录象机计数器的用途录象机计数器的用途问问题题经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录象带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？问 题 分 析录象机计数器的工作原理0000左轮盘右轮盘磁头主动轮压轮计数器录象带录象带运动方向录象带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录象带运动速度是常数计数器读数增长变慢观 察 计数器读数增长越来越慢！模 型 假 设 录象带的运动速度是常数 v ； 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； 录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； 空右轮盘半径记作 r ； 时间 t=0 时读数 n=0 .建 模 目 的建立时间t与读数n之间的关系（设V，k ，w ，r 为已知参数）模 型 建 立建立t与n的函数关系有多种方法1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以模 型 建 立2. 考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即3. 考察t到t+dt录象带在右轮盘缠绕的长度，有思思 考考1. 31. 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果2.2.模型中有待定参数模型中有待定参数确定参数的一种办法是测量或调查，试设计测量方法。参 数 估 计确定参数的另一种方法测试分析将模型改记作只需估计理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可；实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合。现有一批测试数据： t 0 20 40 60 80n 0000 1153 2045 2800 3466 t 100 120 140 160 183.5n 4068 4621 5135 5619 6152用最小二乘法可得模 型 检 验应该另外测试一批数据检验模型：模 型 应 用1. 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分，剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目。2. 揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。 在数学的应用中在数学的应用中,需处理的往往不是需处理的往往不是“纯粹的纯粹的”数数,而是反映事物某一特性的度量而是反映事物某一特性的度量.用数加单位来表示具体度量；用数加单位来表示具体度量；用量纲的概念来表示被度量的特性用量纲的概念来表示被度量的特性. 量纲分析法是一种有效的物理建模方法量纲分析法是一种有效的物理建模方法 一一.单位单位SI 国际单位制（米国际单位制（米千克千克秒）；秒）； fps 英制单位制（英尺英制单位制（英尺磅磅秒）秒） 一个模型中单位必须统一一个模型中单位必须统一 二二.量纲量纲时间时间（T） 基基本本物物理理量量质量质量（M）长度长度（L） 力学中，任何物理量力学中，任何物理量都可以表示为其组合形都可以表示为其组合形式，式，称这种组合形式为称这种组合形式为物理量的量纲物理量的量纲. 称为称为基本量基本量纲纲其中其中 质量质量= m =M, 长度长度= l =L, 时间时间= t =T,例例2.1.1 加速度加速度 = a =LT2 ;因为力因为力 F=ma, 故故 F = m a =MLT2;部分物理常数也有量纲，如万有引力定律部分物理常数也有量纲，如万有引力定律中的引力常数中的引力常数K的量纲为的量纲为 速度速度 = v = = =LT1 ;部分物理量是无量纲的部分物理量是无量纲的,称之为纯数字称之为纯数字,如如 角度角度=LL1=L0尽管角度是无量纲量尽管角度是无量纲量,但它有单位但它有单位(弧度弧度).).量量 纲纲 独独 立立 于于 单单 位位三三. 