法的计算方法（1）球面坐标系球面坐标系对于空间中的一点对于空间中的一点 P = ( x , y , z )P 往往 xy 平面上投影得点平面上投影得点 M( x , y , 0)引入量引入量则则由于由于 , 于是有于是有 即即(3)P 点确定一点确定一 ( r , , ) 与之与之对应称称 ( r , , ) 为点点 P ( x , y , z ) 的的球面坐球面坐标式式 (3) 即为直角坐标与球面坐标的对应关系式即为直角坐标与球面坐标的对应关系式（2）球面坐标曲面球面坐标曲面一族以原点为中心的球面一族以原点为中心的球面 一族过一族过 z 轴的半平面轴的半平面 一族以原点为顶点一族以原点为顶点 , 以以 z 轴为对称轴为对称 轴的圆锥面轴的圆锥面（3）球面坐标曲线球面坐标曲线a)b) 称为称为 r 坐标曲线坐标曲线 c) 圆心在圆心在 z 轴且与轴且与 z 轴垂直的圆轴垂直的圆半平面上以原点为圆心的半圆半平面上以原点为圆心的半圆 称为称为 坐标曲线坐标曲线 以原点为端点的半直线以原点为端点的半直线 称为称为 坐标曲线坐标曲线 坐标曲线坐标曲线 r 坐标曲线坐标曲线 坐标曲线坐标曲线 例例设设 由由 所界所界 , 试用球面用球面坐标表示坐标表示 解解将将代入球面方程有代入球面方程有从坐标线的变化可知从坐标线的变化可知 :(4) 利用球面利用球面坐标计算坐标计算三重积分三重积分设设 f (x , y , z) 在在上可上可积 , 则这里极限值与这里极限值与的划分无关的划分无关 , 与与的选取无关的选取无关用球面坐标面分割用球面坐标面分割 , 则体积元素体积元素 dV 在球面坐标下的表达形式在球面坐标下的表达形式 被积表达式为被积表达式为三重积分在球面坐标系下的计算公式三重积分在球面坐标系下的计算公式(3)其中其中*是是的球面坐的球面坐标表示表示 例例设设 , 其中其中由由所界所界 解解例例求求 0 , + ) 上的连续函数上的连续函数 f ( t ) , 使它满足使它满足解解即即两边对两边对 t 求导有求导有又又 f (0) = 0 , 故知故知 f (t) 满足以下初值问题满足以下初值问题( 可分离变量方程可分离变量方程 )由于由于由由 f (0) = 0