Chapter 2Matrix and determinant 2.1 2.1 初等变换与矩阵等价初等变换与矩阵等价2.2 2.2 矩阵的标准形矩阵的标准形2.2 2.2 初等矩阵初等矩阵 2.4 2.4 矩阵的秩矩阵的秩教教学学目目的的与与要要求求：掌掌握握矩矩阵阵的的初初等等变变换换，会会求求矩矩阵阵的的标标准准形形，能能应应用用矩矩阵阵的的初初等等变变换换求求矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵，理理解矩阵秩的的概念，会求矩阵的秩解矩阵秩的的概念，会求矩阵的秩 。教教学学内内容容：初初等等变变换换,矩矩阵阵等等阶阶,初初等等方方阵阵,矩矩阵阵求求逆逆,矩矩阵的秩。阵的秩。重点：重点：矩阵的初等变换，矩阵求逆，矩阵的秩矩阵的初等变换，矩阵求逆，矩阵的秩 。难点：难点：矩阵的秩矩阵的秩 。教学方式：教学方式：讲授。讲授。定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:1. 初等（行初等（行/列）变换列）变换(1) 互换两行互换两行 ( 记作记作 ri rj );(2) 以数以数 0 乘以某一行乘以某一行 ( 记作记作 ri );(3) 将将第第 j 行行各各元元素素乘乘以以数数 后后加加到到第第 i 行行的的对对应应元元素上去素上去 (记作记作 ri + rj )相应地，矩阵的三种初初等等列列变变换换的记号只需将 r 换成换成 c。定义定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型且变换类型相同相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换定义定义3矩阵等价矩阵等价等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价作作为为初初等等变变换换的的应应用用，我我们们可可以以将将矩矩阵阵化化为为阶梯形矩阵：阶梯形矩阵： 应用应用1： 定理定理2.1（P35）例例1.对下列矩阵对下列矩阵B实施初等行变换实施初等行变换特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元注意：注意：行最简形矩阵行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成再经过初等列变换，可化成标标准形准形应用应用2： 说明：矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性。说明：矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性。 定理定理2.2（P36）行最简形矩阵行最简形矩阵例如例如，特点特点： 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.1、初等矩阵、初等矩阵定义定义由由单单位位矩矩阵阵 E 经经过过一一次次初初等等变变换换得得到到的矩阵称为的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.(1)初等对换阵初等对换阵 ri rjci cj 也得到也得到 E (i, j)第第 i 行行第第 j行行(2)初等倍乘阵初等倍乘阵 k rik cj 也得到也得到 E( j (k)(3)初等倍加方阵：初等倍加方阵： ri + k rj cj + k ci 也得到也得到 E ( i, j (k ) ) 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .2、初等矩阵的应用、初等矩阵的应用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等方阵方阵证证即即利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法： 解解例例即即初等行变换初等行变换例例解解列变换列变换列变换列变换解解例例3 3要打开思路!3、小结、小结1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:思考题思考题解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,而得而得. 而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得1 1、矩阵的秩、矩阵的秩、矩阵的秩、矩阵的秩（1）. k 阶子式阶子式定义定义设设 A 为为 mn 矩矩阵阵，在在 A 中中任任取取 k 行行 k 列列 (1 k min (m, n)，由由这这 k 行行，k 列列的的交交叉叉处处的的 k2 个个元元素素(按按原原来来的的前前后后顺顺序序)所所构构成成的的 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵A的一个的一个 k 阶子式。阶子式。例如：例如：一个2阶子式例如：例如：一个2阶子式一个3阶子式(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式(2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A |注：注：（2）. 矩阵的秩矩阵的秩例如：例如：r(A) = 3定义定义4.4矩矩阵阵A的的不不为为0的的子子式式的的最最高高阶阶数数称称为为矩矩阵阵A的的秩秩，记为，记为r (A)。( 显然显然 r (A) min (m, n) )规定：规定：注：注：非奇异矩阵A，有 | A | 0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵满秩矩阵。奇异矩阵A，也称为降秩矩阵降秩矩阵。定定理理 若若矩矩阵阵 A 中中至至少少有有一一个个 k 阶阶子子式式不不为为0，而而所有所有 k+1 阶子式全为阶子式全为0，则，则 r ( A ) = k。零矩阵的秩为0，即 r (O) = 0例例1解解例例2解解例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！此方法简单！问题问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？证证2 2、矩阵秩的求法、矩阵秩的求法、矩阵秩的求法、矩阵秩的求法定理定理:对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变证毕证毕初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.注注：若：若A 为为 n 阶满秩方阵，则阶满秩方阵，则其其标准形为标准形为 n 阶单位阵阶单位阵E。例例5 5解解分析：分析：三、小结三、小结三、小结三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1. 矩阵秩的概念矩阵秩的概念2. 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题思考题解答答答答答相等相等. 即即由此可知由此可知