量纲齐次性量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）量纲齐次原则量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量任一有意义的物理方程必定是量纲一致的纲一致的,即有即有 左边左边 = 右边右边 1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验. 2. 无量纲化方法减少参数个数无量纲化方法减少参数个数.例例1.1.2 非线性震荡运动方程非线性震荡运动方程模型中有参数模型中有参数：m、K、C 令令 x0=x(0) , w0 = , v0=x0 w0 ,根据量纲齐次性根据量纲齐次性, 有有 w0 =T1 , F =MLT2 , K =MT2, C = MT1. 引进无量纲量：引进无量纲量： T=w0t , X=x/x0 , V=v/v0特点？特点？代入原方程，有代入原方程，有 = XAV+F0 其中，因其中，因v0=x0w0 , w0= 原方程变形为原方程变形为 优点：优点：1. 1. 减少了参数的个数；减少了参数的个数；2. 方程中的变量方程中的变量X、V、T都是无量纲量都是无量纲量. 量纲分析是量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法建立数学模型的一种方法. . 对所设问题有一定了解，在对所设问题有一定了解，在实验和经验实验和经验的的基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之间的关系间的关系. . 例例4.2.1 单摆运动单摆运动 将质量为将质量为m 的一个小球系在长度为的一个小球系在长度为l 的线的的线的一端一端, ,稍偏离平衡位置后小球在重力稍偏离平衡位置后小球在重力mgmg的作用的作用下下( (g g为重力加速度为重力加速度),),做往复摆动做往复摆动. . 忽略阻力忽略阻力, ,求摆动周期求摆动周期t t的表达式的表达式. .求解求解 考虑问题中出现的物理量考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，假设它们之间有关式假设它们之间有关式 其中其中1 1,2 2,3 3是待定常数是待定常数, ,是无量纲的是无量纲的比例常数比例常数. .上式的量纲表达式为上式的量纲表达式为 (1)将将 t =T, m=M, l =L, g =LT2 代入得代入得 (2)按照量纲齐次性按照量纲齐次性, ,有有求解为求解为 代入式代入式(1) 得得 续例续例4.2.1 单摆运动的抽象单摆运动的抽象设变量关系为设变量关系为f (t，m，l，g) =0， (3)假设各变量间的关系如下：假设各变量间的关系如下：(4)其中其中y1y4 是待定常数是待定常数, ,是无量纲量是无量纲量. . 各变量的量纲用基本量纲表示如下各变量的量纲用基本量纲表示如下： t =L0M0T1, m =L0M1T0, l =L1M0T0, g =L1M0T2,(4) 式的量纲表达式为式的量纲表达式为 根据量纲齐次性，有线性方程组成立根据量纲齐次性，有线性方程组成立解得方程组的一个解为解得方程组的一个解为代入代入(4)式有式有 或者或者(5)将将此例一般化有以下定理此例一般化有以下定理Buckingham Pi定理：定理： 设有设有m 个物理量个物理量 q1，q2， qm , 而而 f (q1，q2， qm )=0 (6)是与量纲单位的选取无关的物理定律。是与量纲单位的选取无关的物理定律。X1, X2, , Xn 是是基本量纲基本量纲,其中其中nm，q1，q2， qm 的的量纲可表为量纲可表为 矩阵矩阵A=ai,jnm称为称为量纲矩阵量纲矩阵. 若若A的秩的秩Rank(A)=r 若齐次线性方程组若齐次线性方程组 AY=0 ( y是是m维向量维向量)的的 mr个基本解为个基本解为： ys=(ys1, ys2, , ysm)T , s=1,2, ,mr 为为 mr 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, ,且且 F(1, 2, ，mr)=0 (7) 与与(6) 式等价式等价, 其中其中F的形式未知的形式未知.例例2.2.2 航船阻力航船阻力 长度为长度为l、吃水深度吃水深度h h的船以速度的船以速度v 航行航行, ,若不若不考虑风的影响考虑风的影响, ,那么航船受到的阻力那么航船受到的阻力f f除依赖船除依赖船的诸变量的诸变量l, h, v 以外以外, ,还与水的参数还与水的参数密度密度, ,粘性系数粘性系数,以及重力加速度以及重力加速度g g有关有关. . 下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之间的关系之间的关系. .1.1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为 (f, l, h, v, g)=0 (8) 2.这是力学问题这是力学问题, ,基本量纲选为基本量纲选为L、M、T,各物理量的量纲表示为各物理量的量纲表示为 3.写出量纲矩阵写出量纲矩阵 (f) (l) (h) (v) () () (g) 方程有方程有mr=73=4个基本解个基本解, 可取为可取为4.求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 AY=0,因因Rank (A)=r=3 5. 给出给出4个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量(9)式式(9) 与与 (1,2,3,4)=0 等价等价, ,是是未定的函数未定的函数. .两式表达了航船问题中各物两式表达了航船问题中各物理量之间的全部关系理量之间的全部关系. .为得到阻力为得到阻力f f的表达式，由式的表达式，由式(1)(1)及式及式(9)(9)中中4的式子可写出的式子可写出f=l2v2(1,2,3)其中其中表示一个未定函数表示一个未定函数 用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析法之间的关系，这个结果用通常的机理分析法难以得到难以得到 虽然函数虽然函数的形式无从知道的形式无从知道, ,但这个表达式但这个表达式在物理模拟问题中仍有用途在物理模拟问题中仍有用途. .例例2.2.3 物理模拟中的比例模型物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力船模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力 量纲不变性量纲不变性: :无量纲量在模型和原型中保持不变无量纲量在模型和原型中保持不变模型中的各物理量：模型中的各物理量：原型中的各物理量：原型中的各物理量： 有有 当无量纲量当无量纲量成立时成立时, ,可得可得 原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他原型航船的阻力可由模型船的阻力及其他有关量算出有关量算出. .应用量纲分析法建立数学模型应注意：应用量纲分析法建立数学模型应注意： 1. 正确确定模型中所含正确确定模型中所含物理量物理量 主要靠经验和背景知识主要靠经验和背景知识, 没有一般的方法可以没有一般的方法可以保证得到的结果是正确或有效保证得到的结果是正确或有效. 2. 合理选择合理选择基本量纲基本量纲3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解应根据特定的建模目的恰当地构造基本解. 一般，在力学中选取一般，在力学中选取L、M、T即可即可, 热学问题热学问题加上温度量纲加上温度量纲，电学问题加上电量量纲电学问题加上电量量纲Q).量纲分析建模方法有如下优缺点量纲分析建模方法有如下优缺点: 1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法，不需要专门的物理知识和高深的数学方法，可以得到用其他复杂方法难以得到的结果可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.2. 可将无关的物理量去掉可将无关的物理量去掉. 3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，方法有局限性，PI定理中的等价方程定理中的等价方程F()=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量. 5. 物理定律中常见的函数，如三角函数物理定律中常见的函数，如三角函数sin(),指数函数指数函数exp()等是无量纲的等是无量纲的, 不可能用量纲分不可能用量纲分析法得到析法得到.任何建模方法都有局限性任何建模方法都有局限性一一.基于数据分析的建模方基于数据分析的建模方法法 * 在建立数学模型的过程中在建立数学模型的过程中, ,经常需要建立经常需要建立变量之间的关系变量之间的关系. . * *由于对研究对象的内部机理不甚了解由于对研究对象的内部机理不甚了解, ,不不能通过合理的假设能通过合理的假设, ,或根据物理定律、原理或根据物理定律、原理, , 经过机理分析法而得到经过机理分析法而得到. .问题问题解决思路解决思路*选择适当的数学式对变量间的关系进行拟合选择适当的数学式对变量间的关系进行拟合.*通过对数据充分观察和分析通过对数据充分观察和分析, 获得数据所含获得数据所含 信息信息;*揭示变量间的内在联系揭示变量间的内在联系;xoy* 借助于由实验或测量得到的一批离散数据借助于由实验或测量得到的一批离散数据.两两类类变变量量关关系系 确定性关系确定性关系 确定的函数关系确定的函数关系相关关系相关关系 存在相依关系存在相依关系,但未达到相但未达到相互确定的程度互确定的程度.两两类类数数据据已知规律已知规律(函数函数)的测试数据的测试数据(在特定在特定时间点或距离上的数据时间点或距离上的数据)呈现随机性的数据呈现随机性的数据,可看成具有某种可看成具有某种概率分布的随机样本值概率分布的随机样本值. 针对两种不同类型的数据针对两种不同类型的数据, 有不同的建立模有不同的建立模型方法型方法:1. 数据拟合法数据拟合法(适用于第一类数据适用于第一类数据)基本思想基本思想 已知函数已知函数 y= f(x) 的一组测试数据的一组测试数据 (xi , yi)， (i=1，2，n)，寻求一个函数寻求一个函数(x)，使，使(x)对上述测试数据对上述测试数据的误差较小，即的误差较小，即(xi)yi,于是可以用于是可以用(x)来近似替代来近似替代f (x).常用的数据拟合方法常用的数据拟合方法：一般插值法、最小二一般插值法、最小二乘法、样条函数光顺法等乘法、样条函数光顺法等. 插值法的基本思想插值法的基本思想 寻找寻找 f(x)的近似替代函数的近似替代函数(x), 在插值节点在插值节点xi 上满足上满足 ( xi )=yi， (i=1,2,，n)，其余点用其余点用(x)近似替代近似替代f (x ), 称称(x)为为f (x)的的插值函数插值函数. 最小二乘法基本思想最小二乘法基本思想 寻找寻找 f (x)的近似替代的近似替代函数函数(x), 使使2. 随机分析方法随机分析方法 对于随机数据进行拟合对于随机数据进行拟合, ,可用统计学中的可用统计学中的回归分析方法或时间序列分析方法回归分析方法或时间序列分析方法. . 二经验模型的建立二经验模型的建立 以上两种建模方法都是建立在对数据进行充以上两种建模方法都是建立在对数据进行充分分析的基础上分分析的基础上. 寻找或选择适当的函数拟合变量之间的关系寻找或选择适当的函数拟合变量之间的关系(函数关系或回归关系函数关系或回归关系)是重要的环节是重要的环节.一一般般步步骤骤 1）绘制数据散布图；）绘制数据散布图； 2）分析数据散布图；）分析数据散布图； 3）选择函数关系形式）选择函数关系形式. 1) 通过分析数据散布图可以获得对变量间通过分析数据散布图可以获得对变量间关系的感性认识关系的感性认识, 形成初步的看法形成初步的看法, 以便于对以便于对问题做进一步的分析问题做进一步的分析.见见p1562）分析数据散布图；）分析数据散布图； 对数据散布图进行分析对数据散布图进行分析,可以分析出变量的可以分析出变量的关系是：关系是：1）线性的还是非线性的？）线性的还是非线性的？2）有无周期性？）有无周期性？3）呈现何种变化趋势？变化率如何？）呈现何种变化趋势？变化率如何？，等等有用的初步结论等等有用的初步结论. 例例3. 1 建立一个简洁的函数关系式来描述建立一个简洁的函数关系式来描述某个地区人的身高和体重的对应关系某个地区人的身高和体重的对应关系. 曲线特征是体重曲线特征是体重W 随身高随身高H 的增长而单调增的增长而单调增长，但可以观察到是非线性增长长，但可以观察到是非线性增长.练习练习试分析以下问题试分析以下问题 1. 氮施肥量氮施肥量N、磷施肥量磷施肥量 P 关于土豆产量的关于土豆产量的数据散布图数据散布图. 2. 海浪潮高度海浪潮高度x 随时间随时间t 的数据散布图的数据散布图.3）选择函数关系形式）选择函数关系形式 1. 形式尽可能简洁形式尽可能简洁, 尽可能线性化；尽可能线性化；原原则则2. 依据实际问题的精度要求依据实际问题的精度要求,合乎实际规律合乎实际规律. 续例续例3.1 选择幂函数选择幂函数 W= , 描述身高体描述身高体重关系重关系.优点优点 此函数可以线性化此函数可以线性化.两边取对数两边取对数, 有有 变换为线性函数变换为线性函数 例例3.2 可选二次函数可选二次函数 注：注：其中其中 b0= y(0) = 15.18. 关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系可关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系可选择威布尔模型：选择威布尔模型：描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系.合理性合理性?3. y 是单调升函数是单调升函数. 也可以选择也可以选择S 函数函数： S函数也满足：函数也满足： 3. y 是单调升函数；是单调升函数； 哪个模哪个模型更好型更好？分析分析：S 模型所含参数更少模型所含参数更少, 另外若令另外若令可得线性模型可得线性模型 重要定律重要定律(维尔斯脱拉斯维尔斯脱拉斯 ) 若函数若函数f(x)在有限在有限闭区间上连续闭区间上连续, 则存在一个多项式序列则存在一个多项式序列Pn(x)在有限闭区间在有限闭区间a , b上一致收敛于上一致收敛于f(x).称称 f(x) 在在 a ,b 上可上可由多项式函数逼近由多项式函数逼近. 例例3.3 估计供水塔的水流量估计供水塔的水流量 试用以下数据估计任意时刻试用以下数据估计任意时刻( (包括水泵正在包括水泵正在输水的时间内输水的时间内) )从水塔流出的流量从水塔流出的流量f(t), ,并估计并估计一天的总用水量一天的总用水量. .某小镇某天水塔水位某小镇某天水塔水位 时间时间(秒秒) 水位水位(0.01英尺英尺) 时间时间(秒秒) 水位水位(英尺英尺) 0 3175 46636 3350 3316 3110 49953 3260 6635 3054 53936 3167 10619 2994 57254 3087 13937 2947 60574 3012 17921 2892 64554 2927 21240 2850 68535 2842 25223 2795 71854 2767 28543 2752 75021 2697 32284 2697 79254 水泵开动水泵开动 35932 水泵开动水泵开动 82649 水泵开动水泵开动 39332 水泵开动水泵开动 85968 3475 39435 3550 89953 3397 43318 3445 92370 3340思考思考 为什么考虑用多项式函数？有什么优点？为什么考虑用多项式函数？有什么优点？ 假设假设 水位高度（或水塔的水容量）是连续变水位高度（或水塔的水容量）是连续变化的化的. 可以选择可以选择n 次多项式次多项式Pn(x)来近似描述水位随时间的变化规律来近似描述水位随时间的变化规律.问题归结为选择足够大的问题归结为选择足够大的n 及估计各个系数值及估计各个系数值. 数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学建模的一个重要工作是建立变量间的数学关系式数学关系式, 但公式中几乎总是涉及一些参数但公式中几乎总是涉及一些参数. 如如用用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对下面三个数学式描述肥素的施肥水平对 土豆产量的影响：土豆产量的影响：要得到最终可应用于实际的经验模型，要得到最终可应用于实际的经验模型，必须确定公式中的各个参数必须确定公式中的各个参数求模型中参数的估计值有三种常用方法：求模型中参数的估计值有三种常用方法：图解法、统计法、机理分析法。图解法、统计法、机理分析法。 对经验模型的精度要求不高对经验模型的精度要求不高, 只需对参数做只需对参数做出粗略估计时可采用图解法出粗略估计时可采用图解法.例例4.1 磷施肥量与土豆产量的关系式磷施肥量与土豆产量的关系式 需估计三个参数需估计三个参数A、B、C, 观察图观察图7.3，数据数据点都位于直线点都位于直线 y=43的下方，并且数据点越来的下方，并且数据点越来越靠近这条直线，越靠近这条直线，可以估计可以估计A=43 . 1图解法图解法 例例4.2表中给出了表中给出了12月月1日日( (星期二星期二) )和和12月月2日日( (星期三星期三) )两天内的海浪潮高度值两天内的海浪潮高度值( (相对于海相对于海堤上的零标尺记号堤上的零标尺记号, ,以米为单位以米为单位),),能依据此表能依据此表来预测来预测12月月5日日( (星期六星期六) )下午下午1:00的海浪高度的海浪高度值吗？值吗？分析分析 根据对数据散布图的分析根据对数据散布图的分析, 采用函数采用函数 需需估计振幅估计振幅 a 和和 频率频率b.解决方法：解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为直接量出高低浪之间的高度差为6.6米，米， 量出海浪变化周期约为量出海浪变化周期约为12.3小时小时 得经验模型得经验模型 将频率的估计代入将频率的估计代入(2)式式, 有有代入代入x(0)=c=2.4 及及 x(23)=3.6 得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型模型应用模型应用预测预测12月月5日下午日下午1:00的海浪潮高度为的海浪潮高度为 x(109) = 2.4cos(5.11109) 2.7sin(5.11109)=2.4cos(55.7)2.7sin(55.7)=2.4cos(5.4302.7sin(55.7)3.6(米米). 误差分析误差分析 这一时刻潮位的实际观察值为这一时刻潮位的实际观察值为4.1米米,相对误差大约是相对误差大约是12%, 请考虑一下成因请考虑一下成因.仔细分析图仔细分析图5.5, 可发觉图中可发觉图中(1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值似乎不是海浪高低潮位的中值;(2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大振幅随时间的延续似乎在轻微地增大.思考思考 怎样考虑这些细节来修改模型怎样考虑这些细节来修改模型,以获得以获得更准确的预报呢？更准确的预报呢？2. 统计法统计法 参数估计的统计处理参数估计的统计处理, 往往运用最小二乘法往往运用最小二乘法估计估计.设有一组样本值设有一组样本值:对选定的一元回归函数对选定的一元回归函数 , ,回归模型为回归模型为N(0,2), 为模型的为模型的残差平方和残差平方和.应选取应选取(x)中的未知参数中的未知参数, 使使S达最小值达最小值当回归函数为当回归函数为(x)=a +bx，回归模型回归模型N(0,2) 称为一元线性回归模型称为一元线性回归模型, 其残差平方和为其残差平方和为 对对S 分别求关于分别求关于 a, b 的偏导数的偏导数, 并令其等于零并令其等于零得得线性方程组如下：线性方程组如下：整理得正规方程整理得正规方程(组组)如下：如下： 求得解求得解其中其中一元一元线性回线性回归模型参数归模型参数估计公式估计公式 部分部分非线性非线性回归函数经变量代换可化为回归函数经变量代换可化为线性线性函数函数, ,利用线性利用线性参数估计公式进行估计参数估计公式进行估计,如如 例例4.2 磷施肥量和土豆产量磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为的回归函数选为对数据进行相应变换对数据进行相应变换, 可估计出可估计出 得到磷施肥量和土豆产量的经验公式得到磷施肥量和土豆产量的经验公式分析分析 有有 例例4.2 若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产量的回归函数量的回归函数与目测法的结论与目测法的结论惊人一致惊人一致.相对于新变量相对于新变量x，lnlnz , , 这是一元线性函数这是一元线性函数. . 特点：特点：统计分析法应用于变量间存在相关统计分析法应用于变量间存在相关关系的情形关系的情形, 并且需要较多数据为基础并且需要较多数据为基础. 3. 机理分析法机理分析法 通过对问题的内部机理进行分析通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间找出变量间 的因果关系的因果关系,从而确定出参数从而确定出参数.两边取对数两边取对数,有有例例4.5 录像机磁带计数器模型录像机磁带计数器模型在一台录像机上有一个四位数字的记数器在一台录像机上有一个四位数字的记数器. .1.在磁带开始运行时设置为在磁带开始运行时设置为“0000”，“180分分 钟钟”结束时显示读数为结束时显示读数为“18491849”, ,实际所花的实际所花的 时间为时间为185分分20秒秒. .2.记数器从记数器从“0084”转到转到“0147”时用了时用了3分分21 秒的时间秒的时间. . 现在记数器上显示为现在记数器上显示为“1428”, ,问余下的磁带问余下的磁带是否足够再记录是否足够再记录6060分钟长的节目？分钟长的节目？ 已建立经验公式已建立经验公式 其中其中 w 录象带的厚度；录象带的厚度；r 转动轴半径；转动轴半径； v转动速度；转动速度；k显示读数和旋转周显示读数和旋转周 数的比例系数数的比例系数. . 通过进一步分析简化模型通过进一步分析简化模型, ,使所含的未知参使所含的未知参数尽可量少数尽可量少, ,用很少的几个数据求得参数的用很少的几个数据求得参数的估计值估计值. . 上式化为上式化为可利用的数据如下可利用的数据如下 时间时间t0 t1 t1+3.35 185.33读数读数n(t) 0 0084 0147 1849t=0，n=0是模型的初始条件是模型的初始条件, ,将后三组数据将后三组数据代入代入 得关于得关于t1,与与的三元方程组的三元方程组注注1.由于数据个数太少由于数据个数太少,不能用统计法估计参数；不能用统计法估计参数；2. 这里采用机理分析法求参数的估计值这里采用机理分析法求参数的估计值,可可利用的数据个数已是允许的最少个数了利用的数据个数已是允许的最少个数了.希望建立的模型尽善尽美：希望建立的模型尽善尽美： 能能“逼真逼真”地模拟现实系统；地模拟现实系统； 能能“精确精确”地预测系统的未来情况；地预测系统的未来情况； 能能“准确准确”地控制系统；地控制系统； 得到问题的得到问题的“最优最优”解解 ；逼真、精确、准确、最优、逼真、精确、准确、最优、良好良好愿望愿望 数学模型是对现实世界的理想化，数学模型是对现实世界的理想化，不可能是真实世界的再现不可能是真实世界的再现 任何数学模型在建立和使用的过程中，任何数学模型在建立和使用的过程中，不可避免的产生模型误差不可避免的产生模型误差. 如：附加进数据测量误差如：附加进数据测量误差,舍入误差和截断误舍入误差和截断误差等差等.有必要对模型误差进行分析，并给出估计有必要对模型误差进行分析，并给出估计. 常用常用“绝对误差绝对误差”和和“相对误差相对误差”来衡量误差的来衡量误差的大小程度：大小程度： 绝对误差绝对误差=测量值近似值测量值近似值相对误差相对误差=绝对误差绝对误差/测量值测量值与数与数量级量级有关有关 例例4.3 用经验公式用经验公式 作为土豆产量的近似估计公式作为土豆产量的近似估计公式, 其误差数值其误差数值列表如下列表如下0.0010.0641.201960.0622.5638.48980.062.0334.50240.06相对误差相对误差 1.96绝对误差绝对误差 31.50 施肥量施肥量 问题问题 如何评价误差数据如何评价误差数据？二误差分析二误差分析各各类类误误差差 数据测量误差数据测量误差 截断误差截断误差 模型假设误差模型假设误差 1数据测量误差数据测量误差 * 在建立模型之前应该尽量控制实验数据的在建立模型之前应该尽量控制实验数据的质量质量, 使之测量准确可靠使之测量准确可靠. * 数据带有无法消除的测量误差时数据带有无法消除的测量误差时, 应分析应分析它对模型造成的影响它对模型造成的影响, 并对模型误差进行估计并对模型误差进行估计. 例例4.6 有高为有高为100厘米的半球形容器中装满厘米的半球形容器中装满了水。从某一时刻开始，水从底部一个横截了水。从某一时刻开始，水从底部一个横截面积为面积为1 1平方厘米的小孔流出，可以随时测出平方厘米的小孔流出，可以随时测出水面高度水面高度h。由水力学知，水从孔口流出的流由水力学知，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积量（即通过孔口横截面的水的体积V对时间对时间t 的变化率的变化率) )Q，有关系式有关系式 其中其中0.62为流量系数为流量系数, S 是小孔口横截面积是小孔口横截面积，g 为重力加速度为重力加速度. 由测出的水面高度由测出的水面高度h,可算得水流量可算得水流量, 由于仪由于仪器所限，测出的高度值有器所限，测出的高度值有 0.1厘米的误差厘米的误差, 这这会引起水流量会引起水流量Q的多大误差的多大误差？ 100h水面高水面高度度h有误有误差差h 分析分析 水面高度误差为水面高度误差为h ，水流量误差则为水流量误差则为 在在 h=50厘米处厘米处,代入代入h=0.1厘米厘米,可算得绝可算得绝对对误差为误差为 相对误差为相对误差为在在h=50 厘米处的相对误差为厘米处的相对误差为约为约为1 .2. 截断误差截断误差 截断误差的来源：截断误差的来源： 1. 用数值方法近似求解会产生截断误差；用数值方法近似求解会产生截断误差； 2. 函数近似产生截断误差；函数近似产生截断误差；3. 计算机运算的精度误差；计算机运算的精度误差； 应分析截断误差对模型的影响应分析截断误差对模型的影响 例例4.7 广义生日问题广义生日问题 一个班有一个班有30名学生名学生, 他们中至少有两名同一他们中至少有两名同一天生日的概率天生日的概率 p=?他们生日均不同日的概率为他们生日均不同日的概率为则则 p =1q.一般化后一般化后,考虑下问题：考虑下问题：求最小的整数求最小的整数 n，使使 f(n)q (给定给定) 对于给定的对于给定的 x, f(n)是单调下降函数是单调下降函数(序列序列),解：解：可采用求根方法可采用求根方法对分法对分法q 当当q=0.5时时, 对不同的对不同的x, 可以算出可以算出n 的最小值的最小值n*，见表见表(P170表表7.7)的前两列的前两列.建立满足建立满足f(n)q 的最小值的最小值 n* 与与x 之间的关系式之间的关系式. 方法一（最小二乘法）方法一（最小二乘法）建立经验公式为建立经验公式为方法二方法二 泰勒近似泰勒近似将将改写为改写为因因利用近似式利用近似式令令g(n)=q，解出解出n2n+2x lnq=0,方程的正根为方程的正根为当当 q=0.5，建立泰勒建立泰勒 近似公式为近似公式为n=0.5+练习练习 对两种近似求解方法对两种近似求解方法, 计算各个近似值的计算各个近似值的绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差. 泰勒泰勒 近似式的误差控制函数近似式的误差控制函数因因其中其中注意到注意到f(n)和和g(n)都是单调下降函数都是单调下降函数, 选择选择n*使使 g(n*) q g(n*+1) f(n*+1)，又若又若f(n*)q，则则n*或或n*1就是整数就是整数n满足满足f(n)q的最小值的最小值. .g(n)f(n)qn*n*+1若若f( n*)= q f(n)q ，当，当nn*；若若 f(n*)q 当当nn*+1. f (n*)q g(n*+1) f(n*+1)f(n)，对最小值对最小值n*点有点有即即3. 模型假设误差模型假设误差通过对数据进行分析可以判断假设是否合理通过对数据进行分析可以判断假设是否合理. . 是用是用g(n)代换代换f(n)的误差控制函数的误差控制函数, , 比值越比值越接近于零，误差越小接近于零，误差越小. .续例续例4.2 施肥效果分析施肥效果分析有人做了如下两条假设：有人做了如下两条假设： *1 在实验中除施肥量在实验中除施肥量, 其他影响因子其他影响因子:如环境如环境条件条件, 种植密度种植密度, 土壤肥力等土壤肥力等, 均处于同等水平；均处于同等水平；*2 各次实验独立各次实验独立, 误差项误差项均服从均服从N(0,2).分析分析：从数据可见在实验点从数据可见在实验点实际重复了三次试验实际重复了三次试验. .第七第七试验试验水平水平问题：问题：三次试验的土豆产量分别为三次试验的土豆产量分别为43.15，41.26， 38.43（单位单位：t/ha） 按照假设这按照假设这3 次重复试验产生的产量波动完次重复试验产生的产量波动完全因随机误差所致全因随机误差所致.如何如何解释解释这这3个数据的波动？个数据的波动？并且土豆产量满足回归方程并且土豆产量满足回归方程合合理理吗吗？分析：分析：由由3 个数据计算得个数据计算得 30个试验数据绝大多数落在区间个试验数据绝大多数落在区间(33.82, 48.07)之内之内 由施肥水平变化所引起的土豆产量的变由施肥水平变化所引起的土豆产量的变动幅度不及随机误差产生的波动幅度大动幅度不及随机误差产生的波动幅度大 .不不合合理理不合理的原因：不合理的原因：实际上三实际上三 次重复试验带有系统误差次重复试验带有系统误差主主要要来来源源于于土土壤壤肥肥力力,生生长长期期的的管管理理措措施施等等多多种种试试验时的外界条件变化验时的外界条件变化. 试验设计中，把在试验实施过程中外界环境试验设计中，把在试验实施过程中外界环境条件的差异所造的系统偏差称为条件的差异所造的系统偏差称为区组效应区组效应. 施肥问题中施肥问题中, ,对应于每种营养素的对应于每种营养素的10个施肥个施肥试验点试验点, ,应并为一个区组应并为一个区组. . 可认为区组内可认为区组内10次试验的试验条件较为一致次试验的试验条件较为一致, ,而不同区组间的试验条件差别较大而不同区组间的试验条件差别较大. . 根据有区组效应的数据不可能分析出各个肥根据有区组效应的数据不可能分析出各个肥素对土豆产量的素对土豆产量的交互作用交互作用. . 利用数据建立模型利用数据建立模型应尽量消除区组效应应尽量消除区组效应 通过试验设计，通过试验设计，保证数据质量保证数据质量